Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_5(2x+6)$ xác định khi và chỉ khi $2x+6>0\iff x>-3$. Vậy $D=(-3;+\infty )$, trùng với đáp án C (khớp với bảng đáp án mã đề 101, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=\ln (4ex-x^2)$. a) $f(2e)=\ln (8e^2-4e^2)=\ln (4e^2)=2+2\ln 2\ne 4$ nên sai. b) Hàm số xác định khi $4ex-x^2>0\iff x\in (0;4e)$, tập xác định là khoảng $(0;4e)$, không phải đoạn $[0;4e]$ nên sai. c) $f^{\prime }(x)=\frac{4e-2x}{4ex-x^2}$, $f^{\prime }(x)=0\iff x=2e\in (0;4e)$ nên đúng. d) Trên đoạn $[e;3e]$, hàm số đồng biến trên $[e;2e]$ và nghịch biến trên $[2e;3e]$ nên GTLN tại $x=2e$: $f(2e)=\ln (4e^2)=2\ln 2+2$, khi đó $a=2,b=2\Rightarrow a+b=4$, đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2a: S, 2b: S, 2c: Đ, 2d: Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(2e)=\ln (4e\cdot 2e-4e^2)=\ln (4e^2)=2+2\ln 2\ne 4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $4ex-x^2>0\iff 0<x<4e$, tập xác định là $(0;4e)$, không phải $[0;4e]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{4e-2x}{4ex-x^2}=0\iff x=2e$, thuộc tập xác định.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[e;3e]$ hàm đạt max tại $x=2e$: $f(2e)=2\ln 2+2$, nên $a+b=2+2=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\ln (4ex-x^2)$. a) $f(2e)=\ln (8e^2-4e^2)=\ln (4e^2)=2+2\ln 2\approx 3,386\ne 4$ nên sai. b) Hàm số xác định khi $4ex-x^2>0\iff x(4e-x)>0\iff 0<x<4e$, tập xác định là $(0;4e)$, không phải $[0;4e]$ nên sai. c) $f^{\prime }(x)=\frac{4e-2x}{4ex-x^2}=0\iff x=2e$ (thỏa mãn điều kiện xác định) nên đúng. d) Trên đoạn $[e;3e]$, $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=2e\in [e;3e]$; $f(e)=\ln (4e^2-e^2)=\ln (3e^2)=2+\ln 3\approx 3,099$; $f(2e)=\ln (4e^2)=2+2\ln 2\approx 3,386$; $f(3e)=\ln (12e^2-9e^2)=\ln (3e^2)=2+\ln 3$. Vậy GTLN là $2+2\ln 2$, tức $a=2,b=2$ nên $a+b=4$, đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (4a: S, S, D, D).
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(2e)=\ln (4e\cdot 2e-4e^2)=\ln (4e^2)=2+2\ln 2\approx 3,386\ne 4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cần $4ex-x^2>0\iff 0<x<4e$, tập xác định là $(0;4e)$, không phải $[0;4e]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{4e-2x}{4ex-x^2}=0\iff x=2e$, thuộc tập xác định.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[e;3e]$, GTLN đạt tại $x=2e$: $f(2e)=\ln (4e^2)=2+2\ln 2$, nên $a=2,b=2$, $a+b=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến khi $a>1$, nghịch biến khi $0<a<1$; hàm số logarit $y={\log }_{a}x$ đồng biến khi $a>1$, nghịch biến khi $0<a<1$. Xét từng phương án: A. $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ có cơ số $\frac{2}{3}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B. $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ có cơ số $\frac{1}{3}<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$. C. $y={\log }_{0,5}x$ có cơ số $0,5<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$. D. $y={\log }_{2}x$ có cơ số $2>1$ nên đồng biến trên $(0;+\infty )$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (đề 1008, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\ln (x^2-2x)$.

a) Tại $x=3$: $f(3)=\ln 3$, $f^{\prime }(3)=\frac{2\cdot 3-2}{9-6}=\frac{4}{3}$. Tiếp tuyến: $y=\frac{4}{3}(x-3)+\ln 3=\frac{4}{3}x-4+\ln 3\ne \frac{4}{3}x-4$. Vậy a) Sai.

b) Hàm số xác định khi $x^2-2x>0\iff x<0$ hoặc $x>2$, tức $D=(-\infty ;0)\cup (2;+\infty )\ne (2;+\infty )$. Vậy b) Sai.

