Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;-1;3)$, pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n_P}=(1;-2;3)$. Mặt phẳng cần tìm chứa $AB$ và vuông góc $(P)$ nên pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{n_P}=(3;-3;-3)\parallel (1;-1;-1)$. Mặt phẳng: $x-y-z+c=0$; qua $A(-1;2;0)$: $-1-2+c=0\Rightarrow c=3$. Vậy mặt phẳng là $x-y-z+3=0$, nhân đôi: $2x-2y-2z+6=0$, suy ra $a=2,b=2,c=6$. Do đó $a+2b+3c=2+4+18=24$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(P)$ vuông góc với $(Oxz)$ nên vectơ pháp tuyến của $(P)$ có dạng $\vec{n}=(a;0;c)$, tức $(P):ax+cz+d=0$.

Vì $(P)$ đi qua $A(1;-2;-2)$ nên $a-2c+d=0$, suy ra $d=-a+2c$.

Khoảng cách từ $B(3;1;-3)$ đến $(P)$:
$$d(B,(P))=\frac{|3a-3c+d|}{\sqrt{a^2+c^2}}=\frac{|2a-c|}{\sqrt{a^2+c^2}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}.$$

Bình phương hai vế: $5(2a-c{)}^2=9(a^2+c^2)$, suy ra $11a^2-20ac-4c^2=0$. Với $c\ne 0$, đặt $t=\frac{a}{c}$, ta được $11t^2-20t-4=0$ với $\Delta =400+176=576$, nên $t=\frac{20\pm 24}{22}$, tức $t=2$ hoặc $t=-\frac{2}{11}$.

• Với $t=2$: chọn $a=2$, $c=1$, khi đó $d=0$, được $(P):2x+z=0$. Kiểm tra: $(P)$ qua $A$ vì $2(1)+(-2)=0$; $d(B,(P))=\frac{|6-3|}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ đúng.

• Với $t=-\frac{2}{11}$: chọn $a=-2$, $c=11$, khi đó $d=24$, được $(P):-2x+11z+24=0$, tương đương $2x-11z-24=0$. Kiểm tra: $(P)$ qua $A$ vì $-2-22+24=0$; $d(B,(P))=\frac{|-6-33+24|}{\sqrt{125}}=\frac{15}{5\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ đúng.

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn: $(P):2x+z=0$ hoặc $(P):2x-11z-24=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(P)$ cắt đoạn $AB$ tại $I$ nên $d(A;(P))=IA\sin \theta$, $d(B;(P))=IB\sin \theta$ với $\theta$ là góc giữa $AB$ và $(P)$ (không đổi dọc theo đường thẳng $AB$). Do đó $d(B;(P))=2d(A;(P))\iff IB=2IA$, tức $\frac{IA}{IB}=\frac{1}{2}$.

Suy ra $I$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $\overrightarrow{IA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{IB}$, hay $I=\frac{2A+B}{3}$:
$$x_I=\frac{2\cdot 2+6}{3}=\frac{10}{3},y_I=\frac{2\cdot 3+(-3)}{3}=1,z_I=\frac{2\cdot 4+0}{3}=\frac{8}{3}.$$

Kiểm tra: $I\left(\frac{10}{3};1;\frac{8}{3}\right)$ nằm giữa $A(2;3;4)$ và $B(6;-3;0)$ vì $\overrightarrow{AI}=\left(\frac{4}{3};-2;-\frac{4}{3}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, đúng với $IA:IB=1:2$. Vậy $I\left(\frac{10}{3};1;\frac{8}{3}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ chứa trục $Oz$ nên có dạng $ax+by=0$ ($a^2+b^2\ne 0$). Khoảng cách từ $M(1;2;3)$ đến $(P)$ là $d=\frac{|a+2b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Theo bất đẳng thức Cauchy–Schwarz: $(a+2b{)}^2\le (a^2+b^2)(1^2+2^2)=5(a^2+b^2)$, nên $d\le \sqrt{5}$. Dấu bằng xảy ra khi $(a,b)$ cùng phương với $(1;2)$, tức $a:b=1:2$, khi đó $(P)$: $x+2y=0$. Kiểm tra: $d(M,(P))=\frac{|1+4|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$, đúng giá trị lớn nhất. Vậy $(P):x+2y=0$.

