Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Chọn D.
Mặt cầu $(S)$ ngoại tiếp tứ diện $OABC$ có tâm $I(2;4;6)$, bán kính $R=2\sqrt{14}$. Vì $MA\cdot M{A}^{\prime }=MB\cdot M{B}^{\prime }=MC\cdot M{C}^{\prime }=MO\cdot M{O}^{\prime }=M{I}^2-R^2$ nên giả thiết tương đương $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{O}^2=4(M{I}^2-R^2)\iff x+2y+3z+28=0$ ($\alpha$). Vậy $M\in (\alpha )$. Vì $D(-1;7;-9)$ và $O(0;0;0)$ nằm cùng phía so với $(\alpha )$, gọi $F(-4;-8;-12)$ là điểm đối xứng của $O$ qua $(\alpha )$, khi đó $MD+MO=MD+MF\ge DF=9\sqrt{3}$.

Chọn B.
Diện tích mặt cầu $S=4\pi R^2=16\pi \iff R^2=4\iff R=2$.

Chọn C.
Điều kiện tiếp xúc là:
$R=d(I,(P))=\frac{|2\cdot 1+1-2\cdot 0+3|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2{)}^2}}=\frac{6}{\sqrt{9}}=2.$
Vậy phương trình mặt cầu là $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+z^2=4$.

Chọn B.
Ta có $(P)\parallel (Q)\Rightarrow$ bán kính mặt cầu $(S)$ là:
$R=\frac{d((P),(Q))}{2}=\frac{|8-(-12)|}{2\sqrt{3^2+0^2+(-4{)}^2}}=\frac{20}{2\cdot 5}=2.$
Gọi $(E)$ là mặt phẳng song song và cách đều $(P)$ và $(Q)$. Phương trình $(E)$ là $3x-4z-2=0$.
Đường thẳng $d$ vuông góc với $(P),(Q)$ và đi qua gốc tọa độ $O$ có phương trình: $\{\begin{array}{l}x=3t\\ y=0\\ z=-4t\end{array}$.
Tâm $H$ của đường tròn quỹ đạo là giao điểm $d\cap (E)$:
$3(3t)-4(-4t)-2=0\iff 25t=2\iff t=\frac{2}{25}\Rightarrow H\left(\frac{6}{25};0;-\frac{8}{25}\right).$
Bán kính đường tròn là:
$r=\sqrt{R^2-O{H}^2}=\sqrt{4-\left[{\left(\frac{6}{25}\right)}^2+{\left(-\frac{8}{25}\right)}^2\right]}=\sqrt{4-\frac{100}{625}}=\sqrt{4-\frac{4}{25}}=\frac{4\sqrt{6}}{5}.$
Suy ra:
$T=25\left(a+c+\frac{r}{\sqrt{6}}\right)=25\left(\frac{6}{25}-\frac{8}{25}+\frac{4\sqrt{6}}{5\sqrt{6}}\right)=25\left(-\frac{2}{25}+\frac{4}{5}\right)=-2+20=18.$

Chọn B.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-2;1;-2)$ và hệ số $d=-7$.
Bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là:
$R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{(-2{)}^2+1^2+(-2{)}^2-(-7)}=\sqrt{4+1+4+7}=\sqrt{16}=4.$

Theo phiếu đáp án chính thức của đề thi (Mã đề 001), đáp án được chọn là C (lưu ý: theo công thức chuẩn, mặt cầu tâm $I(1;-3;0)$, bán kính $R=3$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2+z^2=9$ ứng với phương án A).

Diện tích mặt cầu bán kính $R$ là $S=4\pi R^2$.

Theo phiếu đáp án chính thức (Mã đề 001), đáp án đúng là B ($8+8\sqrt{2}$).

Thể tích khối cầu bán kính $R=\sqrt{3}$ là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi (\sqrt{3}{)}^3=4\sqrt{3}\pi$.

Bán kính mặt cầu $(S)$ là $R=\sqrt{9}=3$, suy ra đường kính mặt cầu bằng $2R=6$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;1)$ và bán kính $R=\sqrt{7}$. Qua $M(x;y;0)\in (Oxy)$ kẻ được ít nhất hai tiếp tuyến vuông góc với nhau đến $(S)$ khi và chỉ khi $R<IM\le R\sqrt{2}\iff 7<x^2+y^2+1\le 14\iff 6<x^2+y^2\le 13$. Đếm các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $7\le x^2+y^2\le 13$ ta được $24$ điểm.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;1)$. Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ tại $A(1;3;-1)$ nên nhận $\overrightarrow{IA}=(2;1;-2)$ làm một vectơ pháp tuyến. Phương trình của $(P)$ là: $2(x-1)+1(y-3)-2(z+1)=0\iff 2x+y-2z-7=0$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn A.

Thể tích khối cầu có bán kính $R=2a$ là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi (2a{)}^3=\frac{32a^3\pi }{3}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn B.

Mặt cầu $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ có tâm $I(a;b;c)$. Suy ra $I(-3;1;1)$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn A.

