Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng hai góc $B+C=135^{\circ }$ nên góc $A=180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }$. Theo định lý sin, $BC=a=2R\sin A=2R\sin 45^{\circ }=2R\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=R\sqrt{2}$. Suy ra $R=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 123, Câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC với góc B = 125°, BC = 280 m, BA = 350 m: $C{A}^2=B{C}^2+B{A}^2-2\cdot BC\cdot BA\cdot \cos 125^{\circ }=280^2+350^2-2\cdot 280\cdot 350\cdot \cos 125^{\circ }$. Vì $\cos 125^{\circ }\approx -0,5736$ nên $C{A}^2\approx 78400+122500+112426=313326$, suy ra $CA\approx 559,75\approx 560$ m. Kết quả khớp với đáp án 560 của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$ với $\hat{A}=85^{\circ }$, $AC=290$ m, $AB=310$ m:
$$C{B}^2=A{C}^2+A{B}^2-2\cdot AC\cdot AB\cdot \cos 85^{\circ }=290^2+310^2-2\cdot 290\cdot 310\cdot \cos 85^{\circ }.$$
Tính: $290^2=84100$, $310^2=96100$, nên $A{C}^2+A{B}^2=180200$. Với $\cos 85^{\circ }\approx 0,0872$, ta có $2\cdot 290\cdot 310\cdot \cos 85^{\circ }\approx 179800\cdot 0,0872\approx 15671$.
Vậy $C{B}^2\approx 180200-15671=164529$, suy ra $CB\approx \sqrt{164529}\approx 405,6\approx 406$ m.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (406).

Trong tam giác ABC, ta có $AB=40m$; $\hat{A}=38^0$, $\hat{B}=62^0$. Ta cần tính AC.
Ta có $\hat{C}=180^0-\hat{A}-\hat{B}=180^0-38^0-62^0=80^0$ [Hình cần kiểm tra lại: p6_f3]
Áp dụng định lý sin ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$
$\Rightarrow AC=\frac{AB.\sin B}{\sin C}=\frac{40.\sin 62^0}{\sin 80^0}$
$\approx 35,86(m)$. Vậy khoảng cách AC khoảng 35,86m.

Trong tam giác $ABC$, ta có $AB=40m$; $A=40^0$, $B=60^0$. Ta cần tính $AC$.
Ta có $C=180^0-A-B=180^0-40^0-60^0=80^0$ [Hình cần kiểm tra lại: p5_f2]
Áp dụng định lý sin ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$
$\Rightarrow AC=\frac{AB.\sin B}{\sin C}=\frac{40.\sin 60^0}{\sin 80^0}$
$\approx 35,18(m)$. Vậy khoảng cách $AC$ khoảng $35,18m$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng theo định lý sin: DE/sin F = EF/sin D = FD/sin E = 2R, nên DE/(2sin F) = EF/(2sin D) = FD/(2sin E) = R.
b) Sai. Định lý cosin áp dụng cho góc D (góc giữa hai cạnh DE, DF): EF² = DE² + DF² − 2·DE·DF·cos D, không phải cos E.
c) Tính EF² = 15² + 17² − 2·15·17·cos55° ≈ 514 − 510·0,5736 ≈ 221,5 nên EF ≈ 14,88 < 15 = DE, vậy DE > EF: đúng.
d) S = ½·DE·DF·sin55° = ½·15·17·sin55° ≈ 127,5·0,8192 ≈ 104,4, không phải 208,8: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: mỗi tỉ số bằng 2R, nên chia cho 2 được R.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng phải là cos D (góc EDF) vì EF đối diện góc D: EF² = DE² + DF² − 2·DE·DF·cos D.
c) (AI giải đề cho tôi)
EF² ≈ 221,5 nên EF ≈ 14,88 < 15 = DE.
d) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·15·17·sin55° ≈ 104,4 ≠ 208,8.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ: AC = 15·2 = 30 hải lí, AB = 20·2 = 40 hải lí, góc CAB = 60°. Theo định lí cosin trong tam giác ABC: BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos60° = 1600 + 900 − 2·40·30·(1/2) = 1300. Suy ra BC = √1300 ≈ 36,06 ≈ 36 hải lí. Kết quả trùng với đáp án nguồn (36).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=8^2+10^2-2\cdot 8\cdot 10\cdot \cos 60^{\circ }=64+100-80=84$. Suy ra $c=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=64+100-2\cdot 8\cdot 10\cdot \cos 60^{\circ }=164-80=84$. Vậy $c=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Cây thước cắm từ đáy chạm mép thành bể tạo thành một đoạn thẳng từ đáy lên mép bể. Điểm đánh dấu cách chân thước 1,5 m = 150 cm, tương ứng với chiều cao bể 1,2 m = 120 cm. Phần thước bị ướt 75 cm tương ứng với phần chìm trong nước, tức chiều cao mực nước $h$. Do tính đồng dạng (tỉ lệ thuận giữa khoảng cách dọc thước và chiều cao tương ứng): $\frac{h}{120}=\frac{75}{150}$, suy ra $h=120\cdot \frac{75}{150}=60$ cm. Vậy chiều cao mực nước là 60 cm, khớp với đáp án 60 của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=9+36-2\cdot 3\cdot 6\cdot \frac{3}{5}=45-\frac{108}{5}=\frac{117}{5}$. Suy ra $a=\sqrt{\frac{117}{5}}=\frac{\sqrt{585}}{5}=\frac{3\sqrt{65}}{5}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn D.