(AI giải đề cho tôi)
d₁ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;-2;-1)$ đi qua điểm $A(1;2;-1)$; d₂ có $\overrightarrow{u_2}=(1;0;-1)$.

Mặt phẳng (P) chứa d₁ nên vecto pháp tuyến $\vec{n}=(a;b;c)$ thỏa $\vec{n}\cdot \overrightarrow{u_1}=0\Rightarrow 2a-2b-c=0\Rightarrow c=2a-2b$.

Góc giữa (P) và d₂ bằng 45°:
$$\sin 45^{\circ }=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\vec{n}|\cdot |\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|a-c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Suy ra $(a-c{)}^2=a^2+b^2+c^2$. Thay $c=2a-2b$: $(2b-a{)}^2=5a^2+5b^2-8ab\iff 4a^2-4ab+b^2=0\iff (2a-b{)}^2=0\Rightarrow b=2a$.

Chọn $a=1$: $\vec{n}=(1;2;-2)$ (kiểm tra: $\vec{n}\cdot \overrightarrow{u_1}=2-4+2=0$; $|a-c|=3=|\vec{n}|$ thỏa mãn).

(P) qua $A(1;2;-1)$: $1(x-1)+2(y-2)-2(z+1)=0\iff x+2y-2z-7=0$.

Vậy $(P):x+2y-2z-7=0$. Đây là mặt phẳng duy nhất thỏa yêu cầu.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;2;2)$ và pháp tuyến của $(Q)$ là $\overrightarrow{n_Q}=(1;1;2)$. Vì $(P)\perp (Q)$ nên pháp tuyến của $(P)$: $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{n_Q}=(2\cdot 2-2\cdot 1;2\cdot 1-(-1)\cdot 2;-1\cdot 1-2\cdot 1)=(2;4;-3)$. Mặt phẳng $(P)$ qua $A(2;-1;0)$: $2(x-2)+4(y+1)-3z=0\iff 2x+4y-3z=0$. Kiểm tra $B(1;1;2)$: $2+4-6=0$ đúng. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của (P) là tích có hướng: $\vec{n}={\vec{n}}_Q\times {\vec{n}}_R=(1;1;3)\times (2;-1;1)=(1\cdot 1-3\cdot (-1);3\cdot 2-1\cdot 1;1\cdot (-1)-1\cdot 2)=(4;5;-3)$. Mặt phẳng qua $B(2;1;-3)$: $4(x-2)+5(y-1)-3(z+3)=0\iff 4x+5y-3z-22=0$. Kiểm tra: $4(2)+5(1)-3(-3)-22=8+5+9-22=0$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-1;1-(-2);-1-3)=(1;3;-4)$ và $\overrightarrow{n_Q}=(1;-5;3)$. Vì $(P)$ chứa $\overrightarrow{AB}$ và vuông góc với $(Q)$ nên $\overrightarrow{n_P}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{n_Q}=(3\cdot 3-(-4)(-5);(-4)\cdot 1-1\cdot 3;1\cdot (-5)-3\cdot 1)=(-11;-7;-8)$. Lấy vecto đối: $\overrightarrow{n_P}=(11;7;8)$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ thuộc trục $Oy$ nên $M(0;y;0)$. Khoảng cách từ $M$ đến $(P):x+y-z+1=0$ là $d(P)=\frac{|y+1|}{\sqrt{3}}$; khoảng cách đến $(Q):x-y+z-5=0$ là $d(Q)=\frac{|-y-5|}{\sqrt{3}}$. Cách đều: $|y+1|=|y+5|$, suy ra $y+1=-(y+5)\Rightarrow 2y=-6\Rightarrow y=-3$ (trường hợp $y+1=y+5$ vô nghiệm). Vậy $M(0;-3;0)$, chọn đáp án A. Kiểm tra: $d(P)=\frac{|-2|}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=d(Q)=\frac{|-2|}{\sqrt{3}}$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $AB=\sqrt{(3-1{)}^2+(4-2{)}^2+(4-3{)}^2}=\sqrt{4+4+1}=3$. Khoảng cách từ $A(1;2;3)$ đến mặt phẳng $(P):2x+y+mz-1=0$ là $d(A,(P))=\frac{|2\cdot 1+2+3m-1|}{\sqrt{4+1+m^2}}=\frac{|3+3m|}{\sqrt{5+m^2}}$. Theo đề: $\frac{|3+3m|}{\sqrt{5+m^2}}=3\iff |1+m|=\sqrt{5+m^2}$. Bình phương hai vế: $1+2m+m^2=5+m^2\iff 2m=4\iff m=2$. Vậy $m=2$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) $d(M,(P))=\frac{|2\cdot 2-1+2\cdot 5-5|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{8}{3}$ → đúng. b) Với $m=0$: $d(M,(Q))=\frac{|8-2+20+1|}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$ → đúng. c) Với $m=3$: $(Q):2x-y+2z-1=0$ song song $(P)$, khoảng cách $=\frac{|-5+1|}{3}=\frac{4}{3}\ne 3$ → sai. d) $\frac{|27-m|}{6}=1\Rightarrow m=21$ hoặc $m=33$, tổng $=54\ne 5$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(M,(P))=\frac{|4-1+10-5|}{3}=\frac{8}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$m=0$: $d=\frac{|8-2+20+1|}{6}=\frac{9}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$m=3$: $(Q):2x-y+2z-1=0$, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $=\frac{|-5-(-1)|}{3}=\frac{4}{3}\ne 3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{|27-m|}{6}=1\Rightarrow m=21,33$; tổng bằng $54\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Gán tọa độ: $O(0;0;0)$, $A(100;0;0)$, $D(0;60;0)$, $G(100;60;0)$. Vì hai đáy song song và $B(10;10;8)$ ứng với đỉnh $O$, mặt trên nằm trong mặt phẳng $z=8$ với phép tịnh tiến theo vector $(10;10;8)$, nên $E=D+(10;10;8)=(10;70;8)$.

