Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hình (H) giới hạn bởi parabol $y=(x-2{)}^2\ge 0$, trục tung, trục hoành và đường thẳng $x=3$, nên (H) nằm giữa $x=0$ và $x=3$, phía trên trục hoành. Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục $Ox$ là $$V=\pi {\int }_0^3(x-2{)}^{4}dx=\pi {\frac{(x-2{)}^5}{5}|}_0^3=\pi \left(\frac{1}{5}+\frac{32}{5}\right)=\frac{33\pi }{5}.$$ Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng giới hạn bởi $y=x^3$, $y=-x+2$, $y=0$ có ba đỉnh: $(0;0)$ (giao của $y=x^3$ và $y=0$), $(2;0)$ (giao của $y=-x+2$ và $y=0$), và $(1;1)$ (giao của $y=x^3$ và $y=-x+2$ vì $x^3=-x+2\iff x^3+x-2=0\iff x=1$). Trên $[0;1]$ biên trên là $y=x^3$, trên $[1;2]$ biên trên là $y=-x+2$. Thể tích: $$V=\pi \left({\int }_0^1{x}^{6}dx+{\int }_1^2(2-x{)}^{2}dx\right)=\pi \left(\frac{1}{7}+\frac{1}{3}\right)=\frac{10\pi }{21}\approx 1,496\approx 1,5.$$

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{\ln x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=4$. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay (H) quanh trục hoành là $$V=\pi {\int }_1^4(\sqrt{\ln x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_1^4\ln xdx.$$ Tính nguyên hàm: $\int \ln xdx=x\ln x-x$ (tích phân từng phần: $u=\ln x,dv=dx$). Do đó $${\int }_1^4\ln xdx={\left[x\ln x-x\right]}_1^4=(4\ln 4-4)-(0-1)=8\ln 2-3.$$ Vậy $$V=\pi (8\ln 2-3)\approx \pi \cdot 5,5452\approx 17,42.$$ Kiểm tra: $\ln 2\approx 0,6931$, $8\ln 2\approx 5,5452$, trừ 3 được $5,5452$, nhân $\pi \approx 3,14159$ được $\approx 17,4$. Đáp số (làm tròn đến hàng phần chục): $V\approx 17,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cắt là tam giác vuông có một góc $45^0$ nên là tam giác vuông cân, hai cạnh góc vuông đều bằng $\sqrt{4-\frac{x^2}{2}}$. Diện tích mặt cắt: $S(x)=\frac{1}{2}\left(4-\frac{x^2}{2}\right)=2-\frac{x^2}{4}$. Thể tích: $V={\int }_1^3\left(2-\frac{x^2}{4}\right)dx={\left[2x-\frac{x^3}{12}\right]}_1^3=\left(6-\frac{27}{12}\right)-\left(2-\frac{1}{12}\right)=\frac{15}{4}-\frac{23}{12}=\frac{45-23}{12}=\frac{22}{12}=\frac{11}{6}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết diện là hình vuông cạnh $2\sqrt{1-x^2}$ nên diện tích mặt cắt là $S(x)={\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2=4(1-x^2)$, liên tục trên $[-1;1]$.
a) Đúng: $S(x)=4(1-x^2)$ là đa thức nên liên tục trên $[-1;1]$.
b) Sai: Công thức thể tích theo diện tích thiết diện vuông góc trục $Ox$ là $V={\int }_{-1}^{1}S(x)dx$, không có hệ số $\pi$ (hệ số $\pi$ chỉ xuất hiện khi quay quanh trục).
c) Sai: $S(x)=4(1-x^2)$, không phải $2(1-x^2)$.
d) Đúng: $V={\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)dx=4{\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=4\left(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\right)=\frac{16}{3}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S(x)=4(1-x^2)$ là hàm đa thức nên liên tục trên $[-1;1]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $V={\int }_{-1}^{1}S(x)dx$, không có hệ số $\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S(x)={\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2=4(1-x^2)$, không phải $2(1-x^2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V={\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)dx=\frac{16}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $S={\int }_0^4\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}{x}^{3/2}{|}_0^4=\frac{16}{3}$ → đúng.
b) Công thức đúng phải là $V=\pi {\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^{2}dx$; phát biểu thiếu hệ số $\pi$ → sai.
c) $V=\pi {\int }_0^{4}xdx=\pi \cdot 8=8\pi$ → đúng.
d) Tam giác $OMH$ với $O(0;0)$, $M(a;\sqrt{a})$, $H(4;0)$ quay quanh $Ox$ tạo thành hai nón: đoạn $OM$ cho nón bán kính $\sqrt{a}$, chiều cao $a$: thể tích $\frac{\pi a^2}{3}$; đoạn $MH$ cho nón bán kính $\sqrt{a}$, chiều cao $4-a$: thể tích $\frac{\pi a(4-a)}{3}$. Vậy $V_1=\frac{\pi a^2}{3}+\frac{\pi a(4-a)}{3}=\frac{4\pi a}{3}$. Điều kiện $V=2V_1$: $8\pi =\frac{8\pi a}{3}\Rightarrow a=3$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_0^4\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $V=\pi {\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^{2}dx$; phát biểu thiếu hệ số $\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^{4}xdx=8\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V_1=\frac{\pi a^2}{3}+\frac{\pi a(4-a)}{3}=\frac{4\pi a}{3}$; $V=2V_1\Rightarrow 8\pi =\frac{8\pi a}{3}\Rightarrow a=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $(C_1):y=x^2-4x+4=(x-2{)}^2$ và $(C_2):y=4x-12$.

