Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Số lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau từ A={1;...;7}: chữ số lẻ có 4 lựa chọn (1;3;5;7). Chọn chữ số cuối (hàng đơn vị): 4 cách. Chọn chữ số hàng nghìn: 6 cách (khác chữ số cuối). Chọn chữ số hàng trăm: 5 cách. Chọn chữ số hàng chục: 4 cách. Tổng: 4·6·5·4 = 480. Kết quả trùng với đáp án nguồn 480.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi dãy 4 ghế phải xen kẽ lớp A và lớp B, tức mỗi dãy có dạng ABAB hoặc BABA (mỗi dãy chứa đúng 2 học sinh lớp A và 2 học sinh lớp B). Vì hai học sinh ngồi đối diện nhau phải khác lớp nên nếu dãy thứ nhất có dạng ABAB thì dãy thứ hai phải có dạng BABA (và ngược lại). Như vậy chỉ có 2 cách chọn kiểu xen kẽ cho hai dãy. Với mỗi kiểu, xếp 4 học sinh lớp A vào 4 vị trí lớp A: có $4!=24$ cách; xếp 4 học sinh lớp B vào 4 vị trí lớp B: có $4!=24$ cách. Tổng số cách xếp là $2\cdot 4!\cdot 4!=2\cdot 24\cdot 24=1152$ cách, khớp với đáp án nguồn 1152.

(AI giải đề cho tôi)
Khối '123' hoặc '321' chiếm 3 vị trí liên tiếp trong 7 chữ số: có 2 cách thứ tự và 5 vị trí cho khối. Chọn 4 chữ số còn lại từ $\{0,4,5,6,7,8,9\}$ và xếp: $A(7,4)=840$. Tổng: $2\cdot 5\cdot 840=8400$. Trừ trường hợp chữ số 0 đứng đầu: khi 0 ở vị trí đầu, 3 chữ số còn lại chọn từ 6 chữ số: $A(6,3)=120$, khối nằm trong 4 vị trí còn lại, 2 thứ tự: $2\cdot 4\cdot 120=960$. Kết quả: $8400-960=7440$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Mã 1103, câu 20: B).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (mã đề 1103, Phần II): a) Sắp xếp 8 bạn chọn từ 10 thành hàng ngang là chỉnh hợp A(10,8) = 1.814.400, không phải tổ hợp C(10,8) = 45 → SAI. b) Bình và An có tham gia: chọn thêm 6 bạn từ 8 bạn còn lại: C(8,6) = 28, sắp xếp 8 người thành hàng: 8! = 40320, tổng 28 × 40320 = 1.128.960 ≠ 20160 → SAI. c) Bình và An đứng hai đầu hàng: 2! = 2 cách cho hai đầu, 6 vị trí giữa chọn và xếp từ 8 bạn còn lại: A(8,6) = 20160, tổng 2 × 20160 = 40320 → ĐÚNG. d) Bình và An đứng cạnh nhau: gộp thành một khối, có 7 vị trí cho khối, 2! = 2 cách đổi chỗ trong khối, 6 bạn còn lại chọn từ 8 và xếp vào 6 vị trí: A(8,6) = 20160, tổng 7 × 2 × 20160 = 282240 → ĐÚNG. Kết quả khớp đáp án chính thức (mã 1103, câu 2: a S, b S, c Đ, d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp 8 bạn chọn từ 10 thành hàng ngang là chỉnh hợp A(10,8) = 1.814.400, không phải C(10,8) = 45.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bình, An có tham gia: C(8,6) × 8! = 28 × 40320 = 1.128.960 cách, không phải 20160.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai đầu hàng: 2! = 2 cách; 6 vị trí giữa: A(8,6) = 20160; tổng 2 × 20160 = 40320 cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Gộp Bình, An thành khối: 7 vị trí × 2! × A(8,6) = 7 × 2 × 20160 = 282240 cách.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y,z$ lần lượt là số học sinh nhận cặp (Toán, Lý), (Toán, Hóa), (Lý, Hóa). Vì mỗi học sinh nhận 2 cuốn khác thể loại và dùng hết 20 cuốn (8 Toán, 7 Lý, 5 Hóa) nên: $x+y=8$, $x+z=7$, $y+z=5$. Cộng hai phương trình đầu trừ phương trình cuối: $2x=10\Rightarrow x=5$, suy ra $y=3$, $z=2$ (kiểm tra: $5+3+2=10$ học sinh, tổng sách $2\cdot 10=20$ đúng). Số cách phát thưởng là số cách chia 10 học sinh (phân biệt) thành 3 nhóm có kích thước 5, 3, 2: $\frac{10!}{5!3!2!}=\frac{3628800}{120\cdot 6\cdot 2}=2520$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2520.

