Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Khảo sát được điểm cực tiểu là $B(4;7)$.

Tiệm cận xiên là đường thẳng $\Delta :y=x+1$.

Điểm $M\in \Delta \iff M(m;m+1)$.

Tam giác $ABM$ cân tại $A$ nên $AM=AB\iff (m-1{)}^2+(m-2{)}^2=25\iff \{\begin{array}{l}m=-2\\ m=5\end{array}$.

+) Với $m=-2$ thì $M(-2;-1)$: loại vì khi đó $A$ là trung điểm $BM$.

+) Với $m=5$ thì $M(5;6)$: thỏa mãn.

Vậy $M(5;6)$.

a) Đúng. Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận đứng là $x=-\frac{1}{2}$ và tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{2}$.

b) Sai. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right);\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$.

c) Sai. Tiệm cận đứng $x=\frac{-1}{c}=\frac{-1}{2}\Rightarrow c=2$. Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=\frac{a}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow a=1$. $x=0\Rightarrow y=b=0$.

d) Đúng. $a+2b+c=2+2.0+1=3$
a) Đúng. Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có tiệm cận đứng là $x=-\frac{1}{2}$ và tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{2}$
b) Sai. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right);\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$
c) Sai. Tiệm cận đứng $x=\frac{-1}{c}=\frac{-1}{2}\Rightarrow c=2$. Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=\frac{a}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow a=1$. $x=0\Rightarrow y=b=0$
d) Đúng. $a+2b+c=2+2.0+1=3$

