Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

Hai học sinh đang chuyền bóng, bạn nữ ném bóng cho bạn nam, quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống mặt đất cách bạn nam $3\text{ m}$ và cách bạn nữ $5\text{ m}$ (Hình dưới đây). Cho biết quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt đất. Ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ được mô tả trong hình. Khi đó phương trình của mặt phẳng $(P)$ có dạng $ax+y+cz+d=0$. Tìm $3a+4c$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông. Biết $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;a)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho độ dài $OA=\frac{1}{3}OB=\frac{1}{9}OC$. Phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ có dạng $ax+by-z+d=0$. Giá trị của biểu thức $a+b+d$ bằng bao nhiêu?

Một nhà kho được mô hình hoá trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ như hình vẽ. Hai mái nhà kho là hai hình chữ nhật $EFIK$ và $HGIK$ có các cạnh tương ứng bằng nhau. Biết rằng chiều cao của nhà kho là $9\text{ m}$ (tính từ điểm $I$ đến sàn $ABCD$ của nhà kho), $AB=10\text{ m}$, $AD=24\text{ m}$, $AE=7\text{ m}$. Mặt phẳng $(EFIK)$ có phương trình $ax+y+bz+c=0$. Tính giá trị của biểu thức $a-bc$.

Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD.BCFE$ có hai đáy song song với nhau. Mặt sân $OAGD$ là hình chữ nhật và được gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA=100\text{ m}$, chiều rộng $OD=60\text{ m}$ và tọa độ điểm $B(10;10;8)$. Giả sử phương trình tổng quát của mặt phẳng $(OACB)$ có dạng $ax+4y+cz+d=0$. Tính giá trị biểu thức $a+c+d$.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt{2}$, chiều cao bằng $2a$ và $O$ là tâm của đáy. Thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ bên.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $S(0;0;4)$, $A(0;0;0)$, $B(0;4;0)$, $D(2;0;0)$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $CD,SD$. Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(AEF)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(3;2;0)$, $B(1;3;-2)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x+2y+3z-6=0$.

Hình bên dưới minh họa hình ảnh của một mái nhà có dạng lăng trụ đứng được đặt nằm ngang trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ ($O$ là trung điểm của đoạn $BC$, đơn vị trên mỗi trục là mét). Biết rằng phần trần $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ của căn nhà có dạng là một hình chữ nhật.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(0;-1;2)$. Biết mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $O,M$ và vuông góc với mặt phẳng $x+y+3z-5=0$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;-2;0)$, $B(-3;1;1)$, $C(3;-1;1)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(4;0;3)$, $B(6;1;-1)$ và mặt phẳng $(P):x-y+3z-2=0$.

Trong không gian với toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và cắt các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt tại $A$, $B$, $C$ sao cho độ dài $OA$, $OB$, $OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng $3$. Phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ có dạng $ax+by+z+d=0$ $(a,b,d\in \mathbb{R})$. Giá trị của biểu thức $S=2a+b+d$ bằng bao nhiêu?