(AI giải đề cho tôi)
a) Bình và An đứng hai đầu: 2! cách đổi chỗ cho hai người, 6 vị trí giữa chọn từ 8 bạn còn lại: $A_8^6=20160$. Tổng: $2\cdot 20160=40320$ cách. Đúng.
b) Cả hai tham gia và đứng cạnh nhau: chọn 6 bạn từ 8 bạn còn lại: $C_8^6=28$; coi cặp Bình-An là một khối nên có $7!\cdot 2!=10080$ cách xếp. Tổng: $28\cdot 10080=282240$ cách. Đúng.
c) Xếp 8 bạn thành hàng ngang từ 10 bạn là hoán vị chập k của 10: $A_{10}^8$, không phải $C_{10}^8$ (chỉ là chọn chứ chưa xếp hàng). Sai.
d) Cả hai tham gia: chọn 6 bạn từ 8 bạn còn lại rồi xếp 8 người thành hàng: $C_8^6\cdot 8!=28\cdot 40320=1128960$ cách, khác 20160. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai đầu hàng: $2!\cdot A_8^6=2\cdot 20160=40320$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C_8^6\cdot 7!\cdot 2!=28\cdot 10080=282240$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phải dùng $A_{10}^8$ vì có sắp xếp thứ tự hàng ngang, không phải chỉ chọn $C_{10}^8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_8^6\cdot 8!=1128960$ cách, không phải 20160.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi học sinh nhận 2 sách khác thể loại nên mỗi em nhận một trong các cặp: (Toán, Lý), (Toán, Hóa), (Lý, Hóa). Gọi $x$, $y$, $z$ lần lượt là số học sinh nhận cặp (Toán, Lý), (Toán, Hóa), (Lý, Hóa). Vì dùng hết 20 cuốn (10 học sinh × 2 cuốn) nên: $x+y=8$ (hết sách Toán), $x+z=7$ (hết sách Lý), $y+z=5$ (hết sách Hóa). Giải hệ: $x=5$, $y=3$, $z=2$. Vậy có 5 học sinh nhận cặp Toán-Lý, 3 học sinh nhận cặp Toán-Hóa, 2 học sinh nhận cặp Lý-Hóa. Số cách phát cho 10 học sinh (phân biệt học sinh) là hoán vị của multiset: $\frac{10!}{5!\cdot 3!\cdot 2!}=\frac{3628800}{120\cdot 6\cdot 2}=2520$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2520.

(AI giải đề cho tôi)
Coi khối ba chữ số liên tiếp '123' hoặc '321' (thỏa mãn chữ số 2 đứng liền giữa 1 và 3) như một phần tử. Chọn 4 chữ số còn lại khác nhau từ tập $\{0,4,5,6,7,8,9\}$: có $C_7^4=35$ cách. Xếp 5 phần tử (khối + 4 chữ số) vào 7 vị trí: $5!=120$ cách, và khối có 2 cách thứ tự. Tổng: $35\cdot 120\cdot 2=8400$. Loại các số có chữ số 0 đứng đầu: chọn 3 chữ số còn lại từ 6 chữ số khác 0: $C_6^3=20$; với 0 ở vị trí đầu, xếp khối và 3 chữ số vào 6 vị trí còn lại: $4!\cdot 2=48$ cách. Số bị loại: $20\cdot 48=960$. Kết quả: $8400-960=7440$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Mã 1102, Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xem khối '123' hoặc '321' (chữ số 2 đứng giữa 1 và 3) như một khối. Có 2 cách xếp 1 và 3 trong khối. Khối cùng 4 chữ số khác chiếm 5 vị trí: có 5 cách đặt khối. Chọn và xếp 4 chữ số khác từ 7 chữ số còn lại (0,4,5,6,7,8,9): $A_7^4=840$. Tổng: $5\cdot 2\cdot 840=8400$. Trừ các số có chữ số 0 ở đầu: xảy ra khi khối không ở vị trí đầu (4 cách đặt khối), chữ số đầu là 0, chọn xếp 3 chữ số từ 6 chữ số còn lại: $4\cdot 2\cdot A_6^3=4\cdot 2\cdot 120=960$. Kết quả: $8400-960=7440$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Mã 1101, Câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Số cần tìm chia hết cho $6$ nên chữ số tận cùng chẵn và tổng các chữ số chia hết cho $3$. Các chữ số lấy từ $\{0,1,2,3,4,5,6\}$, đôi một khác nhau, tổng tất cả bằng $21$ chia hết cho $3$. Chọn $5$ chữ số có tổng chia hết cho $3$ tương đương loại $2$ chữ số có tổng chia hết cho $3$; các cặp bị loại: $(0,3),(0,6),(3,6),(1,2),(1,5),(2,4),(4,5)$ — $7$ bộ chữ số. Với mỗi bộ, đếm hoán vị có chữ số tận cùng chẵn và chữ số đầu khác $0$ (hiệu: $5!$ nhân số chữ số chẵn trừ các trường hợp đầu $=0$):
- $\{1,2,3,4,6\}$: $3\cdot 24=72$.