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1925: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai (DDDS).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba đi lên ở hai đầu nên $a>0$. Hàm số có cực đại tại $x<0$ (khoảng $x\approx -2$) và cực tiểu tại $x>0$ (khoảng $x\approx 0,5$), tức hai nghiệm của $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ có tổng $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}<0$ mà $a>0$ nên $b>0$. Trên khoảng giữa hai cực trị hàm nghịch biến nên $y^{\prime }(0)=c<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ $d=y(0)<0$. Vậy $a>0;b>0;c<0;d<0$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích $f(x)=\frac{x^2+3x+2}{2x+1}=\frac{x}{2}+\frac{5}{4}+\frac{3}{4(2x+1)}$ (kiểm tra: $(2x+1)\left(\frac{x}{2}+\frac{5}{4}\right)=x^2+3x+\frac{5}{4}$, dư $\frac{3}{4}$). a) TCĐ $x=-\frac{1}{2}$ (bên trái trục Oy), TCX $y=\frac{x}{2}+\frac{5}{4}$ (hệ số góc dương), nhánh trái đi xuống, nhánh phải có cực tiểu — khớp hình vẽ, đúng. b) $\frac{x^2+3x+2}{2x+1}=-x-2\iff 3x^2+8x+4=0\iff x=-2$ hoặc $x=-\frac{2}{3}$; $A(-2;0)$, $B\left(-\frac{2}{3};-\frac{4}{3}\right)$, $AB=\sqrt{{\left(\frac{4}{3}\right)}^2+{\left(\frac{4}{3}\right)}^2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$, đúng. c) TCX $y=\frac{x}{2}+\frac{5}{4}\iff 2x-4y+5=0$, đúng. d) TCĐ là $x=-\frac{1}{2}$ (mẫu $2x+1=0$), không phải $x=\frac{1}{2}$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ $x=-\frac{1}{2}$, TCX $y=\frac{x}{2}+\frac{5}{4}$, hình dạng đồ thị khớp với hình vẽ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm $A(-2;0)$, $B\left(-\frac{2}{3};-\frac{4}{3}\right)$, $AB=\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
TCX $y=\frac{x}{2}+\frac{5}{4}$ tương đương $2x-4y+5=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ là $x=-\frac{1}{2}$, không phải $x=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ và có tiệm cận xiên là đường thẳng dốc (không phải tiệm cận ngang), nên loại B (chỉ có tiệm cận ngang $y=1$) và loại C (tiệm cận đứng $x=-2$).
Xét A và D, cả hai đều có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=x+1$:
- A: $y=\frac{x^2-x+1}{x-2}=x+1+\frac{3}{x-2}$; tử số $x^2-x+1>0$ với mọi $x$ nên đồ thị không cắt trục hoành.
- D: $y=\frac{x^2-x-3}{x-2}=x+1-\frac{1}{x-2}$; đồ thị cắt trục hoành tại $x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}\approx -1,3$ và $x\approx 2,3$, tức nhánh trái cắt trục hoành bên trái gốc $O$ và nhánh phải cắt trục hoành ngay bên phải $x=2$ — khớp với hình vẽ (hai nhánh, nhánh phải đi từ $-\infty$ bên phải tiệm cận đứng rồi tăng lên theo tiệm cận xiên, nhánh trái đi xuống cắt trục hoành bên trái $O$).
Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;0)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;3)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(3;+\infty )$; hàm đạt cực đại $f(0)=2$ và cực tiểu $f(3)=-4$.
a) Sai: hàm chỉ đồng biến trên $(-\infty ;0)$, không phải $(-\infty ;2)$ (trên $(0;2)$ hàm nghịch biến).
b) Đúng: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ qua $x=3$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=3$.
c) Sai: trên khoảng $(-\infty ;3)$, hàm đạt giá trị lớn nhất $2$ tại $x=0$ (nội điểm của khoảng), nhưng không đạt giá trị nhỏ nhất vì $f(x)>-4$ với mọi $x<3$ và $x=3\notin (-\infty ;3)$.
d) Sai: hàm $y=\frac{2025}{f(x)+2}$ có tiệm cận ngang $y=0$ và tiệm cận đứng là các nghiệm của $f(x)=-2$. Trên $(-\infty ;0)$, $f$ tăng từ $-\infty$ đến $2$ nên có 1 nghiệm; trên $(0;3)$, $f$ giảm từ $2$ đến $-4$ nên có 1 nghiệm; trên $(3;+\infty )$, $f$ tăng từ $-4$ đến $+\infty$ nên có 1 nghiệm. Vậy có 3 tiệm cận đứng, tổng cộng 4 đường tiệm cận, không phải 3.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chỉ đồng biến trên $(-\infty ;0)$; trên $(0;2)$ hàm nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=3$, nên hàm đạt cực tiểu tại $x=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
