Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Ta có $V=\frac{4}{3}\pi R^3\iff \frac{4}{3}\pi =\frac{4}{3}\pi R^3\iff R^3=1\iff R=1$. Chọn A.

Từ phương trình $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$, tâm của mặt cầu là $I(1;-4;-2)$. Chọn C.

Vì các điểm $A,B,C$ lần lượt nằm trên ba trục tọa độ đôi một vuông góc nên tâm mặt cầu ngoại tiếp $OABC$ là trung điểm các đoạn thẳng trên ba trục: $I\left(\frac{4}{2};\frac{-2}{2};\frac{-4}{2}\right)=(2;-1;-2)$.
Bán kính mặt cầu là $R=OI=\sqrt{2^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{4+1+4}=3$. Chọn C.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;-5)$ và bán kính $R=2\sqrt{3}$.
Ta có $\overrightarrow{IA}=(1;-1;2)\Rightarrow IA=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{6}<R$, do đó điểm $A$ nằm trong mặt cầu.
Mặt phẳng $(P)$ qua $A$ cắt $(S)$ theo thiết diện là đường tròn có bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2(I,(P))}$. Bán kính $r$ nhỏ nhất khi $d(I,(P))$ lớn nhất, điều này xảy ra khi $(P)\perp IA$ tại $A$.
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=\overrightarrow{IA}=(1;-1;2)$.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(0;1;-3)$:
$1(x-0)-1(y-1)+2(z+3)=0\iff x-y+2z+7=0$.
Nhân cả hai vế với 2 để được hệ số tự do là $+14$:
$2x-2y+4z+14=0$.
Đối chiếu với $ax+by+cz+14=0$, ta có $a=2,b=-2,c=4$.
Vậy $M=a-b+c=2-(-2)+4=8$. Chọn C.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 16, mã đề 333; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 16, mã đề 333; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có $V=\frac{4}{3}\pi r^3=36\pi \iff r^3=\frac{3\cdot 36\pi }{4\pi }=27\iff r=3$.
Diện tích của mặt cầu là $S=4\pi r^2=4\pi \cdot 3^2=36\pi$.
Chọn đáp án D.

Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I(1;2;3)$ trên trục hoành $Ox$, suy ra $M(1;0;0)$.
Vì mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với trục hoành nên bán kính mặt cầu là:
$R=IM=\sqrt{(1-1{)}^2+(0-2{)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{13}$
Vậy phương trình mặt cầu $(S)$ là $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=13$.
Chọn đáp án A.

Bán kính mặt cầu là $R=AB=\sqrt{(5-2{)}^2+(1-1{)}^2+(-3-1{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$.
Vậy phương trình mặt cầu tâm $A(2;1;1)$, bán kính $R=5$ là:
$(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=25$
Chọn đáp án B.

Thiết diện qua trục của hình trụ $(T)$ là hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp đường tròn lớn của mặt cầu có đường kính $AC=2R=6$.
Đặt $AD=x\in (0;6)$, ta có $CD=\sqrt{A{C}^2-A{D}^2}=\sqrt{36-x^2}$.
Diện tích thiết diện qua trục là $S_{ABCD}=AD\cdot CD=x\sqrt{36-x^2}\le \frac{x^2+(36-x^2)}{2}=18$.
Dấu bằng xảy ra khi $x=\sqrt{36-x^2}\iff x=3\sqrt{2}\Rightarrow AD=CD=3\sqrt{2}$.
Vậy hình trụ có bán kính đáy $r=\frac{AD}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ và chiều cao $h=CD=3\sqrt{2}$.
Diện tích toàn phần của hình trụ là:
$S_{\text{tp}}=2\pi r(r+h)=2\pi \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{2}\right)=27\pi$
Chọn đáp án D.

[IMAGE:img_1]

Vì $(C)$ là đường tròn giao tuyến của mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2y-2z-2=0$ và mặt phẳng $(P):x+y+z+1=0$ nên mặt cầu $(S^{\prime })$ chứa đường tròn $(C)$ có phương trình dạng:
$x^2+y^2+z^2-2y-2z-2+m(x+y+z+1)=0$
Vì $A(-1;2;1)\in (S^{\prime })$ nên:
$(-1{)}^2+2^2+1^2-2\cdot 2-2\cdot 1-2+m(-1+2+1+1)=0\iff 3m-2=0\iff m=\frac{2}{3}$
Khi đó phương trình mặt cầu $(S^{\prime })$ là:
$x^2+y^2+z^2+\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}y-\frac{4}{3}z-\frac{4}{3}=0\iff {\left(x+\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(y-\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(z-\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{7}{3}$
Suy ra bán kính mặt cầu $(S^{\prime })$ là $R=\sqrt{\frac{7}{3}}=\frac{\sqrt{21}}{3}$.
Chọn đáp án C.

Gọi $M(x;y;z)$. Từ giả thiết $\frac{MA}{MB}=\frac{3}{2}\iff 4M{A}^2=9M{B}^2$, ta có:
$4[(x-3{)}^2+(y+3{)}^2+(z-3{)}^2]=9[(x+2{)}^2+(y-2{)}^2+(z+2{)}^2]$
$\iff 5(x^2+y^2+z^2)+60x-60y+60z=0\iff (x+6{)}^2+(y-6{)}^2+(z+6{)}^2=108$
Do đó mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-6;6;-6)$ và bán kính $R=6\sqrt{3}$.
Ta có $\overrightarrow{IC}=(1;-2;2)\Rightarrow IC=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}=3<R$, nên điểm $C$ nằm trong mặt cầu $(S)$.
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $C$ cắt $(S)$ theo đường tròn giao tuyến có bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2(I,(P))}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách $d(I,(P))$ lớn nhất, tức là $IC\perp (P)$.
Khi đó $(P)$ đi qua $C(-5;4;-4)$ và nhận $\overrightarrow{IC}=(1;-2;2)$ làm vectơ pháp tuyến, nên có phương trình:
$1(x+5)-2(y-4)+2(z+4)=0\iff x-2y+2z+21=0$
Thay tọa độ điểm $(-1;4;-6)$ vào phương trình $(P)$: $-1-2\cdot 4+2\cdot (-6)+21=0$ (thỏa mãn).
Chọn đáp án C.

Đáp án đúng là D theo bảng đáp án Mã đề 103 của Sở GD&ĐT Sơn La.

Đáp án đúng là A theo bảng đáp án Mã đề 103 của Sở GD&ĐT Sơn La.

Đáp án đúng là B theo bảng đáp án Mã đề 103 của Sở GD&ĐT Sơn La.

Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi rl$. Chọn D.

Diện tích mặt cầu là $S=4\pi R^2=16\pi$. Chọn B.

Ta có $R=\sqrt{0^2+(-1{)}^2+2^2-(-4)}=3$. Chọn D.

Ta có $h=4r$ và $r^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2=R^2\iff 5r^2=100\iff r=2\sqrt{5},h=8\sqrt{5}$. Thể tích khối trụ là $V=\pi r^{2}h=160\sqrt{5}\pi$. Chọn B.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101): Chọn C ($(12;13)$).