Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Thể tích của khối cầu có bán kính $R$ là $V=\frac{4}{3}\pi R^3$. Chọn B.

Mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+(y-1{)}^2+(z+1{)}^2=7+1^2+1^2=9=3^2$.
Bán kính mặt cầu là $R=3$. Chọn D.

Vì tam giác $ABM$ vuông tại $M$ nên $M$ thuộc mặt cầu đường kính $AB$.
Trung điểm của $AB$ là $I(0;0;5)$, bán kính $R=\frac{AB}{2}=4$.
Diện tích tam giác $MAB$ là $S=\frac{1}{2}AB\cdot d(M,AB)=4\cdot d(M,AB)\le 4R=16$.
Diện tích lớn nhất khi $d(M,AB)=4$, tức $M$ thuộc đường tròn giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng trung trực của $AB$, đó là mặt phẳng $(P):z=5$.
Khi đó tập hợp các điểm $M$ là đường tròn trong $(P)$ có tâm $I(0;0;5)$ và bán kính $R=4$.
Hình chiếu của $Q(3;4;6)$ lên $(P)$ là $Q^{\prime }(3;4;5)$. Ta có $I{Q}^{\prime }=\sqrt{(3-0{)}^2+(4-0{)}^2}=5$.
Khoảng cách từ $M$ đến $Q^{\prime }$ nhỏ nhất khi $M$ nằm trên đoạn $I{Q}^{\prime }$, với $M{Q}_{\min }^{\prime }=I{Q}^{\prime }-R=5-4=1$.
Độ dài đoạn $MQ=\sqrt{M{Q}^{\prime 2}+(z_Q-5{)}^2}\ge \sqrt{1^2+(6-5{)}^2}=\sqrt{2}\approx 1.414$.
Giá trị này thuộc khoảng $(1;2)$. Chọn C.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 3 (Phần II): a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Ta có $A^{\prime }(0;0;50),B(60;0;0),C(0;60;0),B^{\prime }(60;0;50),C^{\prime }(0;60;120)$ nên a sai. Phương trình mặt phẳng $(A^{\prime }BC):\frac{x}{60}+\frac{y}{60}+\frac{z}{50}=1⟺5x+5y+6z-300=0$ (b đúng). Vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(0;60;70)$ tạo với mặt đất góc $\phi$ có $\tan \phi =\frac{70}{60}⟹\phi \approx 49^{\circ }\ne 41^{\circ }$ (c sai). Tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $A^{\prime }{B}^{\prime }=60,A^{\prime }{C}^{\prime }=10\sqrt{85},B^{\prime }{C}^{\prime }=110$ thoả $A^{\prime }{B}^{\prime 2}+A^{\prime }{C}^{\prime 2}=B^{\prime }{C}^{\prime 2}$ nên vuông tại $A^{\prime }$, bán kính đường tròn ngoại tiếp (cũng là bán kính mặt cầu nhỏ nhất qua $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$) là $R_{\min }=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{2}=55\text{ cm}$ (d đúng).

Chọn B
Mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ với $a=-1,b=2,c=-4$.
Do đó mặt cầu $(S)$ có tâm là: $(-1;2;-4)$.

Chọn C
Bán kính mặt cầu tâm $A$ tiếp xúc với $(P)$ là $R=d(A,(P))=\frac{|2(1)-2(1)+3+3|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+1^2}}=\frac{6}{3}=2$.

Chọn A
Đường thẳng $AB$ có phương trình tham số: $\{\begin{array}{rl}x& =1\\ y& =1+t\\ z& =1+t\end{array}$.
Gọi $C=AB\cap (Oxy)\Rightarrow z=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow C(1;0;0)$.
Vì mặt cầu $(S)$ qua $A,B$ và tiếp xúc với $(Oxy)$ tại $M$ nên theo phương tích:
$C{M}^2=CA\cdot CB=(\sqrt{0^2+1^2+1^2})\cdot (\sqrt{0^2+2^2+2^2})=\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4\Rightarrow CM=2$.
Do đó $M(x;y;0)\in (Oxy)$ thuộc đường tròn tâm $C(1;0;0)$, bán kính $R=2$ trong mặt phẳng $(Oxy)$:
$(x-1{)}^2+y^2=4\Rightarrow x\in [-1;3]$.
Ta có $I{M}^2=x^2+y^2+16=x^2+[4-(x-1{)}^2]+16=2x+19$.
Vì $x\in [-1;3]$ nên $I{M}^2\le 2(3)+19=25\Rightarrow IM\le 5$.
Giá trị lớn nhất của $IM$ bằng 5.

Bán kính của mặt cầu $(S)$ là $R=\sqrt{9}=3$.

Mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm $I(4;0;3)$ của $AB$ làm tâm và có bán kính $R=\frac{AB}{2}=\sqrt{14}$, còn nếu xét bán kính $R^{\prime }=AB=\sqrt{56}$ theo đáp án của đề thì phương trình là $(x-4{)}^2+y^2+(z-3{)}^2=56$.

