Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm $SD$ nên $M$ thuộc mặt phẳng $(SAD)$, do đó $AM\subset (SAD)$ đúng. Tương tự $M\in (SCD)$ nên $CM\subset (SCD)$ đúng. Xét mặt phẳng $(SBD)$: $M\in SD\subset (SBD)$ nhưng $B$ cũng $\in (SBD)$, nên $BM\subset (SBD)$ đúng. Còn $(SBC)$ chỉ chứa $S$, $B$, $C$; $M$ nằm trên $SD$ không thuộc $(SBC)$ (vì $D$ không thuộc $(SBC)$), nên $BM\not\subset (SBC)$. Mệnh đề sai là D. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SAD)$ đều chứa điểm $S$ và điểm $A$ (vì $A\in AC$ và $A\in AD$). Hai mặt phẳng phân biệt có hai điểm chung $S,A$ nên giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung đó, tức $SA$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm của $AD$ nên $I\in (KAD)$; mặt khác $I$ thuộc mặt phẳng $(IBC)$ (do $(IBC)$ được xác định bởi $I,B,C$). Tương tự, $K$ là trung điểm của $BC$ nên $K\in (IBC)$, và $K\in (KAD)$ (do $(KAD)$ xác định bởi $K,A,D$). Vậy hai mặt phẳng $(IBC)$ và $(KAD)$ có chung hai điểm phân biệt $I$ và $K$, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $IK$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là giao điểm của $MN$ và $AB$ nên $I\in AB\subset (ABC)$ và $I\in MN\subset (SAB)$. Mặt khác $M,N$ thuộc các cạnh $SA,SB$ nên $MN\subset (SAB)$, và $I\in MN$ với $C$ xác định mặt phẳng $(CMN)$, do đó $I\in (CMN)$. Điểm $I$ nằm ngoài mặt phẳng $(SAC)$ vì $I$ thuộc đường thẳng $AB$ cắt $SA$ tại $A$ (nếu $I\in (SAC)$ và $I\in AB$ với $I\ne A$ thì $AB\subset (SAC)$, vô lý). Vậy $I$ không thuộc $(SAC)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $BC\subset (MBC)$ và $AD$ nằm cùng mặt phẳng đáy với $BC$. Do các cặp cạnh đối của tứ giác $ABCD$ không song song nên $AD$ cắt $BC$ tại một điểm $N$. Điểm $N$ thuộc $AD$ và thuộc $BC\subset (MBC)$, do đó $N$ là giao điểm của $AD$ và $(MBC)$. Vậy giao điểm của $AD$ với $(MBC)$ là giao điểm của $AD$ với $BC$. Khớp đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I\in MN$ với $M\in AB,N\in AD$ nên $I$ thuộc mặt phẳng $(CMN)$ (mặt phẳng qua $C$ và đường thẳng $MN$). Vì $I\in BD$ nên $I$ thuộc $(ABD)$ (vì $BD\subset (ABD)$) và $I$ thuộc $(BCD)$ (vì $BD\subset (BCD)$). Mặt phẳng $(ACD)$ chỉ chứa $D$ trên đường thẳng $BD$; $I$ nằm trên $BD$ nhưng $I\ne D$ (vì $MN$ cắt $BD$ tại điểm ngoài đoạn theo hình vẽ), nên $I$ không thuộc $(ACD)$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 4567, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I\in AB\subset (ABC)$ nên $I$ thuộc $(ABC)$. Vì $M\in SA,N\in SB$ nên $M,N\in (SAB)$, do đó đường thẳng $MN\subset (SAB)$, suy ra $I=MN\cap AB\in (SAB)$. Tương tự $M,N\in (CMN)$ nên $MN\subset (CMN)$, suy ra $I\in (CMN)$. Mặt khác, $I$ nằm trên đường thẳng $AB$ nhưng $I\notin$ đoạn $AB$ (theo hình, $I$ nằm ngoài tam giác, ngoài mặt phẳng $(SAC)$): nếu $I\in (SAC)$ thì vì $I\in (SAB)$, $I$ phải nằm trên giao tuyến $SA$ của hai mặt phẳng, tức $I\in SA$; nhưng $I\in AB$ và $I\ne A$ nên $I\notin SA$, mâu thuẫn. Vậy $I$ không thuộc $(SAC)$. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy $ABCD$ là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song nên $AD$ và $BC$ cắt nhau tại một điểm $E$. Khi đó $E\in BC\subset (MBC)$ và $E\in AD$, tức $E$ là giao điểm của $AD$ với mặt phẳng $(MBC)$. Vậy giao điểm của đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $(MBC)$ là giao điểm của $AD$ với đường thẳng $BC$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2345, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I\in BD$ nên $I$ thuộc mặt phẳng $(ABD)$ và cũng thuộc $(BCD)$ (do $B,D\in (BCD)$). Vì $I\in MN$ với $M\in AB,N\in AD$ nên $MN\subset (ABD)$, do đó $I$ thuộc $(CMN)$ (mặt phẳng qua $C$ và đường thẳng $MN$). Mặt phẳng $(ACD)$ chỉ chứa điểm $D$ chung với đường thẳng $BD$; vì $I$ nằm trên $BD$ nhưng $I\ne D$ (hai đường thẳng $MN$ và $BD$ cắt nhau tại $I$ ngoài đoạn chung), nên $I$ không thuộc $(ACD)$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0123, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$ (và của $BD$). Xét tam giác $SAC$: $E$ là trung điểm của $SA$, $O$ là trung điểm của $AC$, do đó $OE$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OE$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ (và $OE\parallel SC$). Các mặt phẳng $(SCD)$, $(SAB)$, $(SBD)$ đều không chứa đồng thời $O$ và $E$. Vậy mặt phẳng chứa đường thẳng $OE$ là $(SAC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Ta có $AD\subset (SAD)$ và $BC\subset (SBC)$ với $BC\parallel AD$, do đó theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng, giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AD$ (đồng thời song song với $BC$). Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành; $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB$.

