Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $MN$ (với $M$, $N$ là trung điểm của $AD$, $BC$) đi qua tâm $O$ của hình bình hành, tức giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$. Khi đó $O\in MN\subset (SMN)$ và $O\in AC\subset (SAC)$. Hai mặt phẳng $(SMN)$ và $(SAC)$ đều chứa điểm $S$ và điểm $O$, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $SO$. Vậy đáp án B.

a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Bánh chưng có dạng hình hộp chữ nhật. Cắt theo hai đường chéo của mặt trên nghĩa là thực hiện hai mặt cắt phẳng thẳng đứng, mỗi mặt cắt chứa một đường chéo của mặt trên và vuông góc với mặt đáy. Hai mặt cắt này giao nhau tại đường thẳng đi qua tâm hình hộp và chia hình hộp thành 4 phần bằng nhau. Mỗi phần có mặt đáy là một tam giác (một phần tư hình vuông mặt trên chia bởi hai đường chéo) và các mặt bên là hình chữ nhật, tức mỗi phần là một lăng trụ đứng tam giác. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy $ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AB$ nên $AB\parallel CD$. Xét $CD$ và mặt phẳng $(SAB)$: $AB\subset (SAB)$, $AB\parallel CD$ và $CD\not\subset (SAB)$, suy ra $CD\parallel (SAB)$. Mặt khác $\Delta =(MCD)\cap (SAB)$ nên $\Delta \subset (MCD)$, mà $CD\subset (MCD)$, do đó $\Delta \parallel CD$ (đường thẳng nằm trong mặt phẳng song song với một đường thẳng thì song song với đường thẳng đó). Vậy $\Delta \parallel CD\parallel AB$, tức $\Delta \parallel AB$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ (trang 2): tứ diện $ABCD$ với $M\in AB$, $Q\in AD$, $P\in BD$, $N\in AC$, và điểm $I$ nằm trên phần kéo dài của đường thẳng $QP$ (ngoài tứ diện). Vì $Q\in AD$ và $P\in BD$ nên cả $Q$ và $P$ đều thuộc mặt phẳng $(ABD)$, suy ra đường thẳng $QP\subset (ABD)$. Điểm $I$ nằm trên đường thẳng $QP$ (phần kéo dài) nên $I\in (ABD)$. Vậy khẳng định đúng là B. Ghi chú: do $Q\in AD$ nên mặt phẳng $(ABQ)$ thực chất trùng với $(ABD)$, tuy nhiên cách xác định điểm $I$ trong hình là qua đường thẳng $QP$ nằm trong mặt phẳng $(ABD)$, và đáp án của đề là $I\in (ABD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 5: tứ diện $ABCD$ với $M$ là trung điểm $AB$, $P$ là trung điểm $CD$, $N$ là trung điểm $BC$, $Q$ là trung điểm $AD$; hai đoạn $MP$ và $NQ$ (nối trung điểm các cặp cạnh đối của tứ diện) cắt nhau tại $I$ (trọng tâm tứ diện, $\vec{I}=\frac{1}{4}(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+\vec{D})$).

Vì $I\in MP$ và $M\in AB\subset (ABP)$, $P\in (ABP)$ nên đường thẳng $MP\subset (ABP)$, suy ra $I\in (ABP)$ → A đúng.

Kiểm tra các phương án khác:
- $I\in (ABD)$: mặt phẳng $(ABD)$ chỉ chứa tổ hợp $\alpha \vec{A}+\beta \vec{B}+\delta \vec{D}$ (hệ số của $\vec{C}$ bằng 0), nhưng $I$ có hệ số của $\vec{C}$ là $\frac{1}{4}\ne 0$ → sai.
- $I\in (ABQ)$ với $Q$ trung điểm $AD$: tương tự, hệ số của $\vec{C}$ trong $(ABQ)$ phải bằng 0, mâu thuẫn với $\frac{1}{4}$ → sai.
- $I\in (BCD)$: hệ số của $\vec{A}$ phải bằng 0, nhưng $I$ có hệ số của $\vec{A}$ là $\frac{1}{4}$ → sai.

