Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục Ox là $V=\pi {\int }_1^4{y}^2\mathrm{d}x=\pi {\int }_1^4\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x=\frac{3\pi }{4}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành và hai đường $x=a,x=b$ quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$. Đây là công thức chuẩn trong SGK Toán 12. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, trục $Ox$, $x=a$, $x=b$ khi quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$ (vì $f^2(x)=|f(x){|}^2$ nên không cần dấu giá trị). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường $y=x^2$ và $y=2x$ cắt nhau khi $x^2=2x\iff x=0$ hoặc $x=2$. Trên đoạn $[0;2]$ ta có $2x\ge x^2$ (ví dụ tại $x=1$: $2>1$). Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi hai đường này khi quay quanh trục $Ox$ là $$V=\pi {\int }_0^2\left[(2x{)}^2-(x^2{)}^2\right]\mathrm{d}x=\pi {\int }_0^2\left(4x^2-x^4\right)\mathrm{d}x.$$ Do đó đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 18: Hình phẳng giới hạn bởi y=√x, y=0, x=4.
a) S = ∫₀⁴√x dx = (2/3)x^{3/2}|₀⁴ = 16/3 → đúng.
b) Công thức thể tích quay quanh Ox là V = π∫₀⁴(√x)² dx, phát biểu thiếu hệ số π → sai.
c) V = π∫₀⁴ x dx = π·x²/2|₀⁴ = 8π → đúng.
d) Tam giác OMH với O(0,0), M(a,√a), H(4,0). Quay quanh Ox tạo thành hai nón: nón đỉnh O chiều cao a bán kính √a và nón đỉnh H chiều cao 4−a bán kính √a. V₁ = (1/3)π·a·a + (1/3)π·(4−a)·a = (πa/3)(a+4−a) = 4πa/3. Điều kiện V = 2V₁: 8π = 8πa/3 → a = 3 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀⁴√x dx = (2/3)·4^{3/2} = 16/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là V = π∫₀⁴(√x)² dx; phát biểu thiếu hệ số π.
c) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫₀⁴ x dx = 8π.
d) (AI giải đề cho tôi)
V₁ = (1/3)πa² + (1/3)π(4−a)·√a·√a... = 4πa/3; V = 2V₁ ⇒ 8π = 8πa/3 ⇒ a = 3.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi trục $Oy$ dọc theo trục thùng, $y=0$ ở đáy, $y=60$ ở miệng (cm). Bán kính mặt cắt ngang tại độ cao $y$ là $r(y)$, với $r(0)=r(60)=15$ (đường kính đáy 30 cm) và $r(30)=20$ (đường kính lớn nhất 40 cm, đạt ở giữa thùng vì cạnh bên là parabol đối xứng).

Viết $r(y)=20-a(y-30{)}^2$. Từ $r(0)=15$: $15=20-a\cdot 900\Rightarrow a=\frac{1}{180}$. Vậy $r(y)=20-\frac{(y-30{)}^2}{180}$.

Thể tích thùng:
$$V=\pi {\int }_0^{60}r(y{)}^{2}dy=\pi {\int }_{-30}^{30}{\left(20-\frac{t^2}{180}\right)}^{2}dt(t=y-30).$$
Do hàm chẵn:
$$V=2\pi {\int }_0^{30}\left(400-\frac{2}{9}{t}^2+\frac{t^4}{32400}\right)dt=2\pi {\left[400t-\frac{2t^3}{27}+\frac{t^5}{162000}\right]}_0^{30}.$$
Tính: $400\cdot 30=12000$; $\frac{2\cdot 27000}{27}=2000$; $\frac{24300000}{162000}=150$. Tổng: $12000-2000+150=10150$.
$$V=2\pi \cdot 10150=20300\pi \approx 63774.3{\text{ cm}}^3\approx 63.8\text{ lıˊt}.$$