- $\{0,3,6,1,2\}$: $3\cdot 24-2\cdot 6=60$.
- $\{0,3,6,1,5\}$: $2\cdot 24-6=42$.
- $\{0,3,6,2,4\}$: $4\cdot 24-3\cdot 6=78$.
- $\{0,3,6,4,5\}$: $3\cdot 24-2\cdot 6=60$.
- $\{0,1,2,4,5\}$: $3\cdot 24-2\cdot 6=60$.
- $\{1,2,3,4,5\}$: $2\cdot 24=48$.
Tổng: $72+60+42+78+60+60+48=420$. Kết quả khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 8 trong 10 bạn xếp thành hàng ngang.
a) Hai bạn Bình và An đều tham gia: chọn thêm 6 bạn từ 8 bạn còn lại: $C_8^6=28$; xếp 8 bạn thành hàng: $8!=40320$. Tổng: $28\cdot 40320=1128960\ne 20160$ → Sai.
b) Bình và An đứng hai đầu hàng: $2!=2$ cách xếp hai đầu; chọn 6 bạn từ 8 bạn còn lại: $C_8^6=28$; xếp 6 bạn vào giữa: $6!=720$. Tổng: $2\cdot 28\cdot 720=40320$ → Đúng.
c) Xếp 8 bạn từ 10 bạn thành hàng ngang là chỉnh hợp: $A_{10}^8$, không phải tổ hợp $C_{10}^8$ (chỉ chọn chứ chưa xếp) → Sai.
d) Bình và An cùng tham gia và đứng cạnh nhau: chọn 6 bạn từ 8: $C_8^6=28$; coi Bình và An là một khối, xếp 7 phần tử: $7!\cdot 2!=10080$. Tổng: $28\cdot 10080=282240$ → Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (a: S, b: Đ, c: S, d: Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Bình và An đều tham gia: $C_8^6\cdot 8!=28\cdot 40320=1128960$ cách, không phải 20160.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai đầu hàng: $2!=2$; chọn 6 bạn giữa: $C_8^6=28$; xếp giữa: $6!=720$; tổng $2\cdot 28\cdot 720=40320$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 8 bạn thành hàng ngang là chỉnh hợp chập 8 của 10: $A_{10}^8$, không phải $C_{10}^8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 6 bạn từ 8: $C_8^6=28$; Bình và An cạnh nhau coi là một khối: $7!\cdot 2!=10080$; tổng $28\cdot 10080=282240$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a$ là số học sinh nhận cặp (Toán, Lý), $b$ là số học sinh nhận cặp (Toán, Hóa), $c$ là số học sinh nhận cặp (Lý, Hóa). Vì mỗi học sinh nhận 2 cuốn khác thể loại và dùng hết 20 cuốn nên: $a+b=8$ (Toán), $a+c=7$ (Lý), $b+c=5$ (Hóa). Giải hệ được $a=5$, $b=3$, $c=2$ (thỏa mãn $a+b+c=10$). Vậy có 5 học sinh nhận cặp (Toán, Lý), 3 học sinh nhận cặp (Toán, Hóa), 2 học sinh nhận cặp (Lý, Hóa). Số cách phát thưởng là số cách chia 10 học sinh (phân biệt) thành 3 nhóm này: $\frac{10!}{5!3!2!}=\frac{3628800}{120\cdot 6\cdot 2}=2520$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2520.

