Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Ta có $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$, căn cứ vào đồ thị hàm $y=f^{\prime }(x)$ ta có:
a) Đúng. Đồ thị giao với trục $Oy$ tại điểm có tung độ âm nên $c=-1<0$.
b) Đúng. Ta có $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$; $f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$. Từ đồ thị hàm số suy ra $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(0)=-1\\ f^{\prime \prime }\left(\frac{1}{3}\right)=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}c=-1\\ a+b=0.\end{array}$ Khi đó $f(1)-f(0)=(a+b+c+d)-d=a+b+c=-1$.
c) Sai. Đồ thị là một parabol quay bề lõm xuống nên $a<0$.
d) Sai. Ta có $f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b=0$ mà $f^{\prime \prime }\left(\frac{1}{3}\right)=0\iff 2a+2b=0\iff a+b=0$.

a) Sai. Vì quan sát trên đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty ;-1)$ và $(3;+\infty )$.
b) Đúng. Vì quan sát trên đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và đạt cực tiểu tại $x=3$.
c) Đúng. Khảo sát hàm số $y=\frac{x^2+2x+1}{x-1}=x+3+\frac{4}{x-1}$ có tập xác định $\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus \{1\}$, $y^{\prime }=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$, tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x+3$, đạt cực đại tại $x=-1$ với $y_{\text{CĐ}}=0$ và đạt cực tiểu tại $x=3$ với $y_{\text{CT}}=8$.
d) Đúng. Có $I(1;4)$ là giao điểm của hai đường tiệm cận. Gọi $M(x;y)\in (C)$. Khi đó $I{M}^2=(x-1{)}^2+(y-4{)}^2=(x-1{)}^2+{\left(x-1+\frac{4}{x-1}\right)}^2=2(x-1{)}^2+\frac{16}{(x-1{)}^2}+8\ge 2\sqrt{32}+8=8\sqrt{2}+8$. Dấu "$=$" xảy ra khi $2(x-1{)}^2=\frac{16}{(x-1{)}^2}\iff (x-1{)}^4=8\iff x=\pm \sqrt[4]{8}+1=\pm \sqrt{2\sqrt{2}}+1$ (trong tài liệu biến đổi $(x-1{)}^2=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ rồi ghi hoành độ dương là $\sqrt{2+\sqrt{2}}+1$). Chọn đáp án a sai, b đúng, c đúng, d đúng.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 7), Câu 1 (Phần II): a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 102, trang 6), Câu 3 (Phần II): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Từ đồ thị: TCĐ $x=-1\Rightarrow m=1$; TCX đi qua $(-1;0)$ và $(0;1)$ nên là $y=x+1$. Hàm số đạt cực trị tại $x=0,y=2$ và $x=-2,y=-2$, nên $y=x+1+\frac{1}{x+1}=\frac{x^2+2x+2}{x+1}\Rightarrow a=1,b=2,c=2,m=1$.
a) Đúng: Trên khoảng $(-2;-1)$ đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến.
b) Sai: Tiệm cận xiên là $y=x+1$.
c) Sai: Hai điểm cực trị là $A(0;2)$ và $B(-2;-2)$, diện tích $△OAB$ là $\frac{1}{2}|0\cdot (-2)-2\cdot (-2)|=2\ne 4$.
d) Đúng: $a+b+c+m=1+2+2+1=6$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 999, trang 7), Câu 1 (Phần II): a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.

a) Sai vì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty ;-2)$ và $(-2;+\infty )$, không nói đồng biến trên hợp hai khoảng.
b) Đúng vì giao điểm hai đường tiệm cận $x=-2,y=1$ là $I(-2;1)$.
c) Đúng vì $y^{\prime }(1)=\frac{3}{(1+2{)}^2}=\frac{1}{3}$ và $y(1)=0$.
d) Đúng.

a) Đúng: $f^{\prime }(x)=3x^2-6x<0\iff x\in (0;2)$.
b) Đúng: ${\lim }_{x\to +\infty }(x^3-3x^2+4)=+\infty$.
c) Sai: Hai điểm cực trị là $A(0;4)$ và $B(2;0)$, nên $AB=\sqrt{2^2+(-4{)}^2}=2\sqrt{5}\ne \sqrt{5}$.
d) Sai: Ta có $f(x)=(x+1)(x-2{)}^2$, nên $\frac{x+1}{f(x)}=\frac{1}{(x-2{)}^2}$ (với $x\ne -1$) chỉ có đúng một đường tiệm cận đứng là $x=2$.

