Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay (Toán học Lớp 12)

Một chiếc cúp lưu niệm (tham khảo hình vẽ) là một khối gồm 3 phần đế, thân và đỉnh. Phần đế là khối chóp cụt lục giác đều có cạnh đáy lớn và cạnh đáy nhỏ lần lượt là $8cm$ và $6cm$, chiều cao của đế là $5cm$. Phần thân được tạo thành khi đường sinh là một phần parabol quay quanh trục. Phần thân có đáy nhỏ là đường tròn có bán kính là $3cm$ còn đáy lớn là đường tròn có bán kính là $6cm$, chiều cao của phần thân là $25cm$, đáy nhỏ của phần thân nằm trên đáy nhỏ của phần đế. Phần đỉnh là một phần khối cầu có chiều cao bằng 60\% đường kính của khối cầu và mặt đáy lớn của phần thân có biên là một đường tròn nằm trên khối cầu này. Hai phần thân và đỉnh là khối tròn xoay có trục là đường thẳng $d$ vuông góc với mặt đáy của phần đế tại tâm của mặt đáy đó. Tính thể tích của chiếc cúp lưu niệm trên biết nó là khối đặc (tính theo $c{m}^3$ làm tròn đến hàng đơn vị).

Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 8 cm, chiều cao trong lòng cốc là 14 cm đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc bằng bao nhiêu cm${}^3$, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

1. Một hộp trang trí dạng hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 40 cm. Trong hộp có một quả cầu pha lê lớn được đặt vừa khít vào hộp sao cho quả cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp. Từ vị trí tâm $O$ của đáy hình chóp, có một sợi dây dùng để treo một quả cầu nhỏ, bên trong quả cầu đó chứa những lời chúc tốt đẹp. Hộp quà được treo cân bằng trong căn phòng sao cho đỉnh hình chóp ở vị trí cao nhất và đáy hình chóp song song với mặt đất. Khi đó tâm của quả cầu pha lê và quả cầu nhỏ đối xứng nhau qua $O$ và đồng thời tâm quả cầu nhỏ cách đều tất cả các cạnh hình chóp. Người ta đổ epoxy resin (một loại keo tổng hợp trong suốt dùng trong thủ công mỹ nghệ) vào đáy hộp để trang trí. Tính thể tích phần keo cần đổ, theo đơn vị lít.



2. Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà có dạng hình chóp cụt cong tam giác đều. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình tam giác đều (xem hình vẽ). Mặt đáy tòa nhà là hình tam giác đều có cạnh $L_b=30$ m, mặt đỉnh là hình tam giác đều có cạnh $L_t=21$ m. Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà là hình tam giác có cạnh $L_{\min }=18$ m. Tòa nhà cao 30 m và các cạnh bên $c_1,c_2,c_3$ của tòa nhà nằm trên các đường parabol có trục đối xứng là trục của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính: mét khối).

Cho hình chữ nhật $OABC$ có chu vi bằng 12 được chia thành hai phần bởi parabol $(P)$ có đỉnh tại $O$ và đi qua $B$. Gọi $\Im$ là khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (phần tô đậm) xung quanh trục $Ox$ (Hình vẽ bên). Tìm thể tích lớn nhất của khối tròn xoay $\Im$.

Tìm thể tích phần giao nhau của khối nón $(N)$ và khối trụ $(T)$ biết rằng chúng có cùng chiều cao 4 dm, hai đường tròn đáy đồng phẳng và có bán kính cùng bằng 2 dm, đồng thời trục của hình nón là một đường sinh của hình trụ (tham khảo hình vẽ). Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm. [Hình cần kiểm tra lại: p6_f2]