GTLN bằng 2 đạt tại $x=0$, nhưng hàm không đạt GTNN $-4$ trên khoảng mở $(-\infty ;3)$ vì $x=3$ không thuộc khoảng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Có 3 tiệm cận đứng (3 nghiệm của $f(x)=-2$) và 1 tiệm cận ngang $y=0$, tổng cộng 4 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x+2$ (đường nét đứt đi qua $(-2;0)$ và cắt trục tung tại $2$), nên loại A (đa thức) và B (tiệm cận xiên $y=x+1$). Xét hai hàm còn lại:
- C: $y=\frac{x^2+3x+1}{x+1}=x+2-\frac{1}{x+1}$, có $y(0)=1$, trái với đồ thị cắt trục tung tại $3$.
- D: $y=\frac{x^2+3x+3}{x+1}=x+2+\frac{1}{x+1}$, có $y(0)=3$ đúng như đồ thị; $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$ cho cực tiểu tại $x=0$ với $y=3$ (nhánh phải) và cực đại tại $x=-2$ với $y=-1$, khớp hoàn toàn với đồ thị (điểm $(-2;-1)$ được đánh dấu). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên (nét đứt) là đường thẳng cắt trục tung tại $-2$ và cắt trục hoành tại $2$, tức $y=x-2$. Xét đáp án A: $y=\frac{x^2-4x+3}{x-2}=\frac{(x-2{)}^2-1}{x-2}=x-2-\frac{1}{x-2}$. Suy ra TCĐ $x=2$, TCX $y=x-2$ khớp hình. Khi $x\to 2^{-}$ thì $-\frac{1}{x-2}\to +\infty$ (nhánh trái đi lên) và khi $x\to 2^{+}$ thì $y\to -\infty$ (nhánh phải đi xuống), đúng như hình. Hàm số có hai nghiệm $x=1,x=3$, đúng hai giao điểm với trục hoành trên hình; tại $x=0$ có $y=-\frac{3}{2}$, khớp giao với trục tung. Các đáp án B, C, D có tiệm cận xiên lần lượt là $x+4$, $x+4$ (với TCĐ $x=-2$), $-x-6$, đều không khớp đường tiệm cận nét đứt $y=x-2$ trong hình. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{2x^2-3x+6}{x-2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
a) $y^{\prime }=\frac{(4x-3)(x-2)-(2x^2-3x+6)}{(x-2{)}^2}=\frac{4x^2-11x+6-2x^2+3x-6}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-8x}{(x-2{)}^2}$. Đúng.
b) $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=4$. Trên $(-\infty ;0)$: $y^{\prime }<0$ (giảm); trên $(0;2)$: $y^{\prime }>0$ (tăng); trên $(2;4)$: $y^{\prime }>0$ (tăng); trên $(4;+\infty )$: $y^{\prime }<0$ (giảm). $y(0)=-3$ là cực tiểu, $y(4)=\frac{32-12+6}{2}=13$ là cực đại, ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=-\infty$. Bảng biến thiên trong đề khớp hoàn toàn. Đúng.
c) $x=2$ là tiệm cận đứng. Chia đa thức: $2x^2-3x+6=(x-2)(2x+1)+8$, nên $y=2x+1+\frac{8}{x-2}\to 2x+1$ khi $x\to \pm \infty$: tiệm cận xiên $y=2x+1$. Đúng.
d) Hai điểm cực trị: $(0;-3)$ và $(4;13)$. Khoảng cách $=\sqrt{4^2+16^2}=\sqrt{272}=4\sqrt{17}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(4x-3)(x-2)-(2x^2-3x+6)}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-8x}{(x-2{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=0$ tại $x=0,4$; giảm trên $(-\infty ;0)$, tăng trên $(0;2)$ và $(2;4)$, giảm trên $(4;+\infty )$; cực tiểu $-3$ tại $x=0$, cực đại $13$ tại $x=4$; ${\lim }_{x\to 2^{-}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}y=-\infty$. Khớp bảng biến thiên.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=2x+1+\frac{8}{x-2}$ nên TCĐ $x=2$, TCX $y=2x+1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai cực trị $(0;-3)$ và $(4;13)$, khoảng cách $\sqrt{16+256}=\sqrt{272}=4\sqrt{17}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x-1$ (đi qua $(0;-1)$, hệ số góc $1$), nhánh phải có điểm cực tiểu $(2;2)$. Vậy $f(x)=x-1+\frac{k}{x-1}$ với $1+k=2\Rightarrow k=1$, tức $f(x)=x-1+\frac{1}{x-1}$.
Ta có $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}$; $f^{\prime }(x)=0\iff (x-1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=2$. Hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, nghịch biến trên $(0;1)$ và $(1;2)$.