a) Tại $x=4$: $(C_1)$ cho $y=(4-2{)}^2=4$; $(C_2)$ cho $y=4\cdot 4-12=4$. Vậy cả hai đường đều đi qua $M(4;4)$ → Đúng.

Phương trình hoành độ giao điểm: $(x-2{)}^2=4x-12\iff x^2-8x+16=0\iff (x-4{)}^2=0\iff x=4$ (nghiệm kép). Hai đường tiếp xúc tại $x=4$, với $x<4$ ta có $(x-2{)}^2>(4x-12)$ vì $x^2-8x+16=(x-4{)}^2>0$, tức $(C_1)$ luôn nằm trên $(C_2)$ và chúng không bao giờ cắt nhau khác tại điểm tiếp xúc. Hình $(H)$ thực chất được giới hạn bởi $(C_1)$, $(C_2)$ và trục $Ox$ (đường $(C_2)$ cắt $Ox$ tại $x=3$, đỉnh parabol $(C_1)$ là điểm $(2;0)$).

b) Diện tích thực tế của $(H)$ là $S=\underset{2}{\overset{3}{\int }}(x-2{)}^{2}dx+\underset{3}{\overset{4}{\int }}\left[(x-2{)}^2-(4x-12)\right]dx=\frac{1}{3}+\underset{3}{\overset{4}{\int }}(x-4{)}^{2}dx=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$. Công thức $S=\underset{3}{\overset{4}{\int }}|x^2-8x+16|dx=\frac{1}{3}$ chỉ tính phần từ $x=3$ đến $x=4$, thiếu phần từ $x=2$ đến $x=3$ → Sai.

c) Khi quay $(H)$ quanh $Ox$: khối tròn xoay sinh bởi $(C_1)$ trên $[2;4]$ có thể tích $\pi \underset{2}{\overset{4}{\int }}(x^2-4x+4{)}^{2}dx$, trừ đi khối tròn xoay sinh bởi $(C_2)$ trên $[3;4]$: $\pi \underset{3}{\overset{4}{\int }}(4x-12{)}^{2}dx$. Công thức đúng → Đúng.