c) Ta có $e^{f(x)}=x^2-2x$ và $(x-2)f^{\prime }(x)=(x-2)\cdot \frac{2x-2}{x(x-2)}=\frac{2x-2}{x}=2-\frac{2}{x}$. Phương trình trở thành $x^2-2x+2-\frac{2}{x}+\frac{2}{x}-m=0\iff m=x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1$. Với $x\in D=(-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$, hàm $g(x)=x^2-2x+2$ có giá trị lớn dần trên $(2;+\infty )$ với $g(x)>g(2)=2$, và trên $(-\infty ;0)$ giảm dần với $g(x)>g(0)=2$. Vậy $m\in (2;+\infty )$. Vậy c) Đúng.

d) $y^{\prime }=\frac{2x-2}{x^2-2x}$. Vậy d) Đúng.

Kết quả khớp với bảng đáp án mã đề 1007: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $x=3$ là $y=\frac{4}{3}x-4+\ln 3$, khác $\frac{4}{3}x-4$ nên Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $D=(-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$ nên Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tương đương $m=x^2-2x+2$ với $x\in D$, cho $m\in (2;+\infty )$ nên Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2x-2}{x^2-2x}$ nên Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{2}x$ có cơ số $2>1$ nên đồng biến trên $(0;+\infty )$. Các hàm còn lại: $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ có cơ số $0<\frac{2}{3}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$; $y={\log }_{0,5}x$ và $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ có cơ số nhỏ hơn 1 nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Đề 1007, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(5x+1)$. a) Đúng: điều kiện xác định của logarit là $5x+1>0$. b) Sai: từ $5x+1>0$ suy ra $x>-\frac{1}{5}$, tập xác định là $\left(-\frac{1}{5};+\infty \right)$, không phải $\left(\frac{1}{5};+\infty \right)$. c) Sai: đạo hàm đúng là $y^{\prime }=\frac{5}{(5x+1)\ln 2}$, thiếu thừa số $\ln 2$. d) Sai: trên tập xác định $5x+1>0$ nên $y^{\prime }=\frac{5}{(5x+1)\ln 2}>0$ tại mọi điểm, do đó không tồn tại tiếp tuyến nào có hệ số góc âm. Kết quả Đ S S S khớp bảng đáp án mã đề 0102, Phần II Câu 2.
a) (AI giải đề cho tôi)
Biểu thức ${\log }_2(5x+1)$ xác định khi và chỉ khi $5x+1>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $5x+1>0$ suy ra $x>-\frac{1}{5}$, tập xác định là $\left(-\frac{1}{5};+\infty \right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm đúng là $y^{\prime }=\frac{5}{(5x+1)\ln 2}$, thiếu thừa số $\ln 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $5x+1>0$ trên tập xác định nên $y^{\prime }=\frac{5}{(5x+1)\ln 2}>0$ tại mọi điểm, không có tiếp tuyến nào có hệ số góc âm.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là đường cong đi qua điểm $(0;1)$ và $(-1;3)$, giảm dần trên toàn trục hoành — đặc điểm của hàm số mũ $y=a^x$ với $0<a<1$. Kiểm tra với $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$: $y(0)=1$, $y(-1)={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3$, khớp với hình vẽ. Các phương án khác: $y=3^x$ đồng biến; $y=-3^x$ nhận giá trị âm và đi qua $(0;-1)$; $y=-3x$ là đường thẳng. Kết quả trùng với bảng đáp án chính thức (Mã đề 0102, Câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{a}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ khi và chỉ khi cơ số $a>1$. Xét các phương án: A có $a=0,5<1$ (nghịch biến); B có $y=\log x={\log }_{10}x$ với $a=10>1$ (đồng biến); C có $a=\frac{1}{3}<1$ (nghịch biến); D có $a=\frac{\pi }{4}\approx 0,785<1$ (nghịch biến). Vậy chỉ có $y=\log x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, khớp với đáp án chính thức Mã đề 0102, Câu 8: B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_5(2x-1)$. a) Đúng: điều kiện xác định của logarit là $2x-1>0$. b) Đúng: $2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$, tập xác định là $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$. c) Sai: theo quy tắc đạo hàm hàm hợp, $y^{\prime }=\frac{(2x-1{)}^{\prime }}{(2x-1)\ln 5}=\frac{2}{(2x-1)\ln 5}$, không phải $\frac{1}{(2x-1)\ln 5}$ (thiếu thừa số 2). d) Sai: với mọi $x>\frac{1}{2}$, $y^{\prime }=\frac{2}{(2x-1)\ln 5}>0$ nên mọi tiếp tuyến đều có hệ số góc dương; không tồn tại tiếp tuyến nào có hệ số góc âm. Kết quả Đ Đ S S khớp bảng đáp án mã đề 0101.
a) (AI giải đề cho tôi)
Biểu thức ${\log }_5(2x-1)$ xác định khi và chỉ khi $2x-1>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$, tập xác định là $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm đúng là $y^{\prime }=\frac{2}{(2x-1)\ln 5}$ vì $(2x-1{)}^{\prime }=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2}{(2x-1)\ln 5}>0$ với mọi $x>\frac{1}{2}$, nên không có tiếp tuyến nào có hệ số góc âm.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là đường cong hàm số mũ nghịch biến, đi qua điểm $(0;1)$ và điểm $(-1;3)$, tiệm cận trục hoành khi $x\to +\infty$.

