Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos A$. Đây chính là phương án B. Các phương án A, C sai vì dùng sai góc/hệ số, D sai vì thiếu bình phương $AB,AC$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi tam giác $MNP$: $p=\frac{10+17+21}{2}=24$ (m). Theo công thức Heron: $S=\sqrt{p(p-MN)(p-NP)(p-MP)}=\sqrt{24\cdot 14\cdot 7\cdot 3}=\sqrt{7056}=84$ (m²). Vậy diện tích mảnh vườn là $84{\text{m}}^2$.

Gọi $Ax\cap By=C$
• $AC=100\sqrt{2}$
$AM=3\sqrt{2}t\Rightarrow CM=100\sqrt{2}-3\sqrt{2}t$
• $BC=100$
$AM=4t\Rightarrow CN=100-4t$
Xét tam giác CMN:
$M{N}^2=10t^2-600t+10000=10(t-30{)}^2+1000$
$\Rightarrow MN\ge 10\sqrt{10}$
Vậy $M{N}_{\min }\approx 32$ khi $t=30$.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích tam giác: $S=p\cdot r$ với $p$ là nửa chu vi, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp. Do đó mệnh đề đúng là $S=p.r$. Đáp án B khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Góc $\hat{C}=180^{\circ }-60^{\circ }-45^{\circ }=75^{\circ }$. Theo định lý sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$, nên $AB=\frac{6\cdot \sin 75^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}$. Vì $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ và $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, ta có $AB=6\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=3(\sqrt{3}+1)\approx 8,196\approx 8,2cm$.

Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC$, ta có:
$$\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow a=2R\sin A=\mathrm{2.7.}\sin \left(75^{\circ }\right)=\frac{7\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}{2}$$
Áp dụng định lý cosin cho tam giác $ABC$, ta có:
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A={\left(b-c\right)}^2+2bc\left(1-\cos A\right)\ge 2bc\left(1-\cos A\right)$$
$$\Rightarrow bc\le \frac{a^2}{2\left(1-\cos A\right)}$$
$$\Rightarrow S=\frac{1}{2}bc\sin A\le \frac{a^2\sin A}{4\left(1-\cos A\right)}$$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $b=c$.
Chi phí tối đa để làm mái che bằng $\frac{a^2\sin A}{4\left(1-\cos A\right)}.450000\approx 26,8$ (triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $A{B}^2=B{C}^2+A{C}^2-2\cdot BC\cdot AC\cdot \cos C=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=89-40=49$. Suy ra $AB=7$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác tính theo hai cạnh kèm góc giữa chúng: $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ vì $a=BC$, $b=AC$ là hai cạnh kề góc $C$. Các phương án khác sai: $S=\frac{1}{2}ab\sin B$ dùng sai góc (góc giữa $a,b$ là $C$); $S=\frac{1}{2}ac\sin A$ dùng sai góc (góc giữa $a,c$ là $B$); $S=\frac{abc}{4R}$ mới đúng chứ không phải $\frac{abc}{4}$. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^0=4+36-2\cdot 2\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=28$, nên $BC=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống đất, C là đỉnh cây, B là chân cây. Ta có AH = 4 m, HB = 18 m, góc BAC = 40°. Trong tam giác vuông tại H, đường thẳng AC cắt đoạn thẳng đứng BC tại C nên tan(BAC) = (BC − AH)/HB = (h − 4)/18. Suy ra h = 4 + 18·tan40° ≈ 4 + 18·0,8391 ≈ 4 + 15,1028 ≈ 19,10 m.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác tính theo hai cạnh kề và góc xen giữa: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}bc\sin A$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$ với góc $A$ đối diện cạnh $BC$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$. Suy ra $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{4^2+9^2-7^2}{2\cdot 4\cdot 9}=\frac{16+81-49}{72}=\frac{48}{72}=\frac{2}{3}$. Vậy chọn đáp án D.

Đáp số: 21,2
Xét tam giác $ABC$. Ta có: $\hat{C}=180^{\circ }-60^{\circ }-50^{\circ }=70^{\circ }$.
Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{BA}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$. Suy ra $AC=\frac{BA\sin B}{\sin C}=\frac{30\sin 50^{\circ }}{\sin 70^{\circ }}$.
Ta có con thuyền cách bờ sông là chiều dài đường cao từ đỉnh $C$ của tam giác $ABC$.
Khi đó $d_C=\frac{2S_{ABC}}{AB}\approx 21,2m$.