(AI giải đề cho tôi) a) Sai: số cách chọn mỗi loại một quyển là $10\cdot 8\cdot 6=480$ cách, không phải 3. b) Đúng: $C_{10}^3=120$ cách chọn 3 quyển đều Toán. c) Sai: chọn 3 quyển từ 24 quyển là $C_{24}^3=2024$ cách (hoặc $A_{24}^3=12144$ nếu phân công cho từng em), không phải 2030. d) Đúng: $C_{10}^2{C}_8^1{C}_6^1+C_{10}^1{C}_8^2{C}_6^1+C_{10}^1{C}_8^1{C}_6^2=2160+1680+1200=5040$ cách. Khớp đáp án nguồn mã đề 0112: S – Đ – S – Đ.
a) Chọn 1 quyển Toán, 1 quyển tiếng Anh, 1 quyển Lý: có $10\cdot 8\cdot 6=480$ cách, không phải 3 cách → Sai.
b) Chọn 3 quyển từ 10 quyển Toán: $C_{10}^3=120$ cách → Đúng.
c) Chọn 3 quyển từ 24 quyển: $C_{24}^3=2024$ cách (nếu tặng mỗi em một quyển có phân công thì $A_{24}^3=12144$ cách), không phải 2030 → Sai.
d) Chọn 4 quyển có đủ ba loại: (2 Toán, 1 Anh, 1 Lý): $C_{10}^2\cdot 8\cdot 6=2160$; (1 Toán, 2 Anh, 1 Lý): $10\cdot C_8^2\cdot 6=1680$; (1 Toán, 1 Anh, 2 Lý): $10\cdot 8\cdot C_6^2=1200$. Tổng: $2160+1680+1200=5040$ cách → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số vận động viên nam là $n$. Số ván nam chơi với nhau là $2A_n^2=n(n-1)$; số ván hai nữ chơi với nhau là $2$. Theo đề: $n(n-1)-2=40\Rightarrow n(n-1)=42\Rightarrow n=7$ (nhận, $n>0$). Tổng số người là $7+2=9$, mỗi cặp chơi 2 ván nên tổng số ván là $2C_9^2=2\cdot 36=72$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (72).

(AI giải đề cho tôi)
a) Chọn mỗi loại một quyển: $10\cdot 8\cdot 6=480$ cách, không phải 3 → Sai. b) Chọn 3 quyển Toán từ 10: $C_{10}^3=120$ → Đúng. c) Chọn 3 quyển từ 24 quyển để tặng 3 em học sinh (phân biệt): $A_{24}^3=24\cdot 23\cdot 22=12144$ cách, không phải 2030 → Sai. d) Chọn 4 quyển có đủ cả ba loại, tức một loại có 2 quyển: 2 Toán + 1 Anh + 1 Lý: $C_{10}^2\cdot 8\cdot 6=2160$; 1 Toán + 2 Anh + 1 Lý: $10\cdot C_8^2\cdot 6=1680$; 1 Toán + 1 Anh + 2 Lý: $10\cdot 8\cdot C_6^2=1200$. Tổng: $2160+1680+1200=5040$ → Đúng. Khớp với đáp án nguồn S–Đ–S–Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn mỗi loại một quyển: $10\cdot 8\cdot 6=480$ cách, không phải 3 cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 quyển Toán từ 10 quyển: $C_{10}^3=120$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 quyển từ 24 quyển tặng 3 em học sinh (mỗi em một quyển, phân biệt): $A_{24}^3=24\cdot 23\cdot 22=12144$ cách, không phải 2030.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đủ cả ba loại nghĩa là một loại có 2 quyển: $C_{10}^2\cdot 8\cdot 6+10\cdot C_8^2\cdot 6+10\cdot 8\cdot C_6^2=2160+1680+1200=5040$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số vận động viên nam là $n$. Số ván các nam chơi với nhau: mỗi cặp chơi 2 ván nên là $2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=n(n-1)$. Số ván hai nữ chơi với nhau là $2$ ván. Theo đề: $n(n-1)-2=40\Rightarrow n(n-1)=42\Rightarrow n=7$ (vì $7\cdot 6=42$). Tổng số vận động viên là $9$, mỗi cặp chơi 2 ván nên tổng số ván là $2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)=2\cdot 36=72$. Khớp với đáp án nguồn 72.