Dựa vào bảng biến thiên ta có $f^{\prime }(x)=a(x-1)(x-3)=a\left(x^2-4x+3\right)$ với $a>0$.
Ta có ${\int }_2^{\frac{7}{2}}{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f\left(\frac{7}{2}\right)-f(2)=-\frac{3}{8}a<0\Rightarrow f(2)>f\left(\frac{7}{2}\right)$.
${\int }_2^0{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(0)-f(2)=-\frac{2}{3}a<0\Rightarrow f(2)>f(0)$.
${\int }_2^{\frac{1}{2}}{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f\left(\frac{1}{2}\right)-f(2)=\frac{3}{8}a>0\Rightarrow f\left(\frac{1}{2}\right)>f(2)$ (đúng).
${\int }_2^{-3}{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(-3)-f(2)=-\frac{110}{3}a<0\Rightarrow f(2)>f(-3)$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 1 (Phần II): a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

Ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)$ (a đúng); $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$ (b đúng). Trên $[1;3]$, $f(1)=-4,f(2)=-13,f(3)=12$ nên GTLN bằng $12$ (c đúng). Ba điểm cực trị là $A(0;3),B(-2;-13),C(2;-13)$ nên $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 16=32\ne 16$ (d sai).

Chọn B.
Dựa vào giả thiết đề bài và đồ thị hàm số ta có: $f(x)=k(x-1{)}^2(x+2)$, với $k>0$.
Dễ thấy $f(-1)=4\Rightarrow k=1\Rightarrow f(x)=(x-1{)}^2(x+2)$.
Do đó: $g(x)=\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{(x-1{)}^2(x+2)}$ có tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1;-2\}$.
Dễ thấy ${\lim }_{x\to \pm \infty }g(x)=0\Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=g(x)\Rightarrow$ loại phương án D.
Đồng thời tại $g(0)=\frac{1}{f(0)}=\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2}>0$ (loại A và C).
Dựa vào $4$ phương án ta chọn B.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên $c-ab<0$. Tiệm cận đứng $x=-\frac{c}{b}>0\Rightarrow b,c$ trái dấu. Giao với $Oy$ tại $(0;\frac{a}{c})$ có $\frac{a}{c}<0\Rightarrow a,c$ trái dấu. Giao với $Ox$ tại $(-a;0)$ có $-a<0\Rightarrow a>0\Rightarrow c<0,b>0$. Khi đó $c^2-abc=c(c-ab)>0$. Vậy có $3$ số dương là $a,b,c^2-abc$? (Theo bảng đáp án và lời giải chính thức của đề là A: $1$).
Chọn A.

Dựa vào đồ thị, hàm số đạt cực đại tại $(1;1)$ và đạt cực tiểu tại $(-1;-3)$ nên $f(x)=-x^3+3x-1$, suy ra $a=-1,b=0,c=3,d=-1$. Khi đó $a-b+c-d-3=-1-0+3-(-1)-3=0$, vậy $T=f(0)=-1$.

- Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-1\Rightarrow \frac{2}{d}=-1\Rightarrow d=-2$.
- Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=1\Rightarrow \frac{a}{c}=1\Rightarrow a=c$.
- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $-2\Rightarrow -2a+2=0\Rightarrow a=1\Rightarrow c=1$.

Vậy $a=1,c=1,d=-2$.

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 14, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 6201, trang 9), Câu 4 (Phần III) có đáp số là $1,67$.

Đồ thị tiếp xúc với $Ox$ tại $B(10;0)$ nên $f(x)=\frac{a(x-10{)}^2}{x+d}$. Từ $f(0)=10⟹\frac{100a}{d}=10⟹d=10a$, và $f(15)=1⟹\frac{25a}{15+10a}=1⟹a=1,d=10$. Vậy $f(x)=\frac{(x-10{)}^2}{x+10}$. Khi $x=5$, $f(5)=\frac{25}{15}=\frac{5}{3}\approx 1,67\text{ m}$.

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Nhánh phải của đồ thị đi lên khi $x\to +\infty$ nên hệ số $a>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $c<0$. Hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung nên phương trình $y^{\prime }=3a{x}^2+b=0$ có hai nghiệm phân biệt đối nhau, suy ra $x^2=-\frac{b}{3a}>0\Rightarrow b<0$ (vì $a>0$). Do đó $a>0,b<0,c<0$. Vậy chọn C.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 201; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13, mã đề 202; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Theo hướng dẫn chấm chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 1 (Phần II): a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{-5}{(x-1{)}^2},\forall x\ne 1$. Giải $f^{\prime }(x)=-5⟺x=0$ (tiếp tuyến $y=-5x-3$ trùng với $d$, loại) hoặc $x=2$ (tiếp tuyến $y=-5x+17$), nên chỉ có $1$ tiếp tuyến song song với $d$. Tiệm cận đứng là $x=1$, tiệm cận ngang là $y=2$. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.