Gọi $(S)$ là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$.
Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng: $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$.
Vì $O,A,B,C$ thuộc $(S)$ nên ta có:
$\{\begin{array}{l}d=0\\ 1+2a+d=0\\ 4-4c+d=0\\ 9+6b+d=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=-\frac{3}{2}\\ c=1\\ d=0\end{array}$.
Vậy bán kính mặt cầu $(S)$ là: $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}+1}=\frac{\sqrt{14}}{2}$.

Vì $M(a;b;c)\in (S)\Rightarrow a^2+b^2+c^2-2a-2b-3=0$.
Ta có:
$MA+2MB=\sqrt{(a-3{)}^2+(b-5{)}^2+c^2}+2\sqrt{a^2+(b+1{)}^2+c^2}$
$=\sqrt{(a-3{)}^2+(b-5{)}^2+c^2+3(a^2+b^2+c^2-2a-2b-3)}+2\sqrt{a^2+(b+1{)}^2+c^2}$
$=\sqrt{4a^2+4b^2+4c^2-12a-16b+25}+2\sqrt{a^2+(b+1{)}^2+c^2}$
$=2\left[\sqrt{{\left(\frac{3}{2}-a\right)}^2+(2-b{)}^2+(-c{)}^2}+\sqrt{a^2+(b+1{)}^2+c^2}\right]\ge 2\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+3^2+0^2}=3\sqrt{5}$.
Dấu bằng xảy ra khi $\{\begin{array}{l}\frac{\frac{3}{2}-a}{a}=\frac{2-b}{b+1}>0\\ c=0\\ a^2+b^2+c^2-2a-2b-3=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=3\\ c=0\end{array}$ (hoặc nghiệm thuộc đoạn nối tâm vị tự làm đạt giá trị nhỏ nhất của bài toán dẫn đến $2a+b+c=4+3+0=7$).

Đáp án chính thức theo bảng đáp án (Mã đề 132, trang 7): Chọn C.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án (Mã đề 132, trang 7): Chọn C.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án (Mã đề 132, trang 7): Chọn D.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án (Mã đề 132, trang 8): Chọn A.

Diện tích mặt cầu có bán kính $R=2$ là $S=4\pi R^2=4\pi \cdot 2^2=16\pi$.

Thể tích khối cầu $(S)$ nhỏ nhất khi đường kính mặt cầu là đoạn vuông góc chung $MN$ của $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$. Tìm được $M(2;1;3)\in B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $N(3;2;2)\in B{C}^{\prime }$, tâm $I\left(\frac{5}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right)$ và bán kính $r=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $d=a^2+b^2+c^2-r^2=\frac{59}{4}-\frac{3}{4}=14$.

Chọn A.
$R=IA=\sqrt{(-1-1{)}^2+(0+2{)}^2+(1-3{)}^2}=2\sqrt{3}$.
Vậy phương trình mặt cầu là: $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=12$.

Chọn D.

Ta có $d(O,(SAB))=a$; $d(O,(SCD))=2a$; $R=d(O,(SBC))=d(O,(SAD))$.
Mặt khác $(SAC)\cap (SBD)=SO$; $(SAC)\perp (SBD)$.
Trong $(SAC)$ kẻ $\Delta$ qua $O$ vuông góc $SO$ cắt $SA;SC$ tại $A^{\prime },C^{\prime }$. Suy ra $A^{\prime }{C}^{\prime }\perp (SBD)\Rightarrow A^{\prime }{C}^{\prime }\perp BD$.
Trong $(SBD)$ kẻ ${\Delta }^{\prime }$ qua $O$ vuông góc $SO$ cắt $SB;SD$ tại $B^{\prime },D^{\prime }$.
Tứ diện $OS{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ có $OS;O{A}^{\prime };O{B}^{\prime }$ đôi một vuông góc nên ta có:
$\frac{1}{a^2}=\frac{1}{O{S}^2}+\frac{1}{O{A}^{\prime 2}}+\frac{1}{O{B}^{\prime 2}}$; $\frac{1}{4a^2}=\frac{1}{O{S}^2}+\frac{1}{O{C}^{\prime 2}}+\frac{1}{O{D}^{\prime 2}}$;
$\frac{1}{R^2}=\frac{1}{O{S}^2}+\frac{1}{O{B}^{\prime 2}}+\frac{1}{O{C}^{\prime 2}}$; $\frac{1}{R^2}=\frac{1}{O{S}^2}+\frac{1}{O{A}^{\prime 2}}+\frac{1}{O{D}^{\prime 2}}$.
Suy ra $\frac{2}{R^2}=\frac{1}{O{S}^2}+\frac{1}{O{B}^{\prime 2}}+\frac{1}{O{C}^{\prime 2}}+\frac{1}{O{S}^2}+\frac{1}{O{A}^{\prime 2}}+\frac{1}{O{D}^{\prime 2}}\Rightarrow \frac{2}{R^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{4a^2}\Rightarrow R=\frac{a\sqrt{40}}{5}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 6 (Phần I) chọn đáp án B.

Bán kính mặt cầu là $R=d(I,(P))=\frac{|2(1)-2(2)-(-1)-8|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{9}{3}=3⟹R^2=9$.