Cận kề ngày Tết Nguyên Đán. Bác Nghĩa muốn thiết kế một đèn lồng cao $40cm$ để treo lên ở hiên nhà. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao vuông góc với trục thẳng đứng của đèn lồng luôn là một hình vuông (xem hình vẽ). Mặt đáy và đỉnh của đèn lồng là hình vuông có cạnh $L_0=10\sqrt{2}(cm)$. Mặt cắt ngang tại vị trí rộng nhất của của đèn lồng là hình vuông (hình vuông có diện tích lớn nhất) có cạnh $L_{max}=14\sqrt{2}(cm)$. Mặt cắt của đèn lồng theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của đèn lồng. Một đường cong Parabol $y=f(x)$ trong bốn đường cong để tạo ra khung đèn lồng được gắn trong hệ trục $Oxy$ với trục $Ox$ biểu diễn chiều cao của chiếc đèn lồng (đơn vị mỗi trục là $1cm$)

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn các điều kiện $f(0)=-2$, $\left(x^2+1\right)f^{\prime }(x)+xf(x)=-x,\forall x\in \mathbb{R}$. Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $g(x)=\frac{1}{1+f(x)}$, hai trục tọa độ và đường thẳng $x=3$. Quay $(H)$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích bằng $V$ (đơn vị thể tích). Tính $V$. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Cho một vật thể có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính cùng bằng $R$. Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một đáy của khối gỗ và tạo với đáy của khối gỗ đó một góc $30^{\circ }$ ta thu được hai khối gỗ có thể tích là $V_1,V_2$ với $V_1<V_2$. Gắn khối gỗ có dạng hình nêm vào hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau



a) Nửa đường tròn đường kính $AB$ có phương trình là $y=\sqrt{R^2-x^2}$ với $-R\le x\le R$.
b) $MN=\sqrt{R^2-x^2}$.
c) Diện tích tam giác $MNP$ bằng $\frac{R^2-x^2}{2\sqrt{3}}$.
d) $V_1=\frac{\sqrt{3}{R}^3}{9}$.

Một cái trống trượng có bán kính các đáy là 20 (cm), thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy là một hình tròn có diện tích là $900\pi$ (cm²), chiều dài của trống là 1 (m). Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt phẳng xung quanh của trống là các đường parabol. Thể tích của cái trống bằng bao nhiêu mét khối (kết quả cuối cùng làm tròn đến hàng phần trăm)?

Cho hình phẳng $(D)$ được giới hạn bởi các đường $y=x^2+2x+2$; $y=6-x$; $y=2$ và $(D)$ nằm ngoài Parabol $y=x^2+2x+2$ như hình vẽ. Khi cho $(D)$ quay quanh trục $Ox$, ta nhận được vật thể tròn xoay có thể tích $V=\frac{a\pi }{b}$, trong đó $a,b$ là các số nguyên dương, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $P=a-b^2$ bằng bao nhiêu.

Một thùng đựng Bia hơi (có dạng như hình vẽ) có đường kính đáy là 30 cm, đường kính lớn nhất của thân thùng là 40 cm, chiều cao thùng là 60 cm, cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol. Tính thể tích của thùng Bia hơi. (làm tròn đến hàng phần chục).

Một thùng rượu vang có dạng khối tròn xoay với bán kính mặt đáy và mặt ở trên là 33 cm, bán kính mặt cắt ở chính giữa thùng là 43 cm. Chiều cao của thùng rượu là 112 cm, bao gồm phần thân thùng rượu, hai đế đỡ thùng rượu (mỗi đế cao 3 cm) và thùng rượu được ghép từ các thanh gỗ sồi với độ dày mỗi thanh gỗ là 3 cm. Phần bên trong thùng rượu có dạng một khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của parabol $(P):y=a{x}^2+bx+c$ quanh trục hoành.
[Hình cần kiểm tra lại: p7_f1]
Thùng rượu vang đó chứa được tối đa bao nhiêu lít rượu (làm tròn kết quả đến hàng phần

Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà cao 30 mét. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình vuông (xem hình vẽ).



Mặt đáy tòa nhà là hình vuông có cạnh $L_0=26$ m, mặt đỉnh là hình vuông có cạnh $L_{30}=20$ m. Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà: Hình vuông có cạnh $L_{min}=13,75$ m. Mặt cắt của tòa nhà theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính: mét khối).