c) Tính cụ thể: $\pi \underset{2}{\overset{4}{\int }}(x-2{)}^{4}dx=\pi \cdot \frac{(x-2{)}^5}{5}{|}_2^4=\frac{32\pi }{5}$; $\pi \underset{3}{\overset{4}{\int }}(4x-12{)}^{2}dx=16\pi \underset{3}{\overset{4}{\int }}(x-3{)}^{2}dx=\frac{16\pi }{3}$. Vậy $V=\frac{32\pi }{5}-\frac{16\pi }{3}=\frac{96\pi -80\pi }{15}=\frac{16\pi }{15}$.

d) $V=\frac{16}{15}\pi$ với $\frac{16}{15}$ tối giản, nên $a+b=16+15=31\ne 32$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=4$: $(C_1)$ cho $y=(4-2{)}^2=4$ và $(C_2)$ cho $y=4\cdot 4-12=4$, nên cả hai đường đều đi qua $M(4;4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường chỉ tiếp xúc tại $x=4$ (nghiệm kép của $(x-4{)}^2=0$). Hình $(H)$ được giới hạn bởi $(C_1)$, $(C_2)$ và trục $Ox$, nên $S=\underset{2}{\overset{3}{\int }}(x-2{)}^{2}dx+\underset{3}{\overset{4}{\int }}(x-4{)}^{2}dx=\frac{2}{3}$, không bằng $\underset{3}{\overset{4}{\int }}|x^2-8x+16|dx=\frac{1}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quay $(H)$ quanh $Ox$: thể tích bằng hiệu khối tròn xoay sinh bởi $(C_1)$ trên $[2;4]$ và khối tròn xoay sinh bởi $(C_2)$ trên $[3;4]$, đúng như công thức đề bài.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi \underset{2}{\overset{4}{\int }}(x-2{)}^{4}dx-\pi \underset{3}{\overset{4}{\int }}(4x-12{)}^{2}dx=\frac{32\pi }{5}-\frac{16\pi }{3}=\frac{16\pi }{15}$, nên $a+b=16+15=31\ne 32$.

(AI giải đề cho tôi)
Khối cầu bán kính R=5, hai mặt phẳng cắt tại x=±3 (vuông góc bán kính, cách tâm 3 dm). Thể tích chiếc lu là phần khối cầu giữa hai mặt phẳng: V = π∫_{-3}^{3}(25−x²)dx = π[25x − x³/3]_{-3}^{3} = π[(75−9)−(−75+9)] = π(66+66) = 132π (dm³). Vậy a = 132.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập hệ tọa độ: $A^{\prime }(0;0;0)$, $B^{\prime }(10;0;0)$, $C^{\prime }(10;30;0)$, $D^{\prime }(0;30;0)$, $A(0;0;2)$, $D(0;30;2)$ (m).

Thể tích ban đầu: $V_0=10\cdot 30\cdot 2=600$ m${}^3$.

Đáy mới gồm phần phẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }MN$ nằm ở đáy cũ ($z=0$) và mặt nghiêng $MNEF$ nâng lên cao $0,3$ m ở đầu $EF$ (vì $E\in D{D}^{\prime }$, $DE=1,7$ nên $z_E=2-1,7=0,3$; tương tự $z_F=0,3$).

Gọi $M=(10;m;0)$, $N=(0;m;0)$, $F=(10;30;0,3)$, $E=(0;30;0,3)$. Từ $MF=20$:
$$M{F}^2=(30-m{)}^2+0,3^2=400\Rightarrow 30-m=\sqrt{399,91}\approx 19,9977\Rightarrow m\approx 10,0023.$$

Thể tích mới (tích phân theo thiết diện mặt $Oyz$, nhân với bề rộng 10 m):
- Phần sâu từ $y=0$ đến $y=m$: chiều sâu 2 m, diện tích thiết diện $2m$.
- Phần nghiêng từ $y=m$ đến $y=30$: chiều sâu giảm tuyến tính từ 2 m xuống 1,7 m, chiều sâu trung bình $\frac{2+1,7}{2}=1,85$ m, diện tích thiết diện $1,85(30-m)$.

