Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Mặt cầu $(S)$ có phương trình dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với $a=0,b=-1,c=1,d=-7$.

Bán kính của $(S)$ là $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{0^2+(-1{)}^2+1^2-(-7)}=\sqrt{9}=3$.

Công thức tính thể tích khối cầu có bán kính $r$ là:
$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3=36\pi .$

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ theo đoạn chắn là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.

Kết hợp với giả thiết $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$, ta thấy tọa độ điểm $H(1;-1;1)$ thỏa mãn phương trình mặt phẳng $(ABC)$, do đó mặt phẳng $(ABC)$ luôn đi qua điểm cố định $H(1;-1;1)$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;1;3)$ và bán kính $R=5$.

Độ dài đoạn thẳng $IH$ là: $IH=\sqrt{(1-2{)}^2+(-1-1{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{1+4+4}=3$.

Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(ABC)$, khoảng cách từ $I$ đến $(ABC)$ là:
$d(I,(ABC))=IK=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3.$
Vì $IK=IH=3$ và $K$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(ABC)$ nên $K\equiv H$, suy ra $IH\perp (ABC)$.

Do đó vectơ pháp tuyến của $(ABC)$ cùng phương với $\overrightarrow{IH}=(-1;-2;-2)=-(1;2;2)$.

Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $H(1;-1;1)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;2)$ là:
$1(x-1)+2(y+1)+2(z-1)=0⟺x+2y+2z-1=0⟺x+2y+2z=1$
Đưa về phương trình đoạn chắn:
$\frac{x}{1}+\frac{y}{\frac{1}{2}}+\frac{z}{\frac{1}{2}}=1.$
Suy ra $a=1,b=\frac{1}{2},c=\frac{1}{2}$.

Vậy $a+b+c=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2$.

Gọi tâm của $(S)$ là $I(t;0;0)\in Ox$.
Khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ là:
$d(I,(P))=\frac{|t+1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{|t+1|}{\sqrt{6}}$.
Khoảng cách từ $I$ đến $(Q)$ là:
$d(I,(Q))=\frac{|2t-1|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}}=\frac{|2t-1|}{\sqrt{6}}$.
Bán kính mặt cầu $(S)$ thỏa mãn:
$R^2=d^2(I,(P))+2^2=\frac{(t+1{)}^2}{6}+4$, và $R^2=d^2(I,(Q))+r^2=\frac{(2t-1{)}^2}{6}+r^2$.
Suy ra:
$\frac{(t+1{)}^2}{6}+4=\frac{(2t-1{)}^2}{6}+r^2⟺(t+1{)}^2+24=(2t-1{)}^2+6r^2$
$⟺3t^2-6t+6r^2-24=0⟺t^2-2t+2r^2-8=0$.
Để có đúng một mặt cầu $(S)$ thì phương trình phải có nghiệm duy nhất theo $t$:
${\Delta }^{\prime }=1-(2r^2-8)=0⟺9-2r^2=0⟺r^2=\frac{9}{2}⟹r=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Chọn đáp án C.

Mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ bán kính $R$ có phương trình:
$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$.
Với $I(1;-4;0)$ và $R=4$, ta được:
$(x-1{)}^2+(y+4{)}^2+z^2=16$.
Chọn đáp án A.

Thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \iff R^3=1\iff R=1$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn A.

Phương trình mặt cầu có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ nên tâm là $I(-4;1;0)$ và bán kính $R=\sqrt{9}=3$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn B.

Hình chiếu vuông góc của $I(3;1;-2)$ trên trục $Oy$ là $H(0;1;0)$. Khoảng cách từ $I$ đến trục $Oy$ chính là bán kính mặt cầu: $R=IH=\sqrt{(0-3{)}^2+(1-1{)}^2+(0-(-2){)}^2}=\sqrt{9+0+4}=\sqrt{13}$. Vậy phương trình mặt cầu là $(x-3{)}^2+(y-1{)}^2+(z+2{)}^2=13$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn C.