- Loại A: $y=3^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ vì cơ số $3>1$, không khớp với đồ thị nghịch biến.
- Loại B: $y=-3^x$ luôn nhận giá trị âm, đi qua $(0;-1)$, không khớp.
- Loại D: $y=-3x$ là đường thẳng, không phải đường cong như hình vẽ.
- Với $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$: tại $x=0$ có $y=1$; tại $x=-1$ có $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3$; hàm nghịch biến vì $0<\frac{1}{3}<1$. Khớp hoàn toàn với đồ thị.

Kết quả trùng với đáp án nguồn: C (bảng đáp án Mã đề 0101, trang 5).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{a}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ khi và chỉ khi $a>1$. Xét các đáp án: A có $a=0,5<1$ (nghịch biến); B có $a=\frac{1}{3}<1$ (nghịch biến); C có $a=\frac{\pi }{4}\approx 0,785<1$ (nghịch biến); D có $y=\log x={\log }_{10}x$ với $a=10>1$, nên đồng biến trên $(0;+\infty )$. Kết quả khớp với bảng đáp án nguồn (Mã đề 0101, Câu 4: D) ở trang 5.

Điều kiện xác định: $\{\begin{array}{l}{x}^2+5x+4>0\\ x+3>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;-4)\cup (-1;+\infty )\\ x>-3\end{array}$
Giao các tập nghiệm ta được $x>-1$. Vậy $D=(-1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $y=b^x$ nghịch biến nên $0<b<1$; $y=c^x$ và $y=a^x$ đồng biến nên $c>1$, $a>1$. Với $x>0$, đồ thị $y=c^x$ nằm trên $y=a^x$ nên $c>a$. Vậy $c>a>b$. a) Vì $0<b<1$ nên ${\lim }_{x\to +\infty }{b}^x=0\ne +\infty$ → Sai. b) $c>a>b$ → Đúng. c) $c>1$ nên $y=c^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ → Sai. d) $a>1$ nên $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<b<1$ nên ${\lim }_{x\to +\infty }{b}^x=0$, không phải $+\infty$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$b<1<a<c$ nên $c>a>b$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$c>1$ nên $y=c^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$a>1$ nên $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm số mũ giảm (cơ số $0<a<1$), đi qua điểm $(-1;3)$. Với $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$: tại $x=-1$ ta có $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3$, khớp với đồ thị. Các hàm $y=3^x$ và $y=(\sqrt{3}{)}^x$ là hàm tăng (loại B, C); $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ tuy giảm nhưng tại $x=-1$ cho $y=\frac{3}{2}\ne 3$ (loại D). Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, ta có ${\log }_3\left(\frac{3}{a}\right)={\log }_{3}3-{\log }_{3}a=1-{\log }_{3}a$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, ta có ${\log }_3\left(\frac{3}{a}\right)={\log }_{3}3-{\log }_{3}a=1-{\log }_{3}a$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 1, mã đề 1101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số mũ $y=a^x$ nghịch biến nên $0<a<1$, loại A và B. Đồ thị đi qua điểm $(-1;3)$ nên $a^{-1}=3\Rightarrow a=\frac{1}{3}$. Vậy hàm số là $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$, khớp với đáp án D (đáp án nguồn cũng là D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $0<a<1$. Xét các phương án: A có $a=\frac{2025}{2026}\in (0;1)$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$; B có $a=2026>1$ nên đồng biến; D có $a=\frac{2026}{2025}>1$ nên đồng biến; C là hàm logarit $y={\log }_{0,26}x$ chỉ xác định trên $(0;+\infty )$, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$: $\ln (5a)-\ln (2a)=\ln \frac{5a}{2a}=\ln \frac{5}{2}$. Vậy đáp án D.