(AI giải đề cho tôi)
a) Chọn 1 nam trong 6 và 1 nữ trong 6: có $6\cdot 6=36$ cách, không phải 12 → Sai. b) Xếp 12 học sinh phân biệt vào một hàng dọc: $12!$ cách → Đúng. c) Xếp xen kẽ nam nữ (6 nam, 6 nữ): có $2\cdot 6!\cdot 6!=2\cdot 720\cdot 720=1036800$ cách, không phải 518400 → Sai. d) Tổng số cách xếp hàng ngang là $12!$; số cách Hoa và Hùng đứng cạnh nhau là $2\cdot 11!$ (coi hai bạn là một khối). Vậy số cách không cạnh nhau: $12!-2\cdot 11!=12\cdot 11!-2\cdot 11!=10\cdot 11!$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn một cặp nam nữ là $6\cdot 6=36$, không phải 12.
b) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 12 học sinh phân biệt vào hàng dọc: $12!$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xếp xen kẽ nam nữ: $2\cdot 6!\cdot 6!=1036800$ cách, không phải 518400.
d) (AI giải đề cho tôi)
$12!-2\cdot 11!=10\cdot 11!$ cách để Hoa và Hùng không đứng cạnh nhau.

a) Mỗi số lập được là một chỉnh hợp chập 4 của 9 phần tử => Số các số lập được là: $A_9^4=3024$.
b) Giả sử số cần lập có dạng $x=\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7}$. Ta coi vai trò chữ số 0 như các chữ số còn lại (tức là chữ số 0 có thể đứng đầu). [Hình cần kiểm tra lại: p3_f1]
Có 5 cách chọn bộ 3 vị trí liền kề.
Khi đó có 2 cách xếp bộ 3 chữ số để chữ số 2 liền giữa chữ số 1 và chữ số 3 là 123 và 321.
Còn $A_7^4$ cách sắp xếp 4 chữ số được chọn từ tập $\{0,4,5,6,7,8,9\}$ để xếp vào 4 vị trí còn lại.
Theo quy tắc nhân trường hợp này có $\mathrm{5.2.}{A}_7^4$ (số).
Ta xét trong các số vừa lập ở trên mà có chữ số 0 đứng đầu:
Có 4 cách chọn bộ 3 vị trí liền kề.
Khi đó có 2 cách xếp bộ 3 chữ số để chữ số 2 liền giữa chữ số 1 và chữ số 3 là 123 và 321.
Còn $A_6^3$ cách sắp xếp 3 chữ số được chọn từ tập hợp $\{4,5,6,7,8,9\}$ để xếp vào 3 vị trí còn lại.
Do vậy có $\mathrm{4.2.}{A}_6^3$ (số). Vậy số các số tự nhiên thoả mãn bài ra là $\mathrm{5.2.}{A}_7^4-\mathrm{4.2.}{A}_6^3=7440$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Xếp 6 nam: $6!=720$ cách, tạo 7 khoảng trống, chọn 4 chèn 4 nữ: $C_7^4\cdot 4!=35\cdot 24=840$. Tổng: $720\cdot 840=604800$ cách → đúng. b) Chọn 3 từ 10 (không thứ tự): $C_{10}^3=120$, không phải 720 → sai. c) $C_{10}^3-C_6^3=120-20=100$ → đúng. d) Chọn 1 từ 10: 10 cách → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 6 nam: $6!=720$ cách; có 7 khoảng trống, chọn 4 chỗ cho 4 nữ: $C_7^4\cdot 4!=840$ cách. Tổng $720\times 840=604800$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 học sinh từ 10 (không xét thứ tự): $C_{10}^3=120$ cách, không phải 720.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng cách chọn 3 từ 10 là $C_{10}^3=120$; cách không có nữ là $C_6^3=20$. Vậy ít nhất 1 nữ: $120-20=100$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 học sinh làm nhóm trưởng từ 10 học sinh: có 10 cách.

(AI giải đề cho tôi)
Lưới $4\times 6$ có 6 cột và 4 hàng ô; A ở đỉnh trên trái, B ở đỉnh dưới phải. Thiết lập tọa độ: $A(0;4)$, $B(6;0)$. Khoảng cách Manhattan từ A đến B là $6+4=10$, đúng bằng số lần di chuyển cho phép. Do đó kiến không thể đi lùi (trái hoặc lên) vì mỗi bước lùi sẽ cần thêm một bước tiến bù, vượt quá 10 bước. Vậy mỗi hành trình gồm đúng 6 bước sang phải và 4 bước xuống dưới, theo thứ tự tùy ý. Số cách $=C(10,4)=C(10,6)=210$.