Đáp số: 18,2
Áp dụng định lý hàm số sine, ta có: $\frac{MP}{\sin \widehat{MNP}}=\frac{MN}{\sin \widehat{MPN}}\iff MP=\frac{12}{\sin 36^{\circ }}\sin 79^{\circ }$.
Ta có chiều rộng con đường là độ dài đường cao từ đỉnh $P$ của tam giác $MNP$.
Khi đó $d_p=\frac{2S_{MNP}}{MN}=\frac{2\frac{1}{2}MN.MP\sin \widehat{NMP}}{MN}=MP\sin \widehat{NMP}=\frac{12}{\sin 36^{\circ }}\sin 79^{\circ }\sin 65^{\circ }\approx 18,2\text{m}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{13^2+15^2-14^2}{2\cdot 13\cdot 15}=\frac{169+225-196}{390}=\frac{198}{390}=\frac{33}{65}\approx 0,5077$. Suy ra $B\approx 59,49^{\circ }\approx 59^{\circ }29^{\prime }$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $CD\perp AC$ nên trong tam giác vuông $ACD$: $\widehat{ADC}=90^0-63^0=27^0$ → a đúng. Trong tam giác $ABD$, định lý sin cho $\frac{AB}{\sin \widehat{ADB}}=\frac{BD}{\sin \widehat{BAD}}$ → b đúng. Trong tam giác vuông $BCD$: $CD=BC.\tan \widehat{CBD}=BC.\tan 48^0$, không phải $BC.\sin \widehat{CBD}$ → c sai. Tính $CD$: $\widehat{BAD}=180^0-63^0=117^0$, $\widehat{ADB}=180^0-117^0-48^0=15^0$. Theo định lý sin: $BD=\frac{24.\sin 117^0}{\sin 15^0}$. Trong tam giác vuông $BCD$: $CD=BD.\sin 48^0=\frac{24.\sin 117^0.\sin 48^0}{\sin 15^0}$ → d đúng. Kết quả khớp đáp án chính thức mã 0102: ĐĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ACD$ vuông tại $C$: $\widehat{ADC}=90^0-\widehat{CAD}=90^0-63^0=27^0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đây là định lý sin áp dụng cho tam giác $ABD$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $BCD$ vuông tại $C$ nên $CD=BC.\tan \widehat{CBD}=BC.\tan 48^0$, không phải $BC.\sin \widehat{CBD}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\widehat{BAD}=180^0-63^0=117^0$, $\widehat{ADB}=15^0$. Định lý sin trong tam giác $ABD$: $BD=\frac{24.\sin 117^0}{\sin 15^0}$. Suy ra $CD=BD.\sin 48^0=\frac{24.\sin 117^0.\sin 48^0}{\sin 15^0}\approx 57,4$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác tính theo hai cạnh và góc xen giữa: $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot \sin 150^{\circ }=10\cdot \frac{1}{2}=5$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Mã 0102, Câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: C là chân tháp, CD ⊥ mặt đất, A nằm giữa C và B, góc CAD = 63°, góc CBD = 48°, AB = 24m.
a) Tam giác BCD vuông tại C nên góc CDB = 90° − 48° = 42°. Đúng.
b) Định lí sin trong tam giác ACD: AC/sin(góc ADC) = AD/sin(góc ACD), với góc ACD = 90° (cạnh AD đối diện góc ACD, không phải góc DAC = 63°). Do đó khẳng định sai. Sai.
c) Tam giác BCD vuông tại C: tan(góc CBD) = CD/BC ⟹ CD = BC·tan(góc CBD). Đúng.
d) Vì A nằm giữa C và B nên góc DAB = 180° − góc DAC = 180° − 63° = 117°. Tam giác ACD vuông tại C: góc CDA = 90° − 63° = 27°; suy ra góc ADB = góc CDB − góc CDA = 42° − 27° = 15°. Định lí sin trong tam giác ABD: BD/sin(góc DAB) = AB/sin(góc ADB) ⟹ BD = AB·sin(góc DAB)/sin(góc ADB). Tam giác vuông BCD: CD = BD·sin(góc CBD). Vậy CD = AB·sin(góc DAB)·sin(góc CBD)/sin(góc ADB). Đúng.
Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng, khớp đáp án chính thức mã 0101 câu 2 (ĐSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác BCD vuông tại C: góc CDB = 90° − 48° = 42°.
b) (AI giải đề cho tôi)
Định lí sin trong tam giác ACD: AC/sin(góc ADC) = AD/sin(góc ACD) với góc ACD = 90°, không phải góc DAC.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác BCD vuông tại C: tan(góc CBD) = CD/BC ⟹ CD = BC·tan(góc CBD).
d) (AI giải đề cho tôi)
góc DAB = 117°, góc CDA = 27°, góc ADB = 42° − 27° = 15°. BD = AB·sin(góc DAB)/sin(góc ADB) và CD = BD·sin(góc CBD), nên CD = AB·sin(góc DAB)·sin(góc CBD)/sin(góc ADB).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{13^2+15^2-24^2}{2\cdot 13\cdot 15}=\frac{169+225-576}{390}=\frac{-182}{390}=-\frac{7}{15}\approx -0,4667$. Vì $\cos A<0$ nên góc $A$ tù. Tính $\arccos (7/15)\approx 62,18^{\circ }$, suy ra $A\approx 180^{\circ }-62,18^{\circ }=117,82^{\circ }\approx 117^{\circ }49^{\prime }$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Câu 8, Mã 0101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ (hai cạnh $b,c$ kẹp góc $A$). Tương tự $S=\frac{1}{2}ac\sin B$ và $S=\frac{1}{2}ab\sin C$. Do đó chỉ đáp án A đúng: $S=\frac{1}{2}bc\sin A$. Đáp án B sai vì $a$ không kẹp góc $A$; C và D sai vì $b,c$ không kẹp góc $B$. Khớp với đáp án nguồn (Câu 9, Mã 0101: A).