Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Chọn B.
Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu ta có $S=4\pi r^2=4\pi \cdot 16=64\pi$.

Chọn C.
Ta có tâm mặt cầu $I(1;-2;-1)\Rightarrow R=\sqrt{1+4+1+3}=3$.

Chọn A.

Gọi $\alpha =(AM,(P))=(BM,(P))$.
Ta có $d(A,(P))=\frac{|x_A+y_A+z_A-8|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\sqrt{3}$; $d(B,(P))=\frac{|x_B+y_B+z_B-8|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=2\sqrt{3}$ nên $\sin \alpha =\frac{d(A,(P))}{AM}=\frac{d(B,(P))}{BM}$ suy ra $BM=2AM$.
Gọi $M(x;y;z)$, ta có $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-1{)}^2=4(x-2{)}^2+4(y+1{)}^2+4(z-4{)}^2\iff x^2+y^2+z^2-6x+4y-10z+26=0$.
Là phương trình mặt cầu tâm $I(3;-2;5),R=2\sqrt{3}$.
Mặt khác $IH=d(I,(P))=\frac{|x_I+y_I+z_I-8|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ và $CI=\sqrt{2}$ suy ra $CH=\sqrt{C{I}^2-I{H}^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ và $MH=\sqrt{M{I}^2-I{H}^2}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$.
Vậy $C{M}_{\min }=|CH-MH|=\sqrt{6}$.

Thể tích của khối cầu bán kính $R$ là $V=\frac{4}{3}\pi R^3$. Chọn D.

Ta có $a=2,b=2,c=-1,d=0\Rightarrow r=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{2^2+2^2+(-1{)}^2-0}=3$. Chọn A.

Ta có $d(I,(P))=\frac{|2\cdot 1+2\cdot 0-(-1)+3|}{\sqrt{2^2+2^2+(-1{)}^2}}=\frac{6}{3}=2$.
Bán kính mặt cầu là $R=\sqrt{r^2+d^2}=\sqrt{5+4}=3$.
Phương trình mặt cầu $(S)$ là $(x-1{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=9$. Chọn D.

Mặt cầu $(S^{\prime })$ có tâm $I^{\prime }(8;8;0)$ và bán kính $R^{\prime }=8$. Ta có $I^{\prime }D=\sqrt{8^2+8^2+8^2}=8\sqrt{3}\Rightarrow MD=\sqrt{I^{\prime }{D}^2-R^{\prime 2}}=8\sqrt{2}$.
Do đó $M(x_0;y_0;z_0)$ thuộc đường tròn giao tuyến của mặt cầu $(S^{\prime \prime })$ tâm $D(0;0;-8)$, bán kính $8\sqrt{2}$ và $(S^{\prime })$, nên:
$\{\begin{array}{l}{x}_0^2+y_0^2+(z_0+8{)}^2=128\\ (x_0-8{)}^2+(y_0-8{)}^2+z_0^2=64\end{array}\Rightarrow x_0+y_0+z_0-8=0$.
Do $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{CO}=0$ nên $A,B,C$ là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ $M$ đến mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2=4$.
Gọi $E(m;n;p)=\left(\frac{x_0}{2};\frac{y_0}{2};\frac{z_0}{2}\right)$ là trung điểm của $MO$, ta có $\{\begin{array}{l}{m}^2+n^2+(p+4{)}^2=32\\ m+n+p-4=0\end{array}$ và phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $mx+ny+pz-2=0$.
Khi đó $d(N,(ABC))=\frac{|p-2|}{\sqrt{m^2+n^2+p^2}}=\frac{|p-2|}{\sqrt{32-(p+4{)}^2+p^2}}=\frac{|p-2|}{\sqrt{16-8p}}=\sqrt{\frac{2-p}{8}}$.
Từ $(4-m-n+4{)}^2+m^2+n^2=32\Rightarrow 4-4\sqrt{2}\le -p\le 4\Rightarrow d(N,(ABC))\le \sqrt{\frac{6}{8}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Đẳng thức xảy ra khi $p=-4$ và $m=n=4$. Khi đó $(ABC):4x+4y-4z-2=0\iff 2x+2y-2z-1=0$.
Đối chiếu với $ax+2y+cz+d=0$ ta có $a=2,c=-2,d=-1\Rightarrow a+2c+d=2-4-1=-3$. Chọn A.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;1;-1)$ và bán kính $R=\sqrt{2^2+1^2+(-1{)}^2-(-3)}=\sqrt{9}=3$. (Nguồn: đề trang 3, bảng đáp án Mã đề [101] trang 7).

Bán kính mặt cầu $R=d(I,(P))=\frac{|1-2\cdot 0+2\cdot 2+4|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}=3$. Phương trình mặt cầu $(S)$ là $(x-1{)}^2+y^2+(z-2{)}^2=9$. (Nguồn: đề trang 5, bảng đáp án Mã đề [101] trang 7).