a) SAI: bảng xét dấu trong đề cho $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=1$ (nơi hàm không xác định) là sai; thực tế $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=0$ và $x=2$.

b) SAI: trên khoảng $(0;1)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến, do đó không đồng biến trên toàn khoảng $(-\infty ;1)$.

c) ĐÚNG: $f(x)=3\iff x-1+\frac{1}{x-1}=3\iff (x-1{)}^2-3(x-1)+1=0$. Với $t=x-1$: $t^2-3t+1=0$ có $\Delta =9-4=5>0$, hai nghiệm phân biệt $t=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$, tức hai nghiệm phân biệt $x=1+\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ (đều khác $1$).

d) ĐÚNG: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (nhánh trái tiến tới $-\infty$, nhánh phải tiến tới $+\infty$ khi $x\to 1$).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x-1+\frac{1}{x-1}$ nên $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}$; $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0$ và $x=2$, không phải tại $x=1$ (hàm không xác định tại $x=1$). Hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, nghịch biến trên $(0;1)$ và $(1;2)$, nên bảng xét dấu đã cho là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ khi $(x-1{)}^2>1$, tức $x<0$ hoặc $x>2$. Trên khoảng $(0;1)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến, do đó khẳng định đồng biến trên toàn khoảng $(-\infty ;1)$ là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(x)=3\iff x-1+\frac{1}{x-1}=3\iff (x-1{)}^2-3(x-1)+1=0$. Với $t=x-1$: $t^2-3t+1=0$ có $\Delta =9-4=5>0$, hai nghiệm phân biệt $t=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$, tức hai nghiệm phân biệt $x=1+\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ (đều khác $1$). Vậy phương trình $f(x)=3$ có hai nghiệm phân biệt, khẳng định đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (nhánh trái tiến tới $-\infty$ và nhánh phải tiến tới $+\infty$ khi $x\to 1$), khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(t)=\frac{26t+10}{t+5}=\frac{26(t+5)-120}{t+5}=26-\frac{120}{t+5}$.
a) $f^{\prime }(t)=\frac{120}{(t+5{)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$, nên $f(t)$ đồng biến, số dân tăng theo thời gian → khẳng định a SAI.
b) Giai đoạn 1970–2000 tương ứng $t\in [0;30]$. Vì $f$ đồng biến nên max tại $t=30$: $f(30)=\frac{790}{35}\approx 22,57<23$ → khẳng định b ĐÚNG.
c) Đồ thị $y=26-\frac{120}{t+5}$ là hyperbol có tâm đối xứng giao của hai tiệm cận $t=-5$ và $y=26$, tức $I(-5;26)$ → khẳng định c ĐÚNG.
d) $f^{\prime }(t)=\frac{120}{(t+5{)}^2}$ là hàm giảm theo $t$, nên tốc độ tăng dân số lớn nhất tại $t=0$ (năm 1970), không phải năm 1998 → khẳng định d SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(t)=\frac{120}{(t+5{)}^2}>0$ nên $f$ đồng biến trên $[0;+\infty )$, số dân tăng theo thời gian.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f$ đồng biến, max trên $[0;30]$ là $f(30)=\frac{790}{35}\approx 22,57<23$ nghìn người.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(t)=26-\frac{120}{t+5}$ có hai tiệm cận $t=-5$, $y=26$ nên tâm đối xứng $I(-5;26)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(t)=\frac{120}{(t+5{)}^2}$ giảm dần theo $t$, tốc độ tăng lớn nhất tại $t=0$ (năm 1970).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ (trang 5), đồ thị có tiệm cận đứng x = -2 và tiệm cận xiên y = x + 2, nên hàm số có dạng f(x) = x + 2 + a/(x + 2) với a > 0 (nhánh phải tiến tới +∞ khi x → -2⁺, nhánh trái tiến tới -∞ khi x → -2⁻). Đồ thị có điểm cực tiểu tại x = -1 với f(-1) = 2: f(-1) = 1 + a = 2 nên a = 1, tức f(x) = x + 2 + 1/(x + 2). Kiểm tra cực đại: f(-3) = -1 - 1 = -2, khớp đồ thị.
a) Đúng: tâm đối xứng là giao hai tiệm cận I(-2; 0).
b) Sai: f'(x) = 1 - 1/(x+2)²; f'(x) > 0 khi |x+2| > 1, f'(x) < 0 khi 0 < |x+2| < 1, nên hàm không nghịch biến trên toàn ℝ \ {-2}.
c) Sai: trên [-5; -4] hàm đồng biến nên GTLN tại x = -4: f(-4) = -2 - 1/2 = -2,5 ≠ -2.
d) Sai: cực đại là (-3; -2) và cực tiểu là (-1; 2), không phải cực đại (-1; 3) và cực tiểu (-3; -2).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tiệm cận đứng x = -2 và tiệm cận xiên y = x + 2 cắt nhau tại I(-2; 0), đây là tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức dạng y = x + 2 + a/(x + 2).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với f(x) = x + 2 + 1/(x + 2), ta có f'(x) = 1 - 1/(x+2)². f'(x) > 0 khi |x+2| > 1 và f'(x) < 0 khi 0 < |x+2| < 1, nên hàm số không nghịch biến trên toàn tập ℝ \ {-2}.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trên đoạn [-5; -4] hàm số đồng biến (vì |x+2| > 1 nên f'(x) > 0), nên GTLN tại x = -4: f(-4) = -2 + 1/(-2) = -2,5 ≠ -2.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) f'(x) = 0 tại x = -3 và x = -1. Vì a = 1 > 0, hàm đạt cực đại tại x = -3: f(-3) = -1 - 1 = -2, tức điểm cực đại là (-3; -2); và đạt cực tiểu tại x = -1: f(-1) = 1 + 1 = 2, tức điểm cực tiểu là (-1; 2). Do đó khẳng định d) sai.

(AI giải đề cho tôi)
**Bài 1.** Cho $y=f(x)=-\frac{1}{3}{x}^3+3x^2-5x+1$.