$$V_1=10\left[2m+1,85(30-m)\right]=10\left[2(10,0023)+1,85(19,9977)\right]\approx 570,00{\text{ m}}^3.$$

Tỉ số thể tích:
$$\frac{V_1}{V_0}=\frac{570,00}{600}\approx 0,95.$$

Vậy tỉ số thể tích cần tìm là $0,95$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục Oz dọc theo OO', gốc tại O, z dương hướng lên về B. Khi đó B(0;7), A(5;-3) (vì OO'=3, OB=10 nên B cao hơn O là 10-3=7; A nằm trên mặt đáy dưới, cách trục OA=5, thấp hơn O là 3). Parabol đỉnh B có dạng r(z)=a(z-7)^2; qua A: 5=a·100 nên a=1/20.

Thể tích phần paraboloid (từ z=-3 đến z=7):
V1=π∫_{-3}^{7} (z-7)^4/400 dz = π·[(7-z)^5/2000]_{-3}^{7} = π·10^5/2000 = 50π.

Phần trụ dưới (bán kính 5, chiều cao 3): V2=π·25·3=75π.

V=125π≈392,699≈393 (m^3).

(AI giải đề cho tôi)
Thiết diện vuông góc với chiều dài lều là một hình Parabol có bề ngang 3 m, đỉnh cao 3 m. Chọn hệ trục với gốc tại đỉnh parabol: $y=-\frac{4}{3}{x}^2$ (vì tại $x=\pm \frac{3}{2}$ thì $y=-3$). Diện tích hình parabol bằng $\frac{2}{3}\cdot \text{đaˊy}\cdot \text{chieˆˋu cao}=\frac{2}{3}\cdot 3\cdot 3=6$ (m²) (cũng tính được bằng tích phân ${\int }_{-3/2}^{3/2}\left(3-\frac{4}{3}{x}^2\right)dx=6$). Thể tích lều = diện tích thiết diện × chiều dài $=6\times 5=30$ (m³).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường $y=\sqrt{x}$ và $y=\frac{x^2}{8}$ cắt nhau tại $x=0$ và $x=4$; trên $[0;4]$ ta có $\sqrt{x}\ge \frac{x^2}{8}$.

a) $S={\int }_0^4\left(\sqrt{x}-\frac{x^2}{8}\right)dx={\left[\frac{2}{3}{x}^{3/2}-\frac{x^3}{24}\right]}_0^4=\frac{16}{3}-\frac{64}{24}=\frac{16}{3}-\frac{8}{3}=\frac{8}{3}$. Đúng.

b) $V_1=\pi {\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{4}xdx=\pi \cdot 8=8\pi$. Đúng.

c) $V_2=\pi {\int }_0^2{\left(\frac{x^2}{8}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_0^2\frac{x^4}{64}dx=\pi \cdot \frac{32}{320}=\frac{\pi }{10}\ne \frac{16\pi }{5}$. Sai.

d) $V=\pi {\int }_0^4\left(x-\frac{x^4}{64}\right)dx=\pi \left(8-\frac{1024}{320}\right)=\pi \left(8-\frac{16}{5}\right)=\frac{24\pi }{5}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_0^4(\sqrt{x}-x^2/8)dx=16/3-8/3=8/3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V_1=\pi {\int }_0^{4}xdx=8\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V_2=\pi {\int }_0^2{x}^4/64dx=\pi /10\ne 16\pi /5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^4(x-x^4/64)dx=\pi (8-16/5)=24\pi /5$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo bởi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=\sqrt{x}+2$, trục hoành, $x=0$, $x=4$ quanh trục hoành là $$V=\pi {\int }_0^4{\left(\sqrt{x}+2\right)}^{2}dx=\pi {\int }_0^4\left(x+4\sqrt{x}+4\right)dx.$$ Tính từng phần: ${\int }_0^{4}xdx=8$; ${\int }_0^{4}4\sqrt{x}dx=4\cdot \frac{2}{3}{x}^{3/2}{|}_0^4=\frac{8}{3}\cdot 8=\frac{64}{3}$; ${\int }_0^{4}4dx=16$. Vậy $$V=\pi \left(8+\frac{64}{3}+16\right)=\pi \left(24+\frac{64}{3}\right)=\frac{136\pi }{3}\approx 142.416\approx 142.4d{m}^3.$$