Mặt phẳng $(OBED)$ đi qua $O$ nên có dạng $ax+by+cz=0$. Với $B(10;10;8)$ và $D(0;60;0)$:
$$\{\begin{array}{l}10a+10b+8c=0\\ 60b=0\Rightarrow b=0\end{array}$$
Suy ra $10a+8c=0$, chọn $a=-4,c=5$: mặt phẳng $(OBED)$: $-4x+5z=0$ (kiểm tra $E$: $-40+40=0$ đúng).

Khoảng cách từ $G(100;60;0)$:
$$d(G,(OBED))=\frac{|-4\cdot 100+5\cdot 0|}{\sqrt{16+25}}=\frac{400}{\sqrt{41}}\approx 62,5(m).$$

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục như hình vẽ: $O$ là gốc, $A\in Ox$, $B\in Oy$ (và $C$, $D$ đối xứng). Vì $AB=8\sqrt{2}$ nên nửa đường chéo đáy lớn $OA=OB=8$; vì $A^{\prime }{B}^{\prime }=6\sqrt{2}$ nên $O^{\prime }{A}^{\prime }=O^{\prime }{B}^{\prime }=6$; chiều cao $O{O}^{\prime }=3$.

Tọa độ: $C(-8;0;0)$, $D(0;-8;0)$, $C^{\prime }(-6;0;3)$, $D^{\prime }(0;-6;3)$.

Mặt phẳng $(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ đi qua $C$, $D$, $C^{\prime }$. Hai vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{CD}=(8;-8;0)$, $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=(2;0;3)$.

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n}=\overrightarrow{CD}\times \overrightarrow{C{C}^{\prime }}=(-24;-24;16)\sim (3;3;-2)$.

Phương trình mặt phẳng: $3(x+8)+3y-2z=0\iff 3x+3y-2z+24=0$.

Kiểm tra $D^{\prime }(0;-6;3)$: $0-18-6+24=0$ ✓.

