Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Phương trình tương đương $3^{x-4}=3^{-6x+2}\iff x-4=-6x+2\iff 7x=6\iff x=\frac{6}{7}$.

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Ta có $(x+yi)+(2+i)(x-yi)=(3x+y)+(x-y)i=3+5i\iff \{\begin{array}{l}3x+y=3\\ x-y=5\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=-3\end{array}\Rightarrow z=2-3i$.

Ta có $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x-y=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=4\\ y=1\end{array}$.

Đặt $t={\log }_{3}x$, phương trình trở thành $t^2-5t+6=0\iff t=2$ hoặc $t=3\iff x=9$ hoặc $x=27$. Vậy $T=9+27=36$.

Ta có $s(3)=s(0)\cdot 2^3=625000$. Khi $s(t)=10000000=16\cdot 625000=2^4\cdot s(0)\cdot 2^3=s(0)\cdot 2^7$, suy ra $t=7$ phút.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 999, trang 7), Câu 9 (Phần I) chọn đáp án A.

Ta có $3^{x-2}=3^{-2}⟺x-2=-2⟺x=0$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 2000, trang 8), Câu 5 (Phần I) chọn đáp án C.

Ta có ${\log }_3(27a)-{\log }_{3}a={\log }_3\frac{27a}{a}={\log }_{3}27=3$.

Ta có ${\log }_{2}x=3\iff x=2^3$. Chọn D.

Ta có ${\log }_{a^2}\left(a^{-2023}\cdot b^{2024}\right)=\frac{1}{2}\left(-2023+2024{\log }_{a}b\right)=\frac{1}{2}\left(-2023+2024\cdot 2\right)=\frac{2025}{2}$.

Điều kiện biểu thức dưới dấu căn có nghĩa: ${\log }_2\left[2{\left(x^2+y\right)}^2-16\right]\ge {\log }_2^2\left(x^2+y\right)(\ast )$.
Đặt $t={\log }_2\left(x^2+y\right)\Rightarrow x^2+y=2^t$. Áp dụng BĐT Cô-si: $2^{t^2}+16=2^{t^2}+2^4\ge 2\sqrt{2^{t^2+4}}\ge 2\cdot 2^{2t}\Rightarrow t^2\ge {\log }_2\left(2\cdot 2^{2t}-16\right)$.
Kết hợp với $(\ast )$ suy ra dấu bằng phải xảy ra: $x^2+y=4\iff y=4-x^2$.
Khi đó phương trình đã cho trở thành: $6x=3{\log }_6(5x+1)+2x+1$ (trong lời giải gốc biến đổi về khảo sát hàm số $f(x)=x-{\log }_6(5x+1)$ trên $\left(-\frac{1}{5};+\infty \right)$ có $f^{\prime \prime }(x)=\frac{25}{(5x+1{)}^2\ln 6}>0$, nên phương trình có đúng $2$ nghiệm phân biệt $x$, suy ra có $2$ cặp số thực $(x;y)$).

[IMAGE:img_1]

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 33, Mã đề 101; câu tương ứng ở các mã đề hoán vị trong cùng PDF: Mã đề 102 Câu 17 (A), Mã đề 103 Câu 38 (C), Mã đề 104 Câu 3 (A); đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 34, Mã đề 101; câu tương ứng ở các mã đề hoán vị trong cùng PDF: Mã đề 102 Câu 12 (B), Mã đề 103 Câu 29 (B), Mã đề 104 Câu 33 (C); đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 34, Mã đề 101; câu tương ứng ở các mã đề hoán vị trong cùng PDF: Mã đề 102 Câu 49 (B), Mã đề 103 Câu 48 (D), Mã đề 104 Câu 50 (A); đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Điều kiện: $x-1>0\iff x>1$.
Ta có ${\log }_4(x-1)=3\iff x-1=4^3\iff x=65$ (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm là $x=65$.
Chọn đáp án D.

Ta có ${\log }_a(ab)=3\iff 1+{\log }_{a}b=3\iff {\log }_{a}b=2$.
Khi đó:
${\log }_{ab}(a{b}^2)=\frac{{\log }_a(a{b}^2)}{{\log }_a(ab)}=\frac{1+2{\log }_{a}b}{1+{\log }_{a}b}=\frac{1+2\cdot 2}{1+2}=\frac{5}{3}$.
Chọn đáp án C.

Điều kiện: $m>0$ và $t=x^2-4x+{\log }_{2}m>0$.
Khi đó $m\cdot 2^{x^2-4x}=2^{x^2-4x+{\log }_{2}m}=2^t$, phương trình đã cho trở thành:
$\frac{1}{2}\cdot 2^t+\frac{1}{2}\cdot 2^{2t}=7{\log }_{2}t+3\iff 2^{2t}+2^t-14{\log }_{2}t-6=0$.
Xét hàm số $f(t)=2^{2t}+2^t-14{\log }_{2}t-6$ trên $(0;+\infty )$, ta có:
$f^{\prime }(t)=2^{2t}\ln 4+2^t\ln 2-\frac{14}{t\ln 2}$ và $f^{\prime \prime }(t)=2^{2t}{\ln }^{2}4+2^t{\ln }^{2}2+\frac{14}{t^2\ln 2}>0,\forall t>0$.
Do đó $f^{\prime }(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra phương trình $f(t)=0$ có tối đa $2$ nghiệm.
Nhận thấy $f(1)=f(2)=0$, nên:
$f(t)=0\iff [<table><tbody><tr><td>t=1</td></tr><tr><td>t=2</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>{\log }_{2}m=-x^2+4x+1</td></tr><tr><td>{\log }_{2}m=-x^2+4x+2</td></tr></tbody></table>$.
Vẽ hai parabol $y=-x^2+4x+1$ (đỉnh $(2;5)$) và $y=-x^2+4x+2$ (đỉnh $(2;6)$) trên cùng mặt phẳng tọa độ:
Dựa vào đồ thị, phương trình đã cho có đúng $2$ nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi:
$5<{\log }_{2}m<6\iff 32<m<64$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{33;34;\dots ;63\}$, có $31$ giá trị nguyên của $m$.
Chọn đáp án A.

[IMAGE:img_1]

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 378, trang 7), Câu 11 (Phần I) chọn đáp án B.

Điều kiện $x>-1$. Phương trình tương đương $\log (x+1)=-\log (x+4)⟺(x+1)(x+4)=1⟺x^2+5x+3=0$, có đúng $1$ nghiệm $x=\frac{-5+\sqrt{13}}{2}>-1$.

Chọn A
Đặt $t=3^x>0$: $t^2-12t+27=0\iff [\begin{array}{rl}t& =9\\ t& =3\end{array}\iff [\begin{array}{rl}x& =2\\ x& =1\end{array}$
Vậy $S=a+b=2+1=3$.

Chọn B
Phương trình biến đổi về dạng hàm đặc trưng:
$f(u)=f(v)$ với $f(t)=2^{t+1}-{\log }_{2}t$.
Hàm số $f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Suy ra $y+3=2(2x+1)\iff y=4x-1$ (hoặc tương đương $y=2x+1$).
Kết hợp điều kiện $0\le x\le 2023$ và $1\le y\le 2023$, đếm được đúng 1011 cặp số nguyên thỏa mãn.

Chọn A.
Ta có $2^{x-1}=8\iff x-1=3\iff x=4$.