Vậy khẳng định đúng là $I\in (ABP)$, khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, do các mặt song song tương ứng nên $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$. Xét $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$. Vậy vectơ bằng $\overrightarrow{AC}$ là $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$. Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AC}$; $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=-\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ — đều sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 122, Câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I=d_1\cap d_2$. Vì $d_1\subset (P)$, $d_2\subset (Q)$... Thực tế: $d_1=(P)\cap (Q)$ nên $I\in (P)$ và $I\in (Q)$; $d_2=(Q)\cap (R)$ nên $I\in (R)$. Do đó $I\in (P)\cap (R)=d_3$, tức $d_3$ đi qua $I$. Vậy ba đường thẳng $d_1,d_2,d_3$ cùng đi qua điểm $I$, tức đồng quy. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1246, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $MNPQ.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$: hai mặt $MN{N}^{\prime }{M}^{\prime }$ và $MNPQ$ có giao tuyến là cạnh $MN$, tức chúng kề nhau chứ không phải hai mặt đối diện, nên khẳng định A là sai. Các khẳng định còn lại đúng: $N{N}^{\prime }$ và $Q{Q}^{\prime }$ là hai cạnh song song không cùng một mặt (đối diện); $Q$ và $N^{\prime }$ là hai đỉnh không chung mặt (đối diện); $M{M}^{\prime }$ và $P{P}^{\prime }$ là hai cạnh đối diện. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng chứa $S$ và $A$ nên giao tuyến là $SA$, không phải $SB$. b) Đúng: Trong tam giác $SAB$, $M$ trung điểm $AB$, $P$ trung điểm $SA$ nên $MP$ là đường trung bình, suy ra $MP\parallel SB$. c) Đúng: $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, $AB=CD$; vì $M\in AB$, $N\in CD$ với $AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=DN$ và $AM\parallel DN$ nên tứ giác $AMND$ là hình bình hành, do đó $MN\parallel AD$. Vì $AD\subset (SAD)$ và $MN\not\subset (SAD)$ nên $MN\parallel (SAD)$. d) Đúng: $O=AC\cap BD$ nên $O\in (SAC)$ và $O\in (SBD)$; hai mặt phẳng này còn chung điểm $S$ nên giao tuyến là $SO$. Kết quả khớp với đáp án chấm máy (Đ S S Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(SAD)$ cùng chứa $S$ và $A$ nên giao tuyến là $SA$, không phải $SB$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$MP$ là đường trung bình tam giác $SAB$ nên $MP\parallel SB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $AMND$ là hình bình hành nên $MN\parallel AD\subset (SAD)$, $MN\not\subset (SAD)$, suy ra $MN\parallel (SAD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$O=AC\cap BD$ thuộc cả $(SAC)$ và $(SBD)$, cùng với $S$, nên giao tuyến là $SO$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Ta có $CD\subset (SCD)$ và $AB\not\subset (SCD)$, do đó $AB\parallel (SCD)$. Mặt khác, $(SAB)\cap (SCD)$ là đường thẳng đi qua điểm chung $S$ và theo tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng, giao tuyến này song song với $AB$. Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$. Đáp án khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Mà $CD\subset (SCD)$ nên $AB\parallel (SCD)$ (vì $AB\not\subset (SCD)$). Mặt phẳng $(SAB)$ đi qua $AB$ và cắt $(SCD)$ theo giao tuyến $d$, theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng thì $AB\parallel d$. Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ đều chứa điểm $S$ nên giao tuyến $d$ đi qua $S$. Vậy giao tuyến là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $(SAB)$ và $(SAD)$ có chung điểm $S$; $AB\subset (SAB)$, $AD\subset (SAD)$ với $AB\cap AD=A$, nên giao tuyến là đường thẳng $SA$, không phải $SB$. b) Đúng: trong tam giác $SAB$, $P$ là trung điểm $SA$ và $M$ là trung điểm $AB$ nên $MP$ là đường trung bình, suy ra $MP//SB$. c) Đúng: $O$ là tâm hình bình hành nên $O\in AC$ và $O\in BD$; do đó $O\in (SAC)\cap (SBD)$, cùng với $S$ chung nên giao tuyến là $SO$. d) Đúng: $M,N$ là trung điểm hai cạnh đối $AB,CD$ của hình bình hành nên $MN//AD$; vì $AD\subset (SAD)$ và $MN\not\subset (SAD)$ (do $M\notin (SAD)$) nên $MN//(SAD)$. Đối chiếu bảng đáp án trang 13, dòng 15.II3: mã đề 1103 cho S Đ Đ Đ, khớp hoàn toàn với kết quả giải.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(SAD)$ có điểm chung $S$; $AB\cap AD=A$ nên giao tuyến là $SA$, không phải $SB$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $MP$ nối trung điểm $SA$ và $AB$ nên là đường trung bình, $MP//SB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là giao của hai đường chéo $AC,BD$ nên $O\in (SAC)\cap (SBD)$; cùng với $S$ chung, giao tuyến là $SO$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ nối trung điểm $AB,CD$ của hình bình hành nên $MN//AD\subset (SAD)$ và $MN\not\subset (SAD)$, suy ra $MN//(SAD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Ta có $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$, và $S$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$. Theo tính chất giao tuyến: nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó. Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng đi qua $S$ và song song với $AB$ (đồng thời song song với $CD$). Đáp án khớp với đáp án nguồn là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Ta có $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$ và $AB\parallel CD$, nên theo tính chất giao tuyến, giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng đi qua $S$ (điểm chung hiển nhiên của hai mặt phẳng) và song song với $AB$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác $SAB$, $P$ là trung điểm $SA$, $M$ là trung điểm $AB$ nên $MP$ là đường trung bình, suy ra $MP\parallel SB$. Đúng.
b) $(SAC)$ chứa $S,A,C$; $(SBD)$ chứa $S,B,D$. Hai mặt phẳng có điểm chung $S$. Trong đáy hình bình hành $ABCD$, $AC\cap BD=O$ nên $O$ chung. Vậy giao tuyến là $SO$. Đúng.
c) $MN$ đi qua trung điểm hai cạnh đối $AB,CD$ của hình bình hành nên $MN\parallel AD$ (và $MN$ đi qua $O$). Vì $AD\subset (SAD)$, $MN\not\subset (SAD)$ nên $MN\parallel (SAD)$. Đúng.
d) $(SAB)$ và $(SAD)$ có chung hai điểm $S,A$, nên giao tuyến là đường thẳng $SA$, không phải $SB$. Sai.
Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $M$ là trung điểm $AB$, $P$ là trung điểm $SA$ nên $MP$ là đường trung bình của tam giác, do đó $MP\parallel SB$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa $S$. Trong đáy, $AC\cap BD=O$ (tâm hình bình hành) nên $O$ thuộc cả hai mặt phẳng. Giao tuyến là đường thẳng qua $S$ và $O$, tức $SO$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, đoạn nối trung điểm $M$ của $AB$ và $N$ của $CD$ song song với $AD$ (và $BC$). Vì $AD\subset (SAD)$ và $MN\not\subset (SAD)$ nên $MN\parallel (SAD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(SAD)$ có chung hai điểm $S$ và $A$, nên giao tuyến là đường thẳng $SA$, không phải $SB$.