(AI giải đề cho tôi)
a) Trên [0,2] ta có 2x ≥ x² nên V = π∫₀²[(2x)² − (x²)²]dx = π∫₀²4x²dx − π∫₀²x⁴dx. Đúng.
b) Hình (H) nằm trên trục Ox, giới hạn bởi y = x²+3, x = 0, x = 2 nên V = π∫₀²(x²+3)²dx. Đúng.
c) V = π∫₄⁹(√x − 2)²dx = π∫₄⁹(x − 4√x + 4)dx = π[(x²/2 + 4x) − (8/3)x^{3/2}]₄⁹ = π[(81/2 + 36 − 72) − (8 + 16 − 64/3)] = π(9/2 − 8/3) = 11π/6 ≠ 11π. Sai.
d) Khi quay tam giác vuông OAB quanh Ox được hình nón có bán kính đáy a·tanα và chiều cao a, nên V = (1/3)πa³tan²α, phụ thuộc α, không bằng πa³. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0,2], 2x ≥ x² nên V = π∫₀²[(2x)² − (x²)²]dx = π∫₀²4x²dx − π∫₀²x⁴dx.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức thể tích khi quay quanh Ox: V = π∫₀²(x²+3)²dx, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫₄⁹(√x−2)²dx = π[(x²/2+4x) − (8/3)x^{3/2}]₄⁹ = π(9/2 − 8/3) = 11π/6 ≠ 11π.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khối tròn xoay là hình nón: V = (1/3)π(a·tanα)²·a = (πa³tan²α)/3, phụ thuộc α nên không bằng πa³.