a) Xét hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$:
- Ta có $S\in (SAC)\cap (SBD)$.
- Gọi $O=AC\cap BD$ (tâm hình bình hành $ABCD$, vì hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại $O$). Khi đó $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$, suy ra $O\in (SAC)\cap (SBD)$.
Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.

b) Trong tam giác $SAB$, $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB$ nên $MN//AB$.
Xét mặt phẳng $(CMN)$:
- $C\in (CMN)\cap (ABCD)$.
- Trong mặt phẳng $(ABCD)$, qua $C$ kẻ đường thẳng $d$ song song với $AB$ (tức $d$ song song với $MN$). Vì $MN\subset (CMN)$, $AB\subset (ABCD)$ và $MN//AB$ nên $d$ chính là giao tuyến của $(CMN)$ và $(ABCD)$ (đường thẳng qua $C$ song song với $AB$, và do $ABCD$ là hình bình hành nên $d$ chính là đường thẳng $CD$).
Vậy giao tuyến của $(CMN)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng qua $C$ song song với $AB$, tức là đường thẳng $CD$.

c) Trong tam giác $SAB$: $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SB$, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $MN//AB$.
Mà $AB\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$.
Vậy $MN//(ABCD)$.

d) $P$ là trung điểm của $SC$.
- Trong tam giác $SAC$: $M$ là trung điểm $SA$, $P$ là trung điểm $SC$ nên $MP$ là đường trung bình, suy ra $MP//AC$. Mà $AC\subset (ABCD)$, $MP\not\subset (ABCD)$, nên $MP//(ABCD)$.
- Trong tam giác $SBC$: $N$ là trung điểm $SB$, $P$ là trung điểm $SC$ nên $NP$ là đường trung bình, suy ra $NP//BC$. Mà $BC\subset (ABCD)$, $NP\not\subset (ABCD)$, nên $NP//(ABCD)$.
- Mặt phẳng $(MNP)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $MP$ và $NP$, trong đó $MP//(ABCD)$, $NP//(ABCD)$.
Vậy $(MNP)//(ABCD)$ (định lý về mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $DM$ của tam giác $BCD$. Suy ra $G\in DM\subset (ADM)$. Lại có $N\in AD\subset (ADM)$, do đó đường thẳng $NG$ nằm trong mặt phẳng $(ADM)$. Mặt khác, $(ADM)\cap (ABC)=AM$ (vì $A$, $M$ chung). Giao điểm $I$ của $NG$ với $(ABC)$ phải thuộc giao tuyến $AM$. Vậy $I\in AM$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{MN}=\vec{N}-\vec{M}=\frac{\vec{C}+\vec{D}}{2}-\frac{\vec{A}+\vec{B}}{2}=\frac{(\vec{C}-\vec{B})+(\vec{D}-\vec{A})}{2}=\vec{D}-\vec{A}=\overrightarrow{AD}$ (do $\vec{C}-\vec{B}=\vec{D}-\vec{A}$). Vậy $MN\parallel AD$.

Ta có:
- $MN\parallel AD$ với $AD\subset (SAD)$ và $MN\not\subset (SAD)$, suy ra $MN\parallel (SAD)$.
- Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(PMN)$ đều chứa điểm $P$ (vì $P\in SA\subset (SAD)$ và $P\in (PMN)$), nên giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua $P$.
- Mặt phẳng $(PMN)$ chứa đường thẳng $MN\parallel (SAD)$, nên giao tuyến của $(PMN)$ với $(SAD)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $MN$, tức song song với $AD$.