a) Ta có $N\in SC$ nên $N\in (SAC)$. b) Ta có $BD$ cắt $CD$ tại $D$ nên suy ra $BI$ cắt $CD$ tại $D$. Từ đó suy ra $BI\cap (SCD)=D$. c) Xét hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ có $(SAC)\cap (SBD)=SI$. d) Ta có $IN\subset (SAC)$. Chọn đáp án [a đúng | b đúng | c sai | d sai].
a) Ta có $N\in SC$ nên $N\in (SAC)$.
b) Ta có $BD$ cắt $CD$ tại $D$ nên suy ra $BI$ cắt $CD$ tại $D$. Từ đó suy ra $BI\cap (SCD)=D$.
c) Xét hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ có $(SAC)\cap (SBD)=SI$.
d) Ta có $IN\subset (SAC)$.

a) Ta có $S\in (SAC)\cap (SBD)$ (1)
Ta có:
$$\{\begin{array}{l}O\in AC,AC\subset (SAC)\\ O\in BD,BD\subset (SBD)\end{array}$$
$\Rightarrow O\in (SAC)\cap (SBD)$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $SO=(SAC)\cap (SBD)$

b) Vì $I$ là trung điểm của $SD$, $O$ là trung điểm của $BD$ nên $OI$ là đường trung bình của tam giác $SBD$.
Suy ra: $OI\parallel SB$.
Mà $SB\subset (SAB),OI\not\subset (SAB)$
Suy ra: $OI\parallel (SAB)$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Ta có $AB\subset (SAB)$ và $CD\subset (SCD)$, do đó $AB\parallel (SCD)$ (vì $AB$ không nằm trong $(SCD)$). Mặt phẳng $(SAB)$ đi qua $AB$ và cắt $(SCD)$ theo giao tuyến $\Delta$, nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $\Delta \parallel AB$. Ngoài ra $S$ thuộc cả hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ nên $S\in \Delta$. Vậy $\Delta$ đi qua $S$ và song song với $AB$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Ta có $BC\subset (SBC)$ và $AD\subset (SAD)$, do đó $AD\parallel (SBC)$. Mặt phẳng $(SAD)$ đi qua đường thẳng $AD$ và cắt $(SBC)$ theo giao tuyến $\Delta$, nên theo định lý về giao tuyến, $\Delta \parallel AD$. Hơn nữa $S\in (SAD)\cap (SBC)$ nên $S\in \Delta$. Vậy $\Delta$ đi qua $S$ và song song với $AD$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 7: A).