Giao với trục $Oz$ ($x=y=0$): $-2m+24=0\Rightarrow m=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy OBDC là hình chữ nhật với O(0;0;0), B(2;0;0), D(0;3;0) nên C(2;3;0). Mặt phẳng (SBD) đi qua S(0;0;4), B(2;0;0), D(0;3;0) có phương trình dạng x/2 + y/3 + z/4 = 1, tức 6x + 4y + 3z - 12 = 0. Khoảng cách từ C(2;3;0) đến (SBD): d = |6·2 + 4·3 + 3·0 - 12| / √(36+16+9) = 12/√61 ≈ 1,54.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(1-2;2-3;-1-1)=(-1;-1;-2)$ và $\overrightarrow{AC}=C-A=(3-2;-2-3;6-1)=(1;-5;5)$. Đúng.
b) $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-15;3;6)\propto (-5;1;2)$, và $(5;-1;-2)=-(-5;1;2)$ cũng là véc-tơ pháp tuyến. Đúng.
c) Mặt phẳng qua $A(2;3;1)$ với $\vec{n}=(5;-1;-2)$: $5(x-2)-(y-3)-2(z-1)=0\iff 5x-y-2z-5=0$. Kiểm tra $B$: $5-2+2-5=0$ ✓. Đề cho $-6$ nên sai.
d) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$: $G=\left(\frac{2+1+3}{3};\frac{3+2-2}{3};\frac{1-1+6}{3}\right)=(2;1;2)$. $M$ trên $(Oxy)$ nên $M(x;y;0)$, $P=3\sqrt{(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+4}$ nhỏ nhất khi $M=(2;1;0)$, khi đó $a+b+c=2+1+0=3\ne 5$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-1;-1;-2)$, $\overrightarrow{AC}=(1;-5;5)$ đều đúng theo công thức hiệu tọa độ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-15;3;6)\propto (5;-1;-2)$, nên $(5;-1;-2)$ là một véc-tơ pháp tuyến của $(ABC)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng là $5x-y-2z-5=0$ (thay $A(2;3;1)$: $10-3-2=5$), không phải $-6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G(2;1;2)$, $M$ trên $(Oxy)$ nên $M$ là hình chiếu của $G$ lên $(Oxy)$: $M(2;1;0)$, $a+b+c=3\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n_P}=(2;-1;3)$, của $(Q):y=0$ là $\overrightarrow{n_Q}=(0;1;0)$. Vì $(R)$ vuông góc với cả $(P)$ và $(Q)$ nên $\overrightarrow{n_R}=\overrightarrow{n_P}\times \overrightarrow{n_Q}=(-3;0;2)$, tức có thể lấy $\overrightarrow{n_R}=(3;0;-2)$. Mặt phẳng $(R)$ qua $A(1;1;1)$: $3(x-1)-2(z-1)=0\iff 3x-2z-1=0$. Kiểm tra: $A$ thỏa mãn ($3-2-1=0$), và $\overrightarrow{n_R}\perp \overrightarrow{n_P}$ ($6+0-6=0$), $\overrightarrow{n_R}\perp \overrightarrow{n_Q}$ ($0+0+0=0$). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M(a;0;0)$, $N(0;b;0)$ với $a,b>0$ (cắt tia $Ox$, $Oy$). Vì $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{ON}$ nên $a=2b$. Mặt phẳng $(P)$ có dạng $\frac{x}{2b}+\frac{y}{b}+\frac{z}{r}=1$. Đi qua $B(0;2;2)$: $\frac{2}{b}+\frac{2}{r}=1\Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{r}=\frac{1}{2}$. Đi qua $A(1;1;1)$: $\frac{1}{2b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{r}=1\Rightarrow \frac{1}{2b}+\frac{1}{2}=1\Rightarrow b=1$. Suy ra $\frac{1}{r}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$, tức $r=-2$. Vậy $(P):\frac{x}{2}+y-\frac{z}{2}=1\iff x+2y-z-2=0$. Kiểm tra: $A(1;1;1)$: $1+2-1-2=0$ ✓; $B(0;2;2)$: $0+4-2-2=0$ ✓; cắt $Ox$ tại $M(2;0;0)$, $Oy$ tại $N(0;1;0)$, $OM=2$, $ON=1$ thỏa $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{ON}$ ✓. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (ABC) đi qua A(0;0;6), B(0;3;0), C(-2;0;0) có dạng x/(-2)+y/3+z/6=1, tức -3x+2y+z-6=0 với pháp tuyến n=(-3;2;1). Vì SH ⊥ (ABC) nên đường thẳng SH: x=-1-3t, y=6+2t, z=2+t. Thay vào phương trình (ABC): -3(-1-3t)+2(6+2t)+(2+t)-6=0 ⟹ 11+14t=0 ⟹ t=-11/14, suy ra H=(19/14; 31/7; 17/14). Mặt phẳng (SBH) chứa B(0;3;0) với hai vectơ BS=(-1;3;2), BH=(19/14; 10/7; 17/14). Tích có hướng [BS,BH]=(11/14; 55/14; -77/14) ∝ (1;5;-7). Phương trình: 1(x-0)+5(y-3)-7(z-0)=0 ⟹ x+5y-7z-15=0. Kiểm tra với S: -1+30-14-15=0 ✓. Vậy đáp án C. Lưu ý: phương án A và B trùng nhau do lỗi in của nguồn, giữ nguyên.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(2;0;0)$, $B(0;4;0)$, $C(0;0;6)$ nên có dạng $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{6}=1$, tức $6x+3y+2z-12=0$.
Với $D(2;4;6)$: $6\cdot 2+3\cdot 4+2\cdot 6=36$, nên $d(D,(ABC))=\frac{|36-12|}{\sqrt{36+9+4}}=\frac{24}{7}$.
Mặt phẳng $(P)$ song song với $(ABC)$ có dạng $6x+3y+2z+c=0$. Điều kiện $(P)$ cách đều $D$ và $(ABC)$: $\frac{|36+c|}{7}=\frac{|-12+c|}{7}$, tức $|36+c|=|c-12|$. Vì $(P)$ phải nằm giữa $D$ và $(ABC)$ (không trùng $(ABC)$, không đi qua $D$), ta có $36+c=12-c$, suy ra $c=-24$.
Vậy $(P):6x+3y+2z-24=0$. Kiểm tra: $d(D,(P))=\frac{|36-24|}{7}=\frac{12}{7}$ và khoảng cách giữa $(ABC)$ và $(P)$ là $\frac{|-12+24|}{7}=\frac{12}{7}$, hai khoảng cách bằng nhau, thỏa mãn. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) $(Q):2x-3y+z+1=0$ có pháp tuyến $(2;-3;1)$, nhân với $-2$ được $(-4;6;-2)$ nên đúng. b) $I=\left(\frac{1+2}{2};\frac{3-1}{2};\frac{4+5}{2}\right)=\left(\frac{3}{2};1;\frac{9}{2}\right)$ đúng. c) Mặt phẳng qua $A$ song song $(Q)$: $2x-3y+z+d=0$, thay $A(1;3;4)$: $2-9+4+d=0\Rightarrow d=3$, tức $2x-3y+z+3=0$ hay $-2x+3y-z-3=0$, khác $-2x+3y-z+3=0$ nên sai. d) $\overrightarrow{AB}=(1;-4;1)$, pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times (2;-3;1)=(-1;1;5)$; qua $A$: $-(x-1)+(y-3)+5(z-4)=0\Rightarrow -x+y+5z-22=0$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(Q)$ có VTPT $(2;-3;1)$, và $(-4;6;-2)=-2(2;-3;1)$ cũng là VTPT của $(Q)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$I=\left(\frac{1+2}{2};\frac{3+(-1)}{2};\frac{4+5}{2}\right)=\left(\frac{3}{2};1;\frac{9}{2}\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng qua $A$ song song $(Q)$ là $2x-3y+z+3=0$ (tức $-2x+3y-z-3=0$), không phải $-2x+3y-z+3=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times (2;-3;1)=(-1;1;5)$; qua $A(1;3;4)$: $-x+y+5z-22=0$.