Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

Trong bốn hình đã cho, hình thứ 3 có một cạnh là cạnh chung của nhiều hơn hai đa giác (hoặc không phân chia không gian thành hai miền trong ngoài hợp lệ), do đó chỉ có 3 hình là hình đa diện. Vậy $n=3$.

Hình 3 chứa một cạnh là cạnh chung của 4 đa giác, vi phạm định nghĩa hình đa diện. Do đó Hình 3 không phải là đa diện.

Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng (gồm 2 mặt phẳng đi qua đỉnh và 2 đường chéo của đáy, và 2 mặt phẳng đi qua đỉnh và 2 đường trung trực của các cạnh đối diện của đáy).

Kiểm tra tính lồi của các hình đa diện (đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc hình luôn nằm trọn trong hình), ta xác định được đúng 1 hình đa diện lồi.

Hình lăng trụ có đáy là đa giác $n$ cạnh thì có $n+2$ mặt và $3n$ cạnh.
Theo bài ra: $n+2=2018\Rightarrow n=2016$.
Số cạnh của hình lăng trụ là: $3n=3\cdot 2016=6048$.

Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $4$ mặt phẳng đối xứng, gồm $2$ mặt phẳng đi qua đỉnh $S$ và hai đường chéo của đáy $(SAC),(SBD)$ cùng $2$ mặt phẳng đi qua đỉnh $S$ và trung điểm các cặp cạnh đối của đáy.

Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ có điểm chung $S$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $AD,BC$ nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AD$.

Chọn A.
Theo định nghĩa khối đa diện:
- Hình 1 có hai khối chóp dính nhau tại một đỉnh (không thỏa mãn tính chất mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa giác và phân chia không gian thành hai miền trong ngoài thông suốt).
- Hình 2, Hình 3, Hình 4 đều là các khối đa diện hợp lệ.
Vậy có 3 khối đa diện, tức $n=3$.

Hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng gồm:
- 3 mặt phẳng đi qua một cạnh bên và trung điểm của cạnh đáy đối diện.
- 1 mặt phẳng đi qua trung điểm của tất cả các cạnh bên (song song với hai mặt đáy).
Vậy có tất cả 4 mặt phẳng đối xứng.
Chọn C.

Hình chóp tứ giác đều có $4$ mặt phẳng đối xứng (hai mặt phẳng đi qua đỉnh và đường chéo đáy, hai mặt phẳng đi qua đỉnh và trung điểm các cặp cạnh đối của đáy).

Trung điểm của các cạnh của một hình tứ diện đều là 6 đỉnh của một hình bát diện đều.
Chọn B.

Chọn D.
Hình đa diện gồm một số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện:
a) Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
b) Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Hình 3 không phải là hình đa diện vì tồn tại cạnh chỉ là cạnh chung của một đa giác (hoặc nhiều hơn 2 đa giác).

Chọn C.
Khối đa diện được tạo bởi 7 khối lập phương bằng nhau ghép lại: gồm 1 khối lập phương ở trung tâm và 6 khối lập phương gắn vào 6 mặt của khối lập phương trung tâm.
Khối lập phương ở trung tâm bị che kín cả 6 mặt.
Mỗi khối lập phương trong 6 khối bên ngoài có đúng 1 mặt dính vào khối trung tâm và 5 mặt lộ ra ngoài.
Vậy tổng số mặt của khối đa diện là $6\times 5=30$ mặt.

Chọn B.
Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng $a$, suy ra đường sinh $l=a$.
Đường kính đáy là cạnh huyền của tam giác: $2R=a\sqrt{2}\Rightarrow R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Diện tích xung quanh của hình nón là $S_{xq}=\pi Rl=\pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)a=\frac{\pi a^2\sqrt{2}}{2}$.

Chọn C.
Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai tính chất: mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa giác, và hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
Quan sát 4 hình trong đề bài, hình thứ hai không thỏa mãn tính chất cạnh chung/chia không gian, các hình 1, 3, 4 là hình đa diện.
Vậy có 3 hình đa diện.

Hình chóp tứ giác đều có $4$ mặt phẳng đối xứng (gồm $2$ mặt phẳng qua đỉnh và hai đường chéo đáy, $2$ mặt phẳng qua đỉnh và trung điểm các cặp cạnh đối của đáy).

Ta thấy $B$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.
Mặt khác, $A^{\prime }D\subset (A^{\prime }BD)$ và $B^{\prime }C\subset (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.
Do tứ giác $A^{\prime }BC{D}^{\prime }$ hoặc các mặt đối song song, ta có $A^{\prime }D\parallel B^{\prime }C$.
Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng đi qua điểm chung và song song với hai đường thẳng đó.
Vậy giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm $B$ và song song với $A^{\prime }D$.
Chọn đáp án B.

Hình đa diện gồm một khối chóp tứ giác ghép với một khối lăng trụ tứ giác hoặc hình chóp cụt / bát diện: Đếm trực tiếp các cạnh: đáy dưới 4 cạnh, đáy trên hoặc trung gian 4 cạnh, các cạnh bên và cạnh đỉnh chóp tạo thành tổng cộng 16 cạnh. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn D.

Hình đa diện đã cho gồm:
- 1 mặt đáy là hình ngũ giác,
- 5 mặt xung quanh phía dưới là các hình tứ giác,
- 5 mặt xung quanh phía trên là các hình tam giác có chung đỉnh chóp.
Tổng số mặt là $1+5+5=11$ mặt.

Chọn C.
Hình đa diện có $2$ mặt đáy và $8$ mặt bên.