Vậy thể tích thùng Bia hơi là $V=20300\pi \approx 63774.3{\text{cm}}^3$ (khoảng $63.8$ lít).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)$, trục $Ox$, $x=a$, $x=b$ $(a<b)$ quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2(x)\mathrm{d}x$. Do đó đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường $y=x^2$ và $y=2x$ cắt nhau tại $x^2=2x\iff x=0$ hoặc $x=2$. Trên $(0;2)$ thì $2x\ge x^2$, nên thể tích quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_0^2\left[(2x{)}^2-(x^2{)}^2\right]\mathrm{d}x=\pi {\int }_0^2(4x^2-x^4)\mathrm{d}x$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 18: Hình phẳng giới hạn bởi y=√x, y=0, x=4.
a) S = ∫₀⁴ √x dx = (2/3)x^{3/2}|₀⁴ = (2/3)·8 = 16/3 → đúng.
b) Công thức thể tích quay quanh Ox là V = π∫₀⁴(√x)² dx, đề thiếu hệ số π → sai.
c) V = π∫₀⁴ x dx = π·(x²/2)|₀⁴ = 8π → đúng.
d) Tam giác OMH với O(0,0), M(a,√a), H(4,0), K(a,0). Quay tam giác quanh Ox tạo thành hai nón: nón đỉnh O bán kính √a chiều cao a và nón đỉnh H bán kính √a chiều cao 4−a. V₁ = (1/3)πa·√a² + (1/3)π(4−a)·√a² = (πa/3)(a+4−a) = 4πa/3. Với V = 2V₁: 8π = 8πa/3 → a = 3 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀⁴√x dx = (2/3)x^{3/2}|₀⁴ = 16/3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thiếu hệ số π: công thức đúng là V = π∫₀⁴(√x)² dx.
c) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫₀⁴ x dx = 8π.
d) (AI giải đề cho tôi)
V₁ = (1/3)πa·a + (1/3)π(4−a)·a = 4πa/3; V = 2V₁ ⇒ 8π = 8πa/3 ⇒ a = 3.

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng giới hạn bởi $y=x^2+3x$, trục hoành, trục tung và $x=-2$ nằm trên đoạn $x\in [-2;0]$ (với $-2\le x\le 0$ thì $y\le 0$). Thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành: $$V=\pi {\int }_{-2}^0(x^2+3x{)}^{2}dx=\pi {\int }_{-2}^0(x^4+6x^3+9x^2)dx$$ $$=\pi {\left[\frac{x^5}{5}+\frac{3x^4}{2}+3x^3\right]}_{-2}^0=\pi \left(0-\left(-\frac{32}{5}+24-24\right)\right)=\frac{32\pi }{5}.$$ Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox: $V=\pi {\int }_0^3{\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)}^{2}dx=\pi {\int }_0^3\left(\frac{x^6}{9}-\frac{2x^5}{3}+x^4\right)dx=\pi \left(\frac{x^7}{63}-\frac{x^6}{9}+\frac{x^5}{5}\right){|}_0^3=\pi \left(\frac{243}{7}-81+\frac{243}{5}\right)=\pi \cdot \frac{1215-2835+1701}{35}=\frac{81\pi }{35}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng (D) giới hạn bởi $y=x^2-4x+4=(x-2{)}^2$, $y=0$, $x=0$. Parabol tiếp xúc trục hoành tại $x=2$, và với $x\in [0;2]$ thì $(x-2{)}^2\ge 0$, nên hình phẳng nằm trên đoạn $0\le x\le 2$ (giới hạn bởi $x=0$ và điểm tiếp xúc $x=2$). Thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox: $$V=\pi {\int }_0^2(x-2{)}^{4}dx=\pi {\left[\frac{(x-2{)}^5}{5}\right]}_0^2=\pi \left(0-\frac{-32}{5}\right)=\frac{32\pi }{5}.$$ Phân số $\frac{32}{5}$ tối giản nên $M=32$, $N=5$, suy ra $M+N=37$. Kết quả trùng với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết diện tại hoành độ x là hình vuông cạnh $a(x)=2\sqrt{9-x^2}$, nên diện tích thiết diện là $S(x)=a(x{)}^2=4(9-x^2)$. Thể tích: $$V={\int }_0^{3}4(9-x^2)dx=4{\left[9x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^3=4(27-9)=72.$$ Vậy $V=72$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng D quanh trục Ox là $V=\pi {\int }_0^1(e^{3x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1{e}^{6x}dx$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\sqrt{4x-x^2}$ xác định khi $4x-x^2\ge 0\iff 0\le x\le 4$. Đây là nửa đường tròn trên: $(x-2{)}^2+y^2=4$ với $y\ge 0$, bán kính $R=2$, tâm $(2;0)$. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình $(H)$ quanh $Ox$ là $$V=\pi {\int }_0^4(4x-x^2)dx=\pi {\left[2x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^4=\pi \left(32-\frac{64}{3}\right)=\frac{32\pi }{3}.$$ (Cũng đúng bằng thể tích cầu bán kính 2: $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{32\pi }{3}$.) Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Chiều cao phần trong: 112 − 2·3 (hai đế) − 2·3 (hai lớp gỗ) = 100 cm, nên nửa chiều cao là 50 cm. Bán kính trong: hai đầu 33 − 3 = 30 cm, chính giữa 43 − 3 = 40 cm. Parabol y = ax² + bx + c với y(±50) = 30, y(0) = 40 ⇒ c = 40, a = −1/250, b = 0, tức y = 40 − x²/250. Thể tích rượu: V = π∫_{−50}^{50} (40 − x²/250)² dx = 2π∫₀^{50} (1600 − (4/25)x² + x⁴/62500) dx = 2π(80000 − 20000/3 + 1000) = 2π·(223000/3) = 446000π/3 ≈ 467050,7 cm³ ≈ 467,01 lít.

