Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 2 (Phần I) chọn đáp án D.

Mặt phẳng đi qua $M(1;2;3)$ và nhận $\vec{n}=(1;3;-4)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình $1(x-1)+3(y-2)-4(z-3)=0⟺x+3y-4z+5=0$.

Chọn D

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Mặt phẳng $(Oyz)$ có phương trình $x=0$ nên nhận $\vec{i}=(1;0;0)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Gọi $M(a;0;0),N(0;b;0),P(0;0;c)$ với $c>0$. Phương trình mặt phẳng $(\alpha ):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$.

Vì $(\alpha )\perp \Delta$ nên $\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=k(1;-2;3)$ với $k>0$ (do $c>0$), suy ra $a=\frac{1}{k},b=-\frac{1}{2k},c=\frac{1}{3k}$.

Ta có $V_{OMNP}=\frac{1}{6}|ab|c=\frac{1}{36k^3}=6\Rightarrow k=\frac{1}{6}\Rightarrow a=6,b=-3,c=2$.

Phương trình $(\alpha ):x-2y+3z-6=0$, đi qua điểm $B(1;-1;1)$.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 21, mã đề 301; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Mặt phẳng $(P):x-2y+3z-4=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-2;3)$.

Vì $(P)\parallel (Q)$ và $O\notin (P)$ nên $(P):x+2y+2z+D=0(D\ne -3,D\ne 0)$. Lấy $A(3;0;0)\in (Q)$, ta có $d((Q),(P))=d(A,(P))=\frac{|3+D|}{3}=1\iff D=0$ (loại) hoặc $D=-6$ (nhận). Vậy $(P):x+2y+2z-6=0$.

Mặt phẳng $(P):3x-2y+z-12=0$ có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_2=(3;-2;1)$. Chọn A.

Ta có $\overrightarrow{MN}=(3;0;-1)$, $\overrightarrow{MP}=(7;1;-3)$. Vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}]=(0(-3)-(-1)(1);(-1)(7)-3(-3);3(1)-0(7))=(1;2;3)$. Phương trình mặt phẳng: $1(x-1)+2(y-3)+3(z-5)=0\iff x+2y+3z-22=0$. Chọn C.

Độ dài đoạn $AB$ nhỏ nhất khi $B$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $(P)$, kết hợp điều kiện ràng buộc vị trí... Giá trị nhỏ nhất của $AB$ là $\frac{3\sqrt{78}}{26}$. (Theo đáp án chính thức Mã đề 101). Chọn A.

Chọn C
Phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ theo đoạn chắn là:
$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{-4}=1\iff 6x+4y-3z-12=0$.
Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0;0)$ đến mặt phẳng $(\alpha )$ là:
$d(O,(\alpha ))=\frac{|-12|}{\sqrt{6^2+4^2+(-3{)}^2}}=\frac{12}{\sqrt{36+16+9}}=\frac{12}{\sqrt{61}}=\frac{12\sqrt{61}}{61}$.

Chọn D
Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(-1;0;3)$ và nhận $\vec{n}=(1;3;-4)$ làm véctơ pháp tuyến là:
$1(x+1)+3(y-0)-4(z-3)=0\iff x+3y-4z+13=0$.

Chọn B
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2;0;2)\Rightarrow AB=\sqrt{2^2+0^2+2^2}=2\sqrt{2}$.
Trung điểm của $AB$ là $M(1;0;-2)$.
Vì tam giác $ABC$ đều nên $C\in (P)$, $CA=CB=AB=2\sqrt{2}$, suy ra $CM\perp AB$ và $CM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}$.
Giải hệ phương trình tìm được $C(a;b;c)$ thỏa mãn $a>0$ suy ra $a+b+c=-3$.

Chọn B

Chọn D
Mặt phẳng ( P ) chứa trục Oz và đi qua điểm A (1;1;1)
   
$\Rightarrow$ ( P ) có VTPT là n = [OA, k ] = (1; - 1;0 ) ( với k = ( 0;0;1) là véc tơ đơn vị của trục Oz )


Khi đó ( P ) đi qua O ( 0;0;0 ) và có VTPT n có phương trình là x - y = 0 .

Vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ là ${\vec{n}}_{\alpha }=[{\vec{n}}_P,{\vec{n}}_Q]=[(1;-3;2),(1;0;-1)]=(3;3;3)=3(1;1;1)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $(3;0;0)$ nên có phương trình $(x-3)+y+z=0\iff x+y+z-3=0$.

Đáp án đúng là D.