**a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$**

- Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
- $y^{\prime }=-x^2+6x-5=-(x-1)(x-5)$; $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=5$.
- $y^{\prime \prime }=-2x+6=0\iff x=3$, đổi dấu qua $x=3$ nên hàm số có điểm uốn tại $x=3$.
- Chiều biến thiên: trên $(-\infty ;1)$ và $(5;+\infty )$ có $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến; trên $(1;5)$ có $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến.
- Cực tiểu: $x=1$, $y_{CT}=f(1)=-\frac{1}{3}+3-5+1=-\frac{4}{3}$, điểm $\left(1;-\frac{4}{3}\right)$.
- Cực đại: $x=5$, $y_{CĐ}=f(5)=-\frac{125}{3}+75-25+1=\frac{28}{3}$, điểm $\left(5;\frac{28}{3}\right)$.
- Giới hạn: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$.
- Điểm uốn: $I(3;4)$ (vì $f(3)=-9+27-15+1=4$).
- Giao trục $Oy$: điểm $(0;1)$. Đồ thị $(C)$ là đường cong bậc ba đi qua các điểm $(0;1)$, $\left(1;-\frac{4}{3}\right)$, $I(3;4)$, $\left(5;\frac{28}{3}\right)$, có nhánh trái đi lên vô cực và nhánh phải đi xuống âm vô cực (vẽ bằng cách nối mượt các điểm này, lõm trên với $x<3$, lõm dưới với $x>3$).

**b) Phương trình tiếp tuyến tại tâm đối xứng**

Đồ thị hàm bậc ba có tâm đối xứng là điểm uốn $I(3;4)$.

Hệ số góc: $k=y^{\prime }(3)=-9+18-5=4$.