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng giới hạn bởi $y=\sqrt{1-x^2}$ và $y=0$ là nửa đường tròn bán kính $1$ với $-1\le x\le 1$. Thể tích khối tròn xoay quanh trục $Ox$: $V=\pi {\int }_{-1}^1(1-x^2)dx=\pi {\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=\pi \left(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\right)=\frac{4\pi }{3}$. (Đây chính là thể tích hình cầu bán kính $1$.) Vậy đáp án B.

Lời giải — Đáp án: 8976.



Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.



Gọi $L(x)$ là hàm biến thiên của độ dài đường chéo mặt cắt của toà nhà tại độ cao $x$.
Theo đề ta có, $L(x)$ là một parabol đi qua ba điểm
$$\left(0;13\sqrt{2}\right),\left(30;10\sqrt{2}\right),\left(x_o;\frac{55\sqrt{2}}{8}\right),$$ trong đó $x_o$ là vị trí toà nhà có cạnh $L_{min}=13,75$ m.
$$L(x)=a{\left(x-x_o\right)}^2+\frac{55\sqrt{2}}{8}.$$
Ta có hệ: $\{\begin{array}{l}L(0)=a(0-x_o{)}^2+\frac{55\sqrt{2}}{8}=13\sqrt{2}\\ L(30)=a(30-x_o{)}^2+\frac{55\sqrt{2}}{8}=10\sqrt{2}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a(x_o{)}^2=\frac{49\sqrt{2}}{8}\\ a(30-x_o{)}^2=\frac{25\sqrt{2}}{8}\end{array}$
$\Rightarrow \frac{x_o^2}{(30-x_o{)}^2}=\frac{49}{25}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_o=105(L)\\ x_o=17,5(TM)\end{array}\Rightarrow a=\frac{\sqrt{2}}{50}$
Suy ra $L(x)=\frac{\sqrt{2}}{50}(x-17,5{)}^2+\frac{55\sqrt{2}}{8}$
Do đó, diện tích thiết diện là $S(x)=2{\left[L(x)\right]}^2=2{\left[\frac{\sqrt{2}}{50}(x-17,5{)}^2+\frac{55\sqrt{2}}{8}\right]}^2$.
Vậy thể tích của toà nhà là
$V={\int }_0^{30}S(x)dx={\int }_0^{30}2{\left[\frac{\sqrt{2}}{50}(x-17,5{)}^2+\frac{55\sqrt{2}}{8}\right]}^{2}dx\approx 8976m^3$.
(Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tương ứng)

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox: $V=\pi {\int }_1^2{y}^2\mathrm{d}x=\pi {\int }_1^2(\sqrt{x}{)}^2\mathrm{d}x=\pi {\int }_1^{2}x\mathrm{d}x$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (bảng đáp án trang 5, cột mã đề 1005, câu 10: A).

Đáp số: 415. Thể tích nước chứa được là phần khối cầu nằm giữa hai mặt phẳng cách tâm $3(\mathrm{dm})$: $V={\int }_{-3}^3\pi \left(25-x^2\right)\mathrm{d}x=\pi {\left[25x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-3}^3=132\pi \approx 414,7\approx 415({\mathrm{dm}}^3)$. Bảng đáp án trang 5: mỗi cột mã đề (1001–1007) đều chứa cùng sáu giá trị tự luận 8400; 7; 415; 79; -5; -4,5 nhưng theo thứ tự khác nhau (đáp án tự luận được xáo trộn theo mã đề), nên hàng 17–22 không ánh xạ trực tiếp theo số thứ tự Câu 1–6. Trang đề (trang 4) ghi Mã đề 1001; trong cột 1001, giá trị 415 xuất hiện ở hàng 19 và là giá trị duy nhất phù hợp với bài toán thể tích khối cầu này (132π ≈ 414,7 ≈ 415), đồng thời khớp kết quả tính trực tiếp. Giá trị -5 ở hàng 21 cột 1001 là đáp án của một câu tự luận khác (xuất hiện do xáo trộn), không phải của bài toán này.