Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Thể tích khối cầu $V=\frac{4}{3}\pi r^3=36\pi \iff r^3=27\iff r=3$. Diện tích mặt cầu là $S=4\pi r^2=4\pi \cdot 3^2=36\pi$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn A.

Phương trình mặt cầu có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$. Ta có $-2a=-2\Rightarrow a=1$; $-2b=4\Rightarrow b=-2$; $-2c=-6\Rightarrow c=3$. Tâm của mặt cầu là $I(1;-2;3)$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn B.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính $R=3$. Mặt phẳng $(\alpha )\parallel (P)$ có phương trình $2x-2y+z+D=0$ ($D\ne 3$). Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu khi $d(I,(\alpha ))=R\iff \frac{|2(1)-2(-2)+3+D|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+1^2}}=3\iff |9+D|=9\iff 9+D=9$ hoặc $9+D=-9$. Suy ra $D=0$ hoặc $D=-18$. Phương trình là $2x-2y+z-18=0$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn B.

Biến đổi điều kiện: $(z-3+i)(\bar{z}-3-i)=|z-(3-i){|}^2=36\Rightarrow |z-(3-i)|=6$. Từ $w=2z-5+i\Rightarrow w-(1-i)=2(z-(3-i))\Rightarrow |w-(1-i)|=12$. Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn tâm $I(1;-1)$, bán kính $R=12$. Xét điểm $M(0;5)$ ứng với số phức $5i$, áp dụng định lý trung tuyến và bất đẳng thức trong hình học phẳng ta tìm được giá trị lớn nhất $P_{\max }=4\sqrt{37}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn B.

Tâm của mặt cầu $(S)$ là $I(2;-4;1)$.

$(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=25$ có tâm $I(1;2;-3)$ và $R=5$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ trên $(P)$, khi đó $IH\le IA=3$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn $(C^{\prime })$.

$\Rightarrow r=\sqrt{25-I{H}^2}$, khi đó thể tích khối nón là $V=\frac{\pi }{3}IH{\left(\sqrt{25-I{H}^2}\right)}^2=\frac{\pi }{3}IH(25-I{H}^2)$.

**Cách 1:** Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

$V^2=\frac{{\pi }^2}{18}\cdot 2I{H}^2(25-I{H}^2)(25-I{H}^2)\le \frac{{\pi }^2}{18}\frac{(2I{H}^2+25-I{H}^2+25-I{H}^2{)}^3}{27}=\frac{50^3{\pi }^2}{486}\Rightarrow V\le \frac{250\sqrt{12}}{54}\pi$.

Đẳng thức xảy ra khi $2I{H}^2=25-I{H}^2\iff IH=\frac{5\sqrt{3}}{3}\Rightarrow r=\frac{5\sqrt{6}}{3}$.

**Cách 2:** Xét hàm số $f(x)=x(25-x^2)=25x-x^3$ $(0\le x\le 3)\Rightarrow f^{\prime }(x)=25-3x^2=0\iff x=\frac{5\sqrt{3}}{3}\in [0;3]$.

Bảng biến thiên:

[IMAGE_1]

Khi đó ta thấy ${\max }_{x\in [0;3]}f(x)=f\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)\Rightarrow IH=\frac{5\sqrt{3}}{3}\Rightarrow r=\frac{5\sqrt{6}}{3}$.

Phương trình mặt cầu có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$. Suy ra tâm $I(1;2;-3)$ và bán kính $R=\sqrt{4}=2$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn A.

Thể tích khối cầu được tính theo công thức $V=\frac{4}{3}\pi R^3$. Theo bài ra: $\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{32\pi a^3}{3}\Rightarrow 4R^3=32a^3\Rightarrow R^3=8a^3\Rightarrow R=2a$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn B.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;3)$ và bán kính $R=2\sqrt{2}$. Ta có $\overrightarrow{IA}=(4;4;0)\Rightarrow IA=4\sqrt{2}=2R$. Điểm $B(1;1;1)$ có $\overrightarrow{IB}=(1;1;-2)\Rightarrow IB=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$. Xét điểm $K$ trên đoạn $IA$ sao cho $\overrightarrow{IK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{IA}=(1;1;0)\Rightarrow K(1;1;3)$. Khi đó $IK=\sqrt{2}=\frac{R}{2}$. Với mọi điểm $M\in (S)$, ta có $\frac{MI}{IA}=\frac{KM}{MI}=\frac{1}{2}$, suy ra hai tam giác $\Delta IMK$ và $\Delta IAM$ đồng dạng $\Rightarrow MA=2MK$. Biểu thức trở thành $MA-2MB=2(MK-MB)\ge -2BK$. Dấu bằng xảy ra khi $M,K,B$ thẳng hàng theo thứ tự $M,B,K$, hay $M$ là giao điểm của tia đối của tia $KB$ với mặt cầu $(S)$. Khảo sát tập hợp điểm làm cho khoảng cách đạt cực tiểu trên mặt cầu, ta được đường tròn giao tuyến có bán kính $r=\sqrt{7}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn B.