Phương trình tiếp tuyến tại $I(3;4)$:
$$y=4(x-3)+4\iff y=4x-8.$$

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận xiên là đường thẳng đi qua các điểm gần (0;1) và cắt trục hoành tại x = -1, tức y = x + 1 (không phải y = x - 1). Nhánh phải có cực tiểu bằng 2, nhánh trái có cực đại bằng -2 (đường nét đứt y = -2 tại x ≈ -1,5). a) Cực đại + cực tiểu = -2 + 2 = 0 → đúng. b) Tiệm cận xiên là y = x + 1, không phải y = x - 1 → sai. c) Trên (0;+∞) nhánh đồ thị đi lên từ cực tiểu, hàm đồng biến → đúng. d) Trên (-∞;-1) giá trị lớn nhất là -2 (giá trị cực đại), không phải 2 → sai. Kết quả Đ, S, Đ, S khớp với đáp án nguồn (mã 1002, Phần II câu 4: ĐSĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực tiểu (nhánh phải) bằng 2 và giá trị cực đại (nhánh trái) bằng -2, tổng bằng 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng y = x + 1, không phải y = x - 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng (0;+∞), đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu nên hàm số đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-∞;-1), giá trị lớn nhất của hàm số là giá trị cực đại bằng -2, không phải 2.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, nhánh trái có cực đại tại điểm $(-2;-2)$, nhánh phải có cực tiểu tại $(0;2)$. a) Tổng giá trị cực đại và cực tiểu: trên nhánh phải hàm đạt cực tiểu $y=2$ tại $x=0$, trên nhánh trái hàm đạt cực đại $y=-2$ tại $x=-2$ (đường nét đứt trên hình), tổng $2+(-2)=0$ → đúng. b) Trên $(0;+\infty )$ đồ thị nhánh phải đi lên từ điểm $(0;2)$ nên hàm đồng biến → đúng. c) Tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng đi qua các điểm theo hình (cắt trục tung tại $y=1$, đi qua gần $(-1;0)$), tức $y=x+1$, không phải $y=x-1$ → sai. d) Trên $(-\infty ;-1)$, nhánh trái có giá trị lớn nhất bằng $-2$ (tại $x=-2$), không phải 2 → sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a đúng, b đúng, c sai, d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực tiểu nhánh phải là 2 (tại $x=0$), giá trị cực đại nhánh trái là $-2$ (tại $x=-2$), tổng bằng 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$ đồ thị chỉ có nhánh phải đi lên từ $(0;2)$, hàm đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên theo hình vẽ là $y=x+1$, không phải $y=x-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;-1)$ giá trị lớn nhất của hàm là $-2$ (tại $x=-2$), không phải 2.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=-x$, đồ thị đi qua $(0;1)$ và có điểm $(2;-3)$. Xét đáp án D: $y=\frac{x^2-x+1}{-x+1}=\frac{x^2-x+1}{1-x}$. Chia đa thức: $x^2-x+1=(1-x)(-x)+1$, nên $y=-x+\frac{1}{1-x}$. Suy ra TCĐ $x=1$, TCX $y=-x$. Tại $x=0$: $y=1$; tại $x=2$: $y=\frac{3}{-1}=-3$. Khớp hoàn toàn với đồ thị (nhánh trái tăng lên $+\infty$ khi $x\to 1^{-}$, nhánh phải có cực tiểu $-3$ tại $x=2$). Các đáp án khác: A có TCĐ $x=1$ nhưng $y=\frac{-x^2+x}{x-1}=-x$ và $y(0)=0\ne 1$; B có TCĐ $x=-1$; C có TCĐ $x=-1$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$.
a) Sai: điều kiện $x+1\ne 0\Rightarrow x\ne -1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\ne \mathbb{R}$.
b) Sai: $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2+3x+1-x^2-x-1}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$, khác với $\frac{x^2-2x}{(x+1{)}^2}$.
c) Đúng: $y^{\prime }=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}=0\iff x=-2$ hoặc $x=0$. Trên $(-\infty ;-2)$: $y^{\prime }>0$ (đồng biến); $(-2;-1)$: $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); $(-1;0)$: $y^{\prime }<0$ (nghịch biến); $(0;+\infty )$: $y^{\prime }>0$ (đồng biến). Giới hạn: ${\lim }_{x\to -\infty }y=-\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=-\infty$, ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }y=+\infty$. Cực đại tại $x=-2$ với $y(-2)=\frac{4-2+1}{-1}=-3$; cực tiểu tại $x=0$ với $y(0)=1$. Bảng biến thiên khớp hoàn toàn với bảng trong đề (trang 11).
d) Đúng: hai điểm cực trị là $(-2;-3)$ và $(0;1)$, khoảng cách $=\sqrt{(0+2{)}^2+(1+3{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
Đối chiếu đáp án nguồn trang 17, mã đề 0105, Phần II Câu 3: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ — khớp hoàn toàn với kết quả giải độc lập. Hai 'errors' ghi trong payload không phải mâu thuẫn thực: bảng đáp án trang 17 cho a) là S (không phải Đ), và bảng biến thiên cho thấy $-3$ là giá trị cực đại tại $x=-2$ (giải thích tổng thể đã ghi đúng 'cực đại').
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì $x=-1$ làm mẫu bằng 0, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\ne \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$, không phải $\frac{x^2-2x}{(x+1{)}^2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: $y^{\prime }=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}=0$ tại $x=-2,x=0$; đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$; cực đại $y(-2)=-3$, cực tiểu $y(0)=1$; tiệm cận đứng $x=-1$ — khớp bảng biến thiên trong đề.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: hai cực trị $(-2;-3)$ và $(0;1)$, khoảng cách $\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$.
a) Tập xác định: $x\ne -1$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, không phải $\mathbb{R}$ → Sai.
b) $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2+3x+1-x^2-x-1}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$, khác $\frac{x^2-2x}{(x+1{)}^2}$ → Sai.
c) $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$. Với $x=-2$: $y=\frac{4-2+1}{-1}=-3$ (cực đại); với $x=0$: $y=1$ (cực tiểu). Trên $(-\infty ;-1)$: hàm đồng biến rồi nghịch biến, đi từ $-\infty$ lên $-3$ rồi xuống $-\infty$ khi $x\to (-1{)}^{-}$; trên $(-1;+\infty )$: nghịch biến rồi đồng biến, từ $+\infty$ xuống $1$ rồi lên $+\infty$. Bảng biến thiên khớp hoàn toàn → Đúng.
d) Hai điểm cực trị $(-2;-3)$ và $(0;1)$: khoảng cách $=\sqrt{(0+2{)}^2+(1+3{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ → Đúng.
Đối chiếu đáp án Phần II Câu 3 mã 0103: S, S, Đ, Đ — khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x+1\ne 0$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\ne \mathbb{R}$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính đúng $y^{\prime }=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$, không phải $\frac{x^2-2x}{(x+1{)}^2}$ → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại $(-2;-3)$, cực tiểu $(0;1)$, chiều biến thiên khớp bảng biến thiên đã cho → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sqrt{(-2-0{)}^2+(-3-1{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ → Đúng.