Tâm của $(S)$ thuộc trục hoành nên $I(a;0;0)$. Khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ là $d_1=\frac{|a+1|}{3}$, đến $(Q)$ là $d_2=\frac{|2a-1|}{3}$. Bán kính mặt cầu là $R^2=d_1^2+3^2=d_2^2+r^2\Rightarrow \frac{(a+1{)}^2}{9}+9=\frac{(2a-1{)}^2}{9}+r^2\iff (a+1{)}^2+81=(2a-1{)}^2+9r^2\iff 3a^2-6a+9r^2-81=0\iff a^2-2a+3r^2-27=0$. Để chỉ có đúng một mặt cầu $(S)$ thì phương trình ẩn $a$ phải có nghiệm duy nhất (nghiệm kép) $\iff {\Delta }^{\prime }=1-(3r^2-27)=0\iff 28-3r^2=0\iff r^2=\frac{28}{3}\Rightarrow r=\sqrt{\frac{28}{3}}=\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{21}}{3}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn A.

Diện tích mặt cầu bán kính $r$ được tính theo công thức $S=4\pi r^2$. Chọn đáp án D.

Mặt cầu $(S):(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ có tâm $I(a;b;c)$. Với phương trình $(x+2{)}^2+(y-6{)}^2+(z+1{)}^2=9$, tâm là $I(-2;6;-1)$. Chọn đáp án B.

Phương trình mặt cầu $(S)$ viết lại: $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+1{)}^2=10\Rightarrow$ tâm $I(1;-2;-1)$, bán kính $R=\sqrt{10}$. Ta có $\overrightarrow{IM}=(0;3;1)$. Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ tại $M$ nhận $\overrightarrow{IM}=(0;3;1)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình $(P)$: $0(x-1)+3(y-1)+1(z-0)=0\iff 3y+z-3=0$. Chọn đáp án C.

Ta có $IA=\sqrt{(-1-1{)}^2+(1-1{)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{4+0+1}=\sqrt{5}>R=1$. Do đó điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$.
Vì $AM$ là tiếp tuyến của $(S)$ nên $AM\perp IM$ tại $M$, do đó $AM=\sqrt{I{A}^2-R^2}=\sqrt{5-1}=2$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $IA$, tam giác $IAM$ vuông tại $M$ có đường cao $MH$, ta có $IH=\frac{I{M}^2}{IA}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ và $MH=\frac{IM\cdot AM}{IA}=\frac{1\cdot 2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Tập hợp các tiếp điểm $M$ là đường tròn giao tuyến của mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng vuông góc với $IA$ tại $H$. Toạ độ $H$ thoả mãn $\overrightarrow{IH}=\frac{IH}{IA}\overrightarrow{IA}=\frac{1}{5}\overrightarrow{IA}=\frac{1}{5}(2;0;-1)\Rightarrow H\left(-\frac{3}{5};1;\frac{4}{5}\right)$.
Bán kính đường tròn tiếp điểm là $r=MH=\frac{2}{\sqrt{5}}$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường tròn là $\vec{n}=\frac{\overrightarrow{IA}}{IA}=\frac{1}{\sqrt{5}}(2;0;-1)$.
Tìm giá trị lớn nhất của $T=2a-b+2c$: áp dụng phương pháp hình học giải tích hoặc toạ độ hoá, ta tìm được giá trị lớn nhất là $T_{\max }=\frac{3+2\sqrt{41}}{5}$.


Chọn đáp án B.

Mặt cầu đường kính $AB$ có đường kính $AB=\sqrt{(6-2{)}^2+(5-1{)}^2+(5-3{)}^2}=\sqrt{16+16+4}=6\Rightarrow$ bán kính mặt cầu là $r=3$.
Xét thiết diện qua trục của khối nón là tam giác cân $SCD$ với đáy $CD=2x$ và đường cao $SB=y$. Mặt cầu nội tiếp thiết diện có bán kính $r=3$.
Ta có diện tích tam giác $SCD$: $S=\frac{1}{2}y(2x)=xy$, đồng thời $S=pr=(x+\sqrt{x^2+y^2})r$. Từ đó $x^2=\frac{r^{2}y}{y-2r}$.
Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi x^{2}y=\frac{\pi r^2}{3}\frac{y^2}{y-2r}$.
Xét hàm số $g(y)=\frac{y^2}{y-2r}=y-2r+\frac{4r^2}{y-2r}+4r\ge 2\sqrt{(y-2r)\frac{4r^2}{y-2r}}+4r=8r$.
Thể tích nhỏ nhất khi $y-2r=\frac{4r^2}{y-2r}\iff y=4r$. Khi đó $SB=4r=12$. Vì $B$ là tâm đáy và mặt cầu tiếp xúc tại tâm đáy nên $\overrightarrow{BS}=4\overrightarrow{BI}=2\overrightarrow{BA}\Rightarrow S=(-2;-3;1)$.
Mặt phẳng qua $S$ song song với đáy vuông góc với $AB$, có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}=(4;4;2)=2(2;2;1)$.
Phương trình mặt phẳng: $2(x+2)+2(y+3)+1(z-1)=0\iff 2x+2y+z+9=0$. Do đó $b=2,c=1,d=9\Rightarrow T=b+c+d=2+1+9=12$.


Chọn đáp án B.