Lời giải:
Ta có quãng đường tàu thứ nhất đi được là $s_1=v_{1}t=20.2=40(km)$. (0,25)
Quãng đường tàu thứ hai đi được là $s_2=v_{2}t=10.2=20(km)$. (0,25)
$\Delta ABC$ với $B$ là vị trí tàu thứ nhất chạy đến sau 2 giờ, nghĩa là $AB=s_1=40km$; $C$ là vị trí tàu thứ hai chạy đến sau 2 giờ, nghĩa là $AC=s_2=20km$.
$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}\iff B{C}^2=40^2+20^2-2\cdot 40\cdot 20\cdot \cos 60^{\circ }$ (0,25)
$\iff B{C}^2=1200$. Vậy khoảng cách hai tàu sau 2 giờ chạy là $BC=20\sqrt{3}\approx 34,6$. (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=4^2+2^2-2\cdot 4\cdot 2\cdot \cos 60^{\circ }=16+4-16\cdot \frac{1}{2}=20-8=12$. Suy ra $c=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, câu 7: A).

Lời giải:
Ta có quãng đường tàu thứ nhất đi được là $s_1=v_{1}t=20.2=40(km)$. (0,25)
Quãng đường tàu thứ hai đi được là $s_2=v_{2}t=10.2=20(km)$. (0,25)
$\Delta ABC$ với $B$ là vị trí tàu thứ nhất chạy đến sau 2 giờ, nghĩa là $AB=s_1=40km$; $C$ là vị trí tàu thứ hai chạy đến sau 2 giờ, nghĩa là $AC=s_2=20km$.
$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}\iff B{C}^2=40^2+20^2-2\cdot 40\cdot 20\cdot \cos 60^{\circ }$ (0,25)
$\iff B{C}^2=1200$. Vậy khoảng cách hai tàu sau 2 giờ chạy là $BC=20\sqrt{3}\approx 34,6$. (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin cho tam giác $ABC$ với $a=4$, $b=2$, $\hat{C}=60^{\circ }$: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=16+4-2\cdot 4\cdot 2\cdot \cos 60^{\circ }=20-16\cdot \frac{1}{2}=12$. Suy ra $c=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 8, mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $\hat{A}=60^{\circ }$, $\hat{B}=45^{\circ }$ nên $\hat{C}=180^{\circ }-60^{\circ }-45^{\circ }=75^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$, suy ra $AB=\frac{6\cdot \sin 75^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}$. Vì $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ và $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $AB=6\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=3(\sqrt{3}+1)\approx 8,196\approx 8,2$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi tam giác: $p=\frac{10+17+21}{2}=24$ m. Theo công thức Heron: $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{24\cdot 14\cdot 7\cdot 3}=\sqrt{7056}=84.$$ Vậy diện tích mảnh vườn là $84{\text{m}}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi tam giác $DEF$: $p=\frac{30+28+26}{2}=42$ (m). Theo công thức Heron: $S=\sqrt{p(p-DE)(p-DF)(p-EF)}=\sqrt{42\cdot 12\cdot 14\cdot 16}=\sqrt{112896}=336$ (m²). Vậy diện tích mảnh vườn là $336{\text{m}}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $\widehat{ACB}=60^{\circ }$, $AC=8$, $BC=12$: $$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot \cos 60^{\circ }=64+144-2\cdot 8\cdot 12\cdot \frac{1}{2}=208-96=112.$$ Suy ra $AB=\sqrt{112}=4\sqrt{7}\approx 10,583$. Làm tròn đến hàng phần mười ta được $AB\approx 10,6$.