(AI giải đề cho tôi)
a) $V=\pi {\int }_0^{\pi }(2+\sin x)dx=\pi \left(2\pi +[-\cos x{]}_0^{\pi }\right)=\pi (2\pi +2)=2\pi (\pi +1)$ → Đúng.
b) $V=\pi {\int }_0^1(x^2-2x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1(x^4-4x^3+4x^2)dx=\pi \left(\frac{1}{5}-1+\frac{4}{3}\right)=\frac{8\pi }{15}\ne \frac{8\pi }{25}$ → Sai.
c) Trên $[1;2]$, $y=x^2+2>0$ nên $V=\pi {\int }_1^2(x^2+2{)}^{2}dx$ → Đúng.
d) $y^2=16\left(1-\frac{x^2}{25}\right)$, $V=\pi {\int }_{-5}^{5}16\left(1-\frac{x^2}{25}\right)dx=16\pi \left(10-\frac{10}{3}\right)=\frac{320\pi }{3}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^{\pi }(2+\sin x)dx=\pi (2\pi +2)=2\pi (\pi +1)$, khẳng định đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^1(x^2-2x{)}^{2}dx=\pi \left(\frac{1}{5}-1+\frac{4}{3}\right)=\frac{8\pi }{15}$, không bằng $\frac{8\pi }{25}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;2]$ đường $y=x^2+2$ nằm trên trục hoành nên công thức $V=\pi {\int }_1^2(x^2+2{)}^{2}dx$ đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_{-5}^{5}16\left(1-\frac{x^2}{25}\right)dx=16\pi \cdot \frac{20}{3}=\frac{320\pi }{3}$, khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: Hình phẳng giới hạn bởi y=√x, y=0, x=4.
a) S = ∫₀⁴ √x dx = (2/3)x^{3/2}|₀⁴ = 16/3 → đúng.
b) Công thức thể tích quay quanh Ox là V = π∫₀⁴ (√x)² dx, khẳng định thiếu hệ số π → sai.
c) V = π∫₀⁴ x dx = π·(x²/2)|₀⁴ = 8π → đúng.
d) Theo hình vẽ, tam giác OMH có O(0,0), M(a, √a), H(4,0). Quay tam giác OMH quanh Ox tạo thành hai khối nón cùng bán kính √a, chiều cao a và 4−a: V₁ = (1/3)πa²·a + (1/3)πa²(4−a) = 4πa/3. Điều kiện V = 2V₁: 8π = 8πa/3 ⇒ a = 3 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀⁴ √x dx = (2/3)x^{3/2}|₀⁴ = 16/3 → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Thiếu hệ số π: công thức đúng là V = π∫₀⁴ (√x)² dx → sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
V = π∫₀⁴ x dx = π·(x²/2)|₀⁴ = 8π → đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, tam giác OMH có O(0,0), M(a, √a), H(4,0). Quay tam giác OMH quanh Ox tạo thành hai khối nón chung đỉnh, cùng bán kính √a: nón thứ nhất chiều cao a, nón thứ hai chiều cao 4−a. V₁ = (1/3)πa²·a + (1/3)πa²(4−a) = 4πa/3. Điều kiện V = 2V₁: 8π = 8πa/3 ⇒ a = 3 → đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tâm tại trung điểm MN, trục Ox dọc theo MN. Khi đó elip có hình chữ nhật cơ sở ABCD với AB=6, AD=10 nên bán trục lớn a=5 (dọc MN), bán trục nhỏ b=3: phương trình x²/25 + y²/9 = 1, không phải x²/100 + y²/36 = 1 (a sai). Đường tròn tiếp xúc AD, BC nên bán kính 3, tâm trùng tâm elip: x²+y²=9 (b đúng). Quay elip quanh trục lớn MN: V = (4/3)πab² = (4/3)π·5·9 = 60π (c đúng). Miền gạch chéo là phần giữa elip và đường tròn, nên V_vật = 60π − (4/3)π·3³ = 60π − 36π = 24π ≈ 75,4 cm³ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Elip có hình chữ nhật cơ sở ABCD nên a = AD/2 = 5, b = AB/2 = 3, phương trình là x²/25 + y²/9 = 1, không phải x²/100 + y²/36 = 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tiếp xúc với AD và BC nên bán kính bằng AB/2 = 3, tâm trùng tâm elip (trung điểm MN), phương trình x² + y² = 9.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quay elip quanh trục lớn (a=5, b=3): V = (4/3)πab² = (4/3)π·5·9 = 60π cm³.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vật trang trí là khối tạo bởi miền giữa elip và đường tròn: V = 60π − (4/3)π·3³ = 24π ≈ 75,4 cm³.

(AI giải đề cho tôi)
Chiều cao hình thang: do $CD=2a$, $AB=a$ nên phần chiếu của $AD$ lên $CD$ dài $(2a-a)/2=a/2$, suy ra $h=\sqrt{a^2-(a/2{)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$. Khi quay quanh $AB$, khối tròn xoay gồm: hình trụ bán kính $r=\frac{\sqrt{3}}{2}a$, chiều cao $a$, cộng hai hình nón cùng bán kính $r$, mỗi nón chiều cao $a/2$. Vậy $V=\pi r^{2}a+2\cdot \frac{1}{3}\pi r^2\cdot \frac{a}{2}=\frac{4}{3}\pi r^{2}a=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{3}{4}{a}^2\cdot a=\pi a^3\approx 3,14a^3$. Do đó $m=\pi \approx 3,14$.