Từ $w=2z+3-2i\iff z=\frac{w-3+2i}{2}$. Thay vào giả thiết: $\left|\frac{w-3+2i}{2}+3-4i\right|=3\iff |w-3+2i+6-8i|=6\iff |w+3-6i|=6$. Tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn tâm $I(-3;6)$, bán kính $R=6$. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến tâm $I$ là $OI=\sqrt{(-3{)}^2+6^2}=\sqrt{9+36}=3\sqrt{5}$. Do đó giá trị lớn nhất của $|w|$ là $|w{|}_{max}=OI+R=3\sqrt{5}+6=6+3\sqrt{5}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn B.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;1;0)$, bán kính $R=5$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua tâm $I$ và vuông góc với $(P)$ cắt mặt cầu tại hai điểm $M_1,M_2$ là các điểm có khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất đến $(P)$. Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(2;2;-1)$, có độ dài bằng $\sqrt{4+4+1}=3$. Vectơ đơn vị ${\vec{u}}_0=\left(\frac{2}{3};\frac{2}{3};-\frac{1}{3}\right)$. Hai điểm cực trị có tọa độ đối xứng qua $I$, từ đó tính được tọa độ $M_1$ và $M_2$ và biểu thức $T=a+3b+c+d-3e+f=20$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn B.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-1;-4)$ và $\overrightarrow{AC}=(-1;-3;-4)$, suy ra $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(-8;8;-4)=-4(2;-2;1)$. Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(0;1;1)$ có phương trình $2x-2(y-1)+(z-1)=0\iff 2x-2y+z+1=0$.
a) Đúng vì mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;0;-1)$, bán kính $R=2$, khoảng cách $d(I,(ABC))=\frac{|2-0-1+1|}{3}=\frac{2}{3}$, nên bán kính đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{4-\frac{4}{9}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
b) Sai vì phương trình $(ABC)$ là $2x-2y+z+1=0$.
c) Đúng vì $\overrightarrow{AB}=(1;-1;-4)$.
d) Sai vì trọng tâm $G\left(0;-\frac{1}{3};-\frac{5}{3}\right)$ có $a+b+c=-2$.

Mặt cầu $x^2+y^2+z^2-2x+4y+6z+5=0$ có tâm $I(1;-2;-3)$ và bán kính $R=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+(-3{)}^2-5}=3$.

Mặt cầu $(S_1)$ có tâm $I(2;0;-1)$, bán kính $R_1=1$. Mặt cầu $(S_2)$ có tâm $J(-4;-2;3)$, bán kính $R_2=2$.

Ta có $IJ=2\sqrt{14}>R_1+R_2$ và $(S_1),(S_2)$ nằm khác phía so với mặt phẳng $(P)$.

Gọi $C,D$ lần lượt là giao điểm của đoạn $IJ$ với $(S_1)$ và $(S_2)$.

Đường thẳng $IJ$ có phương trình tham số: $\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=t\\ z=-1-2t\end{array}$.

Tọa độ $C$ là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}x=2+3t,y=t,z=-1-2t\\ (x-2{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=1\\ d(C,(P))<d(I,(P))\end{array}⟺t=-\frac{\sqrt{14}}{14}$.

Suy ra $A\equiv C\left(2-\frac{3\sqrt{14}}{14};-\frac{\sqrt{14}}{14};-1+\frac{2\sqrt{14}}{14}\right)⟹a-b+c=2-\left(-1\right)-\frac{3\sqrt{14}-\sqrt{14}-2\sqrt{14}}{14}=1$.

Công thức thể tích khối cầu bán kính $R$ là $V=\frac{4}{3}\pi R^3$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn B.

Vì $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90^{\circ }$ và tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên tứ diện $SABC$ có các góc vuông đặc trưng. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $R=3a\sqrt{2}$. Khi đó thể tích khối cầu ngoại tiếp là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi (3a\sqrt{2}{)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 54\sqrt{2}{a}^3=72\sqrt{2}\pi a^3$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn A.

Chọn B.
Phương trình mặt cầu tâm $I(1;-2;-3)$, bán kính $R=2$ là:
$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+3{)}^2=2^2=4$.

Chọn C.
Giả sử tâm mặt cầu là $I\in \Delta \Rightarrow I(1+t;-1+t;2t)$.
Vì $(S)$ tiếp xúc với $(P)$ và $(Q)$ nên $d(I,(P))=d(I,(Q))=R$:
$\frac{|(1+t)-2(-1+t)+3(2t)|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+3^2}}=\frac{|(1+t)-2(-1+t)+3(2t)+4|}{\sqrt{14}}$
$\iff |5t+3|=|5t+7|\iff 5t+3=-(5t+7)\iff 10t=-10\iff t=-1$.
Khi đó tâm $I(0;-2;-2)$.
Bán kính mặt cầu là:
$R=\frac{|0-2(-2)+3(-2)|}{\sqrt{14}}=\frac{|4-6|}{\sqrt{14}}=\frac{2}{\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$.

Chọn A.
Thể tích khối cầu bán kính $R$ là $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

Chọn A.
Ta có phương trình mặt cầu là $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-1{)}^2=4$.

Chọn D.

Gọi $E$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên trục $Ox\Rightarrow E(2;0;0)$. Suy ra $IE=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Giả sử mặt cầu $(S)$ có bán kính $R$. Ta có $△IAB$ cân tại $I\Rightarrow IE\perp AB$. Suy ra $AE=BE=\sqrt{I{A}^2-I{E}^2}=\sqrt{R^2-25}$. Khi đó $S_{△IAB}=\frac{1}{2}IE\cdot AB=IE\cdot AE=5\sqrt{R^2-25}=60\iff \sqrt{R^2-25}=12\iff R^2=169$. Vậy phương trình mặt cầu là $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(z-4{)}^2=169$.