Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

VTPT (1;−2;1); qua A ⇒ $x-2y+z+6=0$. Chọn A.

Chọn B

Chọn D

Chọn A

Mặt phẳng $(\alpha )$ có một VTPT là $\vec{n}=(1;-3;-2)$. Các vectơ cùng phương với $\vec{n}$ đều là VTPT: ${\vec{n}}_1=-\vec{n}$, ${\vec{n}}_3=-2\vec{n}$. Vectơ ${\vec{n}}_2=(1;3;2)$ không cùng phương với $\vec{n}$ nên không phải là VTPT. Chọn B.

Thay tọa độ điểm $P(1;2;3)$ vào phương trình mặt phẳng: $3(1)-4(2)+3+2=3-8+3+2=0$. Vậy $P\in (P)$. Chọn B.

Khi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ với $A,B,C$ lần lượt nằm trên các trục tọa độ, thì $OH\perp (ABC)$. Do đó ${\vec{n}}_{(P)}=\overrightarrow{OH}=(1;2;-3)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $H(1;2;-3)$ là: $1(x-1)+2(y-2)-3(z+3)=0\iff x+2y-3z-14=0$. Chọn C.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 6), Câu 3 (Phần III) có đáp số là $47$.

Lấy $A^{\prime }\left(\frac{1}{6};-\frac{1}{3};\frac{1}{2}\right),B^{\prime }\left(1;\frac{4}{3};\frac{1}{3}\right),C^{\prime }\left(-\frac{5}{2};1;\frac{1}{2}\right)$ sao cho $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=\frac{1}{6}\overrightarrow{OA},\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OB},\overrightarrow{O{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$. Khi đó $T=6(d(A^{\prime },(\alpha ))+d(B^{\prime },(\alpha ))+d(C^{\prime },(\alpha )))=18d(G,(\alpha ))$ với $G\left(-\frac{4}{9};\frac{2}{3};\frac{4}{9}\right)$ là trọng tâm $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Ta có $d(G,(\alpha ))\le d(G,Ox)=\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{16}{81}}=\frac{2\sqrt{13}}{9}⟹T\le 4\sqrt{13}$. Vậy $a=4,b=13⟹S=2a+3b=47$.

Chọn A
Ta có điểm ( 3;1;3) không thuộc mặt phẳng ( P ) : x + 3 y - 2 z - 1 = 0 vì 3 + 3.1 - 2.3 - 1 = -1  0 .

Chọn A
Gọi I là trung điểm của AB suy ra I ( 2; -1;3) .

AB = ( 2; 4; -2 ) .
 
Mặt phẳng trung trực của AB đi qua điểm I ( 2; -1;3) và có VTPT n = AB = ( 2; 4; -2 ) có
phương trình là:
2 ( x - 2 ) + 4 ( y + 1) - 2 ( z - 3) = 0
$\iff$ 2x + 4 y - 2z + 6 = 0
$\iff$ x + 2y - z + 3 = 0

Chọn B

+ Gọi I là trung điểm của BC $\Rightarrow$ I ( 2;1;1) . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A và I lên
x = 3 + t

mặt phẳng ( P ) . Phương trình tham số đường thẳng AH : y = 1 + 2t .
z = -2t


+ Điểm H $\in$ AH $\Rightarrow$ H ( 3 + t ;1 + 2t ; - 2t ) mà H $\in$ ( P ) $\Rightarrow$ ( 3 + t ) + 2 (1 + 2t ) - 2 ( -2t ) + 7 = 0

4 5 5 8
$\iff$ 9t + 12 = 0 $\iff$ t = - $\Rightarrow$ H  ; - ;  .
3  3 3 3

+ Tương tự ta tìm được toạ độ điểm K (1; - 1;3) . Ta có, AH = 4, IK = 3 và HK = 1 .

+ Hai điểm B, C cố định mà tam giác BMC vuông tại M nên M nằm trên mặt cầu ( S ) tâm
BC
I bán kính IM = = 3 2 , mà M $\in$ ( P ) nên M nằm trên đường tr$\int$ n ( C ) là đường tr$\int$ n
2
giao tuyến của mặt cầu ( S ) và mặt phẳng ( P ) .

+ Đường tr$\int$ n ( C ) có tâm K bán kính KM = IM 2 - IK 2 = 3

+ Xét tam giác AHM vuông tại H có AM = AH 2 + HM 2 = 16 + HM 2 .

mà HM \le HK + KM = 1 + 3 = 4 $\Rightarrow$ AM \le 16 + 42 = 4 2 .
Dấu "=" xảy ra khi K nằm giữa HM .

Vậy giá trị lớn nhất của AM bằng 4 2 .

Chọn B.
Mặt phẳng $(P):x+2y-3z+2023=0$ có một vectơ pháp tuyến là $(1;2;-3)$.

Chọn B.

Ta có: $OM\perp (ABC)\Rightarrow$ VTPT $\overrightarrow{OM}=(3;2;1)$ nên $(ABC):3x+2y+z-14=0$.

Phương trình mặt phẳng là $2(x-1)-1(y-2)+3(z+3)=0\iff 2x-y+3z+9=0$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;-2;5)$ và vectơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\vec{n}}_{(P)}=(2;-1;3)$. Mặt phẳng cần tìm có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=\left[{\vec{n}}_{(P)},\overrightarrow{AB}\right]=(1;-13;-5)$. Phương trình mặt phẳng đi qua $A(3;1;-1)$ là $1(x-3)-13(y-1)-5(z+1)=0\iff x-13y-5z+5=0$. Do đó $a=1,b=-13,c=-5\Rightarrow a-b+c=1-(-13)+(-5)=9$.

Trung điểm của $AB$ là $M(2;1;0)$ và $\overrightarrow{AB}=(2;8;-4)=2(1;4;-2)$. Mặt phẳng trung trực của $AB$ đi qua $M(2;1;0)$ và nhận $\vec{n}=(1;4;-2)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình $(x-2)+4(y-1)-2z=0\iff x+4y-2z-6=0$. Vậy $a=4,b=-2,c=-6\Rightarrow a+b+c=-4$.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Hà Tĩnh, trang 9, mã đề 001.)

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Hà Tĩnh, trang 9, mã đề 001.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Hà Tĩnh, trang 9, mã đề 001.)

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Hà Tĩnh, trang 9, mã đề 001.)