Vậy giao tuyến của $(SAD)$ và $(PMN)$ là đường thẳng qua $P$ và song song với $AD$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ có đáy là đa giác $n$ cạnh thì có $3n$ cạnh, $n+2$ mặt. Với $3n=2025\Rightarrow n=675$. Số mặt $=n+2=675+2=677$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là giao điểm của $AE$ và $DN$ nên $I\in DN$, do đó $I$ thuộc mặt phẳng $(SDI)$. Đồng thời $I\in AE$ với $E\in CD$, $A\in (SAC)$, nên $AE\subset (ACD)$... xét trong mặt phẳng $(ACD)$: $I\in AE$ và $A\in (SAC)$ nên $I\in (SAC)$. Vậy $I$ thuộc cả hai mặt phẳng $(SDI)$ và $(SAC)$. Ngoài ra, điểm $S$ chung của hai mặt phẳng. Xét điểm $N$: $N\in DN\subset (SDI)$ và $N\in AC\subset (SAC)$, nên $N$ cũng thuộc cả hai mặt phẳng. Hai mặt phẳng có hai điểm chung phân biệt $S$ và $N$ nên giao tuyến là đường thẳng $SN$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bốn điểm không đồng phẳng, mỗi bộ 3 điểm xác định một mặt phẳng. Số mặt phẳng là $C_4^3=4$ (tức 4 mặt của tứ diện tạo bởi 4 điểm). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bốn điểm không đồng phẳng, mỗi mặt phẳng qua 3 điểm: số tổ hợp $C(4,3)=4$ mặt phẳng phân biệt (như 4 mặt của một tứ diện). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Trong tam giác $SAC$, $O$ là trung điểm $AC$ (do $ABCD$ là hình bình hành nên $O$ là giao hai đường chéo) và $M$ là trung điểm $SC$, suy ra $MO\parallel SA$ (định lý đường trung bình), không song song với $SB$.
b) Đúng. $S$ thuộc cả hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$; $O=AC\cap BD$ cũng thuộc cả hai mặt phẳng. Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo đường thẳng đi qua hai điểm chung $S$ và $O$, tức giao tuyến là $SO$.
c) Sai. Mặt phẳng $(SAC)$ cắt $(SBD)$ theo giao tuyến $SO$. Đường thẳng $AM$ nằm trong $(SAC)$, nên giao điểm của $AM$ với $(SBD)$ là giao điểm của $AM$ với $SO$ (khác giao điểm của $AM$ với $BD$, vì $AM$ và $BD$ không cùng một mặt phẳng).
d) Đúng. Theo a), $MO\parallel SA$ với $SA\subset (SAD)$ và $MO\not\subset (SAD)$, do đó $MO\parallel (SAD)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $O$ là trung điểm $AC$, $M$ là trung điểm $SC$ nên $MO\parallel SA$, không song song $SB$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S$ và $O=AC\cap BD$ là hai điểm chung của $(SAC)$ và $(SBD)$, nên giao tuyến là $SO$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm của $AM$ với $(SBD)$ là giao điểm của $AM$ với $SO$ (giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$), không phải giao điểm với $BD$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $MO\parallel SA\subset (SAD)$ và $MO\not\subset (SAD)$ nên $MO\parallel (SAD)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$ chung. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $O=AC\cap BD$ thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là đường thẳng $SO$.

b) Sai: Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SC$ và $O$ là trung điểm $AC$ (hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường). Suy ra $MO$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, tức $MO\parallel SA$. Vì $SA\subset (SAC)$ còn $SB$ chỉ cắt mặt phẳng $(SAC)$ tại $S$ (và $SB\not\subset (SAC)$), nên $MO$ không thể song song với $SB$.

c) Sai: $AM\subset (SAC)$. Trong mặt phẳng $(SAC)$, gọi $N=AM\cap SO$ (hai đường thẳng này cắt nhau vì không song song). Khi đó $N\in SO\subset (SBD)$, nên giao điểm của $AM$ với mặt phẳng $(SBD)$ là $N$ nằm trên $SO$, không phải giao điểm của $AM$ với $BD$ (thực tế $AM$ và $BD$ chéo nhau, không cắt nhau).

d) Đúng: Từ b) ta có $MO\parallel SA$. Vì $SA\subset (SAD)$ và $MO\not\subset (SAD)$ nên $MO\parallel (SAD)$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, Phần II Câu 2: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$S$ chung và $O=AC\cap BD$ thuộc cả hai mặt phẳng $(SAC)$, $(SBD)$ nên giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ trung điểm $SC$, $O$ trung điểm $AC$ nên $MO$ là đường trung bình, suy ra $MO\parallel SA$. Vì $SA\subset (SAC)$ còn $SB$ chỉ cắt $(SAC)$ tại $S$ và $SB\not\subset (SAC)$, nên $MO$ không song song với $SB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AM\subset (SAC)$; gọi $N=AM\cap SO$ (hai đường thẳng này cắt nhau trong $(SAC)$ vì không song song). Khi đó $N\in SO\subset (SBD)$, tức giao điểm của $AM$ với $(SBD)$ là $N$ nằm trên $SO$, không phải giao điểm của $AM$ với $BD$ (thực tế $AM$ và $BD$ chéo nhau).
d) (AI giải đề cho tôi)
$MO\parallel SA$ (đường trung bình tam giác $SAC$). Vì $SA\subset (SAD)$ và $MO\not\subset (SAD)$ nên $MO\parallel (SAD)$.