Trường THPT X có một cái trống trường có bán kính các đáy là $40(cm)$, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có diện tích là $2500\pi \left(c{m}^2\right)$, chiều dài của trống là $1(m)$. Biết rằng mặt phẳng chứa trục $MN$ cắt mặt xung quanh của trống theo giao tuyến là các đường Parabol. Hỏi thể tích của cái trống là bao nhiêu $d{m}^3$? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trường THPT X có một cái trống trường có bán kính các đáy là $30(cm)$, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có diện tích là $1600\pi \left(c{m}^2\right)$, chiều dài của trống là $1(m)$. Biết rằng mặt phẳng chứa trục $MN$ cắt mặt xung quanh của trống theo giao tuyến là các đường Parabol. Hỏi thể tích của cái trống là bao nhiêu $d{m}^3$? (làm tròn đến hàng đơn vị).

[Hình cần kiểm tra lại: p3_f1]

Một hợp tác xã nông nghiệp tại phường Kon Tum đang đóng gói một loại dưa hấu để xuất khẩu. Qua khảo sát, các quả dưa hấu trong lô hàng đều có hình dạng được mô phỏng là một khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi đường Parabol (P) với trục hoành, quay quanh trục hoành; cho biết (P) có đỉnh thuộc trục tung. Biết rằng mỗi quả dưa có chiều dài là 40cm và đường kính lớn nhất của thiết diện khối tròn xoay vuông góc với trục hoành là 30cm (tham khảo hình vẽ). Biết khối lượng riêng của dưa hấu là D= 1g/cm³ và đơn vị vận chuyển báo giá cước là 1000 đồng một kg. Hỏi nếu hợp tác xã vận chuyển 1000 quả dưa như trên thì tổng chi phí vận chuyển là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? [Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bên bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy $x$ (cm) $(0\le x\le 16)$ thì mặt cắt là hình tròn có bán kính $\left(10+\sqrt{x}\right)$ (cm). Tìm $x$ (đơn vị cm, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để dung tích nước trong chậu bằng nửa thể tích của chậu?

Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm 2015. Nền sân là một elip $(E)$ có trục lớn dài $150m$, trục bé dài $90m$ (hình vẽ). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của $(E)$ và cắt elip ở $M,N$ (hình vẽ) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm $I$ (phần tô đậm trong hình 4) với $MN$ là một dây cung và góc $\widehat{MIN}=90^{\circ }$. Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Biết rằng cách tính công suất cần đủ là $200BTU/m^3$. Hỏi cần bao nhiêu chiếc điều hòa công suất 50000 BTU?

Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm 2015. Nền sân là một elip $(E)$ có trục lớn dài $150m$, trục bé dài $90m$ (hình vẽ). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của $(E)$ và cắt elip ở $M,N$ (hình vẽ) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm $I$ (phần tô đậm trong hình 4) với $MN$ là một dây cung và góc $\widehat{MIN}=90^{\circ }$. Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Biết rằng cách tính công suất cần đủ là $200BTU/m^3$. Hỏi cần bao nhiêu chiếc điều hòa công suất 50000 BTU?

Một xưởng thủy tinh mỹ nghệ cần sản xuất những chiếc bình thủy tinh cỡ lớn để ngâm một loại sâm. Chiếc bình được tạo hình bằng cách quay hình phẳng $(H)$ (phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục $AB$. Hình $(H)$ nằm trong hình chữ nhật $ABCD$, giới hạn bởi các đoạn thẳng $AM,BP$ (với $M,P$ lần lượt thuộc các cạnh $AD,BC$, $MP\parallel AB$), cung tròn $MN$ (có tâm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AE$ nằm trên trục $AB$) và cung parabol $NP$. Biết: $AB=5$ dm, $AM=1,5$ dm, $BP=1,5$ dm, $BE=1$ dm. Tiếp tuyến của cung tròn và cung parabol tại điểm tiếp giáp $N$ là trùng nhau để đảm bảo thành bình mượt mà, chịu lực tốt và đảm bảo tính thẩm mỹ. Giả sử bề dày của thành thủy tinh không đáng kể. Hỏi chiếc bình ngâm sâm này có sức chứa tối đa khoảng bao nhiêu lít nước? *(Kết quả làm tròn đến hàng phần chục)*.