Phương trình mặt cầu tâm $I(1;-2;3)$ bán kính $R=2$ là $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=2^2=4$.

Thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 2^3=\frac{32\pi }{3}$.

[IMAGE_1]

Mặt cầu $(S)$ có tâm $O(0;0;0)$, bán kính $R=3$. Mặt phẳng $(P)$ có ${\vec{n}}_P=(1;1;1)$ và điểm $M(1;1;2)\in (P)$ nằm trong $(S)$ vì $OM=\sqrt{6}<3$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $O$ trên $\Delta$, ta có $AB=2\sqrt{R^2-O{K}^2}$ nhỏ nhất khi $OK$ lớn nhất. Mà $OK\le OM$ nên $OK$ lớn nhất khi $K\equiv M$, tức $\Delta \perp OM$.
Suy ra ${\vec{u}}_{\Delta }=[{\vec{n}}_P,\overrightarrow{OM}]=(1;-1;0)\Rightarrow a=-1,b=0\Rightarrow 5a+3b=-5$.

Phương trình $x^2+y^2+z^2-4x+2y+2z-2=0$ có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với $a=2,b=-1,c=-1,d=-2$ và $a^2+b^2+c^2-d=4+1+1-(-2)=8>0$, nên là phương trình của một mặt cầu. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0101, trang 9): C.

**Chọn B**

Diện tích mặt cầu bán kính $r$ là $S=4\pi r^2$.

**Chọn C**

Phương trình mặt cầu tâm $I(-1;2;-3)$, bán kính $R=2\sqrt{2}$ là:
$(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=(2\sqrt{2}{)}^2=8$.

**Chọn D**

Thay tọa độ điểm $P(2;1;1)$ vào phương trình mặt cầu $(S)$:
$(2-2{)}^2+(1-1{)}^2+(1+3{)}^2=0+0+16=16$ (thỏa mãn).
Vậy mặt cầu $(S)$ đi qua điểm $P(2;1;1)$.

**Chọn A**

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính $R=3\sqrt{3}$.
Vì $(\alpha ):ax+by-z+c=0$ đi qua hai điểm $A(0;0;-4)$ và $B(2;0;0)$ nên:
$\{\begin{array}{l}0\cdot a+0\cdot b-(-4)+c=0\\ 2a+0\cdot b-0+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}c=-4\\ a=2\end{array}$.
Suy ra $(\alpha ):2x+by-z-4=0$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(\alpha )$ và đặt $IH=x$ ($0<x<3\sqrt{3}$).
Bán kính đường tròn $(C)$ là $r=\sqrt{R^2-x^2}=\sqrt{27-x^2}$.
Thể tích của khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot IH=\frac{1}{3}\pi (27-x^2)x=\frac{1}{6}\pi (27-x^2)(2x)$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
$(27-x^2{)}^2\cdot (2x^2)=(27-x^2)(27-x^2)(2x^2)\le {\left(\frac{27-x^2+27-x^2+2x^2}{3}\right)}^3=18^3=5832$.
Suy ra $V\le 18\pi$.
Dấu bằng xảy ra khi $27-x^2=2x^2\iff x=3$.
Khi đó khoảng cách $d(I,(\alpha ))=IH=3\iff \frac{|2(1)+b(-2)-3-4|}{\sqrt{2^2+b^2+(-1{)}^2}}=3\iff \frac{|-2b-5|}{\sqrt{b^2+5}}=3\iff (2b+5{)}^2=9(b^2+5)\iff 4b^2+20b+25=9b^2+45\iff 5b^2-20b+20=0\iff 5(b-2{)}^2=0\iff b=2$.
Vậy $a-b+c=2-2+(-4)=-4$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$ và bán kính $R=\sqrt{1^2+2^2+3^2-(-11)}=\sqrt{25}=5$.

Bán kính khối cầu là $R=\frac{4}{2}=2\text{ cm}$. Thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{32}{3}\pi ({\text{cm}}^3)$.

Bán kính mặt cầu $(S)$ là $R=IA=\sqrt{3}$. Khối chóp đều $A.BCD$ nội tiếp $(S)$ có thể tích lớn nhất khi chiều cao $AH=\frac{4}{3}R$, tức $H$ thỏa mãn $\overrightarrow{IH}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AI}=\left(\frac{1}{3};-\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)\Rightarrow H\left(\frac{4}{3};\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)$. Mặt phẳng $(BCD)$ đi qua $H$ và nhận $\overrightarrow{AI}=(1;-1;1)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình $x-y+z-2=0$, suy ra $b=-1,c=1,d=-2\Rightarrow b+c+d=-2$.