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;3)$ và $R=4$. Điểm $A(1;1;2)$ nằm trong $(S)$ vì $IA=\sqrt{10}<4$. Đường tròn giao tuyến có bán kính nhỏ nhất khi $(P)$ vuông góc với $IA$, nhận $\overrightarrow{IA}=(0;3;-1)$ làm VTPT. Phương trình $(P):3(y-1)-1(z-2)=0\iff 3y-z-1=0$. (Nguồn: đề trang 6, bảng đáp án Mã đề [101] trang 7).

Thể tích của khối cầu có bán kính $r=3$ là $V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3=36\pi$.

Ta có $V=\frac{4}{3}\pi R^3\iff \frac{4}{3}\pi R^3=36\pi \iff R=3\Rightarrow S=4\pi R^2=36\pi$.

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $(SC,(ABCD))=(SC,SA)=\widehat{SCA}=45^{\circ }$. Khi đó $△SAC$ vuông cân tại $A\Rightarrow SA=AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=5$. Gọi $O=AC\cap BD$ là tâm hình chữ nhật đáy và $I$ là trung điểm của $SC$. Khi đó $I$ cách đều các đỉnh $S,A,B,C,D$ nên $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ với bán kính $R=SI=\frac{SC}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Chọn A
Diện tích mặt cầu: $S=4\pi r^2=4\pi \cdot 2^2=16\pi$.

Chọn D
Tâm của mặt cầu là $I(1;2;-3)$.

Chọn D
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-1;-2)$, bán kính $R=8$.
$OI=\sqrt{2^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2}=3$.
Gọi $H$ là trung điểm của $MN\Rightarrow IH\perp MN$.
$IH=\sqrt{R^2-{\left(\frac{MN}{2}\right)}^2}=\sqrt{64-28}=6$.
Áp dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác $OMN$:
$O{H}^2=\frac{O{M}^2+O{N}^2}{2}-\frac{M{N}^2}{4}=\frac{74}{2}-\frac{112}{4}=37-28=9\Rightarrow OH=3$.
Vì $H$ là trung điểm của dây cung $MN$ và $OH=3$, khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $MN$ bằng $d(O,MN)=3$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;-2;1)$ và bán kính $R=5$ có phương trình $(x-0{)}^2+(y+2{)}^2+(z-1{)}^2=25\iff x^2+(y+2{)}^2+(z-1{)}^2=25$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$ và bán kính $R=1$. Ta có $\overrightarrow{IA}=(1;1;1)\Rightarrow IA=\sqrt{3}>R$, nên điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$.



Vì $AM\perp IM$ nên các tiếp điểm $M$ thuộc mặt cầu $(S_1)$ đường kính $AI$ có tâm $J\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2}\right)$ và bán kính $R_1=\frac{IA}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$(S_1):{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{5}{2}\right)}^2+{\left(z-\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$.

Trừ vế theo vế phương trình hai mặt cầu $(S)$ và $(S_1)$ ta được phương trình mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến là $x+y+z-7=0$.

Bán kính mặt cầu là $R=d(I,(P))=\frac{|2\cdot 1+2\cdot 2+4-1|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{9}{3}=3$.

Vậy phương trình mặt cầu là $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-4{)}^2=9$.

Điểm $M$ thuộc mặt cầu tâm $O(0;0;0)$ bán kính $R=5$ và thuộc mặt nón đỉnh $O$, trục $OA$ ($OA=2$ nằm trên trục $Oz$) có khoảng cách từ $A$ đến đường sinh bằng $AK=\frac{6}{5}$.



Sin góc ở đỉnh của mặt nón là $\sin \alpha =\frac{AK}{OA}=\frac{3}{5}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{4}{5}$. Do đó $M$ thuộc hai đường tròn giao tuyến có bán kính $r=OM\sin \alpha =3$, nằm trên hai mặt phẳng $(\alpha ):z=4$ (tâm $I(0;0;4)$) và $(\beta ):z=-4$ (tâm $J(0;0;-4)$).

Gọi $P(3;4;4)$ và $Q(3;4;-4)$ lần lượt là hình chiếu của $B(3;4;5)$ lên $(\alpha )$ và $(\beta )$. Ta có $PI=QJ=\sqrt{3^2+4^2}=5$, $BP=1$, $BQ=9$.

- Khoảng cách $MB$ ngắn nhất là $m=BG=\sqrt{(PI-r{)}^2+B{P}^2}=\sqrt{(5-3{)}^2+1^2}=\sqrt{5}$.
- Khoảng cách $MB$ lớn nhất là $M=BD=\sqrt{(QJ+r{)}^2+B{Q}^2}=\sqrt{(5+3{)}^2+9^2}=\sqrt{64+81}$? (Theo lời giải gốc: $JD=2\Rightarrow BD=\sqrt{(5+2{)}^2+9^2}=\sqrt{130}$, suy ra $M+m=\sqrt{130}+\sqrt{5}$).