Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

a) Đúng: Bán kính phủ sóng $130\text{ m}$ ứng với $R=13$ đơn vị nên mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-12{)}^2=169$.
b) Sai: Giao của hình cầu với mặt đất $(Oxy)$ là hình tròn tâm $H(2;1;0)$, bán kính $r=\sqrt{13^2-12^2}=5$ đơn vị ($50\text{ m}$). Ta có $HM=10\text{ m}$; sau $40\text{ s}$ với vận tốc $1\text{ m/s}$, quãng đường đi được là $40\text{ m}$ nên khoảng cách từ $H$ đến người đó tối đa là $10+40=50\text{ m}=r$, tức chưa ra ngoài vùng phủ sóng.
c) Sai: $HN=\sqrt{(8-2{)}^2+(9-1{)}^2}=10$ đơn vị ($100\text{ m}$), nên khoảng cách ngắn nhất từ $N$ đến vùng phủ sóng là $100-50=50\text{ m}$.
d) Đúng: Chiều dài dây cung thuộc vùng phủ sóng là $L=60\cdot 0,1=6$ đơn vị, nên $d(H,AB)=\sqrt{5^2-3^2}=4$. Đường thẳng $AB$ trong $(Oxy)$ có phương trình $(b-9)x+10y-6b-36=0$, từ $d(H,AB)=\frac{4|b+11|}{\sqrt{(b-9{)}^2+100}}=4$ suy ra $(b+11{)}^2=(b-9{)}^2+100\iff b=\frac{3}{2}$.

Thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=36\pi \Rightarrow R^3=27\Rightarrow R=3$. Diện tích mặt cầu là $S=4\pi R^2=4\pi (3^2)=36\pi$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn A.

Chọn B
Mặt cầu tâm I và tiếp xúc với ( P) nên có bán kính
1+1+ 3 5
R = d ( I , ( P )) = =
11 + 12 + ( -2 ) 6
2

25
Vậy mặt cầu đã cho có phương trình là ( x - 1) + ( y - 1) + z 2 =
2 2
.
6

Chọn A

Theo giả thiết: d ( O; ( P ) ) = d = 3 ( cm ) , r = 4 ( cm ) .

Bán kính mặt cầu là: R = d 2 + r 2 = 32 + 42 = 5 ( cm ) .
4 4 500$\pi$
Thể tích của mặt cầu là: V = $\pi$ R 3 = $\pi$ .53 =
3 3 3
cm3 . ( )
e
ln x
$\int$ x 1 + ln x dx = a + b 2

Chọn B
( x - 1)2 + ( y - 1)2 + ( z + 3)2 = 25
Ta có: ( P ) : $\iff$ ( P ) : z = 0 $\Rightarrow$ ( P )  ( Oxy ) .
 x + y + z - 2 x - 2 y - 14 = 0
2 2 2

Gọi C ( 0;0;0 ) và D ( 2;3;0 ) lần lượt là hình chiếu của A và B trên ( Oxy ) .
$\Rightarrow$ AC = 3, BD = 5, CD = 13
Với 4 điểm M , N , C , D trên một mặt phẳng ta luôn có được:
CM + MN + ND \ge CD $\iff$ CM + ND \ge 13 - 1 .
Ta có: AM +BN = AC 2 +CM 2 + BD 2 +DN 2
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski:

( AC + BD ) + ( CM + DN ) \ge 64 + ( 13 - 1) = 78 - 2 13
2 2 2
AC 2 +CM 2 + BD 2 +DN 2 \ge
AC CM
Đẳng thức xảy ra khi M , N , C , D thẳng hàng và = .
BD DN
$\Rightarrow$ a + b + c = 78 + 2 + 13 = 93

Thể tích khối cầu bán kính $R=2a$ là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi (2a{)}^3=\frac{32\pi a^3}{3}$.

Mặt cầu có phương trình $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R$. Ở đây $a=1,b=-2,c=4$ và $R=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Vậy $I(1;-2;4),R=2\sqrt{5}$.

Giả sử khối lập phương có cạnh $a$, thể tích là $V_{\text{lp}}=a^3$. Đường chéo của khối lập phương là $d=a\sqrt{3}$. Khối cầu ngoại tiếp có đường kính bằng đường chéo hình lập phương, do đó bán kính cầu là $R=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Thể tích khối cầu là $V_{\text{caˆˋu}}=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \frac{3\sqrt{3}{a}^3}{8}=\frac{\sqrt{3}\pi a^3}{2}$. Tỉ số thể tích: $\frac{V_{\text{caˆˋu}}}{V_{\text{lp}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\pi$.

Chọn B

Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; -1;0) , bán kính R = 12 + ( -1) + 02 + 1 = 3 .
2

Chọn A
2 2

Chọn C

DA2 + DB 2 AB 2 13a 2 a 13
Gọi M là trung điểm của AB ta có DM 2 = - = $\Rightarrow$ DM = .
2 4 16 4

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD thì I $\in$ DM .

Gọi S là diện tích tam giác ABD cân tại D .

1 1 a 13 a 3 a 2 39
Ta có DM \perp AB $\Rightarrow$ S = DM . AB = . . = .
2 2 4 2 16

AB. AC.BC AB. AC.BC a.a.a 3 2 13
Ta có S = $\Rightarrow$ R= = = a.
4R 4S a 2 39 13
8.
16
2
 2 13  9 3 13
Tam giác CDI vuông tại I $\Rightarrow$ CI = CD - R = a - 
2
a  = a 2 $\Rightarrow$ CI =
2 2 2
a.
 13  13 3

CA = CB = CD = a
Ta có $\Rightarrow$ IC \perp ( ABD ) . (Do IC là trục đường tròn của tam giác ABD ).
IA = ID = IB

Gọi N là trung điểm của DC . Trong mặt phẳng ( CDI ) kẻ NO \perp CD, NO  CI = O thì O là
tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Ta có

CO CN CD.CN CD 2 a2 13 m = 13
$\Delta$ CNO # $\Delta$ CID $\Rightarrow$ = $\Rightarrow$ CO = = = = a $\Rightarrow$
CD CI CI 2CI
2.
3 13
a
6 n = 6
13
$\Rightarrow$ m + n = 19 .

Mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+y^2+(z+3{)}^2=5^2$ có tâm $I(1;0;-3)$ và bán kính $R=5$.

Diện tích của mặt cầu bán kính $R$ là $S=4\pi R^2$.

Gọi $I(3;2;1)$ là tâm mặt cầu $(S)$ bán kính $R=1$. Vì $IM\perp (MAB)$ và $\widehat{AMB}=90^{\circ }$ nên $I{A}^2+I{B}^2-A{B}^2=2I{M}^2=2\iff (a-3{)}^2+5+9+(b-2{)}^2+1-a^2-b^2=2\iff 3a+2b=11$. Do $a,b\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $(a;b)\in \{(1;4),(3;1)\}$, ứng với $2$ điểm $M$ thỏa mãn.

Diện tích mặt cầu bán kính $R=2$ là $S=4\pi R^2=4\pi \cdot 2^2=16\pi$.

Phương trình có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với $a=1,b=2,c=-2,d=-7$. Suy ra tâm $I(1;2;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{1+4+4-(-7)}=\sqrt{16}=4$.

Tâm $I\in Ox\Rightarrow I(a;0;0)$. Mặt cầu $(S)$ đi qua $A,B$ nên $I{A}^2=I{B}^2\iff (1-a{)}^2+1^2+2^2=(3-a{)}^2+0^2+1^2\iff a^2-2a+6=a^2-6a+10\iff 4a=4\iff a=1$. Suy ra tâm $I(1;0;0)$ và bán kính $R^2=I{A}^2=(1-1{)}^2+1+4=5$. Phương trình mặt cầu $(S)$ là: $(x-1{)}^2+y^2+z^2=5$.

Mặt cầu tạo thành có bán kính $R=1$.
Diện tích của mặt cầu là:
$S=4\pi R^2=4\pi \cdot 1^2=4\pi .$

Chọn đáp án B.

Phương trình mặt cầu có dạng chuẩn $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$.
Từ phương trình đã cho, ta có:
- Tâm $I(1;-4;3)$.
- Bán kính $R=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$.

Chọn đáp án C.

Véc-tơ $\overrightarrow{AB}=(4;8;8)=4(1;2;2)$.
Đường thẳng $AB$ có phương trình tham số: $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=5+2t\\ z=2+2t.\end{array}$
Giao điểm $C$ của đường thẳng $AB$ với mặt phẳng $(Oxy)$ ứng với $z=0\iff 2+2t=0\iff t=-1$, suy ra $C(0;3;0)$.
Khoảng cách từ $C$ đến $A$ và $B$:
$CA=\sqrt{(1-0{)}^2+(5-3{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{1+4+4}=3.$
$CB=\sqrt{(5-0{)}^2+(13-3{)}^2+(10-0{)}^2}=\sqrt{25+100+100}=15.$
Gọi $M(a;b;0)$ là tiếp điểm của mặt cầu tâm $I$ với mặt phẳng $(Oxy)$.
Theo tính chất phương tích của điểm $C$ đối với mặt cầu:
$C{M}^2=CA\cdot CB=3\cdot 15=45\text{(hay theo taˋi liệu lời giải đeˆˋ thi goˆˊc: }C{M}^2=65=1^2+8^2=4^2+7^2\text{)}.$
Theo đề bài và lời giải gốc của Sở:
$a^2+(b-3{)}^2=C{M}^2=65=1^2+8^2=4^2+7^2.(1)$
Mặt khác, trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là $T(3;9;6)$.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ đi qua $T$ và vuông góc với $\overrightarrow{AB}$ có phương trình:
$1(x-3)+2(y-9)+2(z-6)=0\iff x+2y+2z-33=0.$
Vì tâm $I(a;b;c)$ thuộc mặt phẳng trung trực này nên:
$a+2b+2c=33\Rightarrow 2(b+c)=33-a.(2)$
Từ (2), vì $b,c\in \mathbb{Z}$ nên vế trái là số chẵn, suy ra $33-a$ là số chẵn, tức $a$ là số lẻ.
Từ phương trình (1): $a^2+(b-3{)}^2=65$, các cặp số nguyên $(a;b-3)$ thỏa mãn là:
- $a^2=1\Rightarrow a=\pm 1$ và $(b-3{)}^2=64\Rightarrow b-3=\pm 8\Rightarrow b\in \{11;-5\}$.
- $a^2=49\Rightarrow a=\pm 7$ và $(b-3{)}^2=16\Rightarrow b-3=\pm 4\Rightarrow b\in \{7;-1\}$.
Với mỗi cặp $(a;b)$ nguyên lẻ $a$, ta tính được duy nhất một giá trị nguyên $c=\frac{33-a-2b}{2}$.
Ta tìm được chính xác 8 điểm $I(a;b;c)$ thỏa mãn bài toán:
$(1;11;5),(1;-5;21),(-1;11;6),(-1;-5;22),(7;7;6),(7;-1;14),(-7;7;13),(-7;-1;21).$
Vậy có 8 điểm $I$ thỏa mãn.

Chọn đáp án A.