Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay (Toán học Lớp 12)

Ta có chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ.

Thiết diện vuông góc với trục, cách đều hai đáy là hình tròn có bán kính $r$ có diện tích là $2500\pi \left(c{m}^2\right)$, nên
$\pi r^2=2500\pi \Rightarrow r=50cm$.
Ta có: Parabol nhận $Oy$ làm trục đối xứng nên phương trình Parabol có dạng: $y=a{x}^2+b$.
Parabol có đỉnh $I(0;50)$ và qua $A(50;40)$. — 0.25 đ
Thay tọa độ $I$ và $A$ vào phương trình Parabol: $\{\begin{array}{l}b=50\\ 50^{2}a+b=40\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{250}\\ b=50\end{array}$ — 0.25 đ
$\Rightarrow y=-\frac{1}{250}{x}^2+50$
Thể tích của trống là $V=\pi {\int }_{-50}^{50}{\left(-\frac{1}{250}{x}^2+50\right)}^{2}dx=\pi \frac{656000}{3}\left(c{m}^3\right)\approx 687d{m}^3$ — 0.5 đ

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình thang cong giới hạn bởi $y=f(x)$, trục $Ox$, $x=a$, $x=b$ quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Cắt khối tròn xoay tại vị trí $x$ được thiết diện là hình tròn bán kính $|f(x)|$, diện tích $\pi f^2(x)$, nên thể tích là $\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Phương án A thiếu hệ số $\pi$; B, C sai công thức. Khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình thang cong giới hạn bởi $y=f(x)$, trục $Ox$, $x=a$, $x=b$ khi quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Khớp với đáp án B (đáp án nguồn: B).

Ta có chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ. [Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

Thiết diện vuông góc với trục, cách đều hai đáy là hình tròn có bán kính $r$ có diện tích là $1600\pi \left(c{m}^2\right)$, nên $\pi r^2=1600\pi \Rightarrow r=40cm$. — 0.25 đ

Ta có: Parabol nhận $Oy$ làm trục đối xứng nên phương trình Parabol có dạng: $y=a{x}^2+b$.

Parabol có đỉnh $I(0;40)$ và qua $A(50;30)$.

Thay tọa độ $I$ và $A$ vào phương trình Parabol:
$$\{\begin{array}{l}b=40\\ 50^{2}a+b=30\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{250}\\ b=40\end{array}$$ — 0.25 đ

Nên Parabol có phương trình $y=-\frac{1}{250}{x}^2+40$

Thể tích của trống là $V=\pi \underset{-50}{\overset{50}{\int }}{\left(-\frac{1}{250}{x}^2+40\right)}^{2}dx=\pi .\frac{406000}{3}c{m}^3\approx 425d{m}^3.$ — 0.5 đ

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=x+2$, $y=0$, $x=0$, $x=1$ quanh $Ox$ là $V=\pi {\int }_0^1(x+2{)}^2\mathrm{d}x$ (với $x\in [0;1]$ thì $x+2>0$). Tính được $V=\pi {\left[\frac{(x+2{)}^3}{3}\right]}_0^1=\pi \cdot \frac{27-8}{3}=\frac{19\pi }{3}$. Phương án A thiếu hệ số $\pi$; B, C dùng công thức sai. Đáp án khớp với mã đề 1212, câu 5: D.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình thang cong giới hạn bởi $y=f(x)$, trục $Ox$, $x=a$, $x=b$ khi quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1211, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Khối cầu bán kính $R=5$ dm, hai mặt phẳng cắt cách tâm $3$ dm, phần giữ lại (chiếc lu) là vùng giữa hai mặt phẳng $z=-3$ và $z=3$. Thể tích tính bằng tích phân: $V=\pi {\int }_{-3}^3(25-z^2)dz=\pi {\left[25z-\frac{z^3}{3}\right]}_{-3}^3=\pi \left((75-9)-(-75+9)\right)=132\pi \approx 414,69{\text{dm}}^3$. Vì $1{\text{dm}}^3=1$ lít, làm tròn hàng đơn vị ta được $415$ lít. Bảng đáp án trang 9 hiển thị rõ ô Phần 3 – Câu 1 – mã đề 1121 là $415$, khớp với kết quả tính toán (trang 10 bản scan bị lỗi hiển thị ô này trống, không phải mâu thuẫn).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $D$ (giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành và hai đường $x=a$, $x=b$) quanh trục hoành theo công thức chuẩn là $V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$. Điều này khớp với đáp án A và với bảng đáp án của đề (mã 1202, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol (P) có đỉnh trên trục tung, cắt trục hoành tại $x=\pm 20$ (chiều dài quả 40cm) và đỉnh cao $y=15$ (đường kính lớn nhất 30cm, bán kính 15cm). Vậy $y=15-\frac{15}{400}{x}^2=15\left(1-\frac{x^2}{400}\right)$.

Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục hoành:
$$V=\pi {\int }_{-20}^{20}{\left[15\left(1-\frac{x^2}{400}\right)\right]}^{2}dx=450\pi {\int }_{-20}^{20}{\left(1-\frac{x^2}{400}\right)}^{2}dx.$$
Tính ${\int }_{-20}^{20}{\left(1-\frac{x^2}{400}\right)}^{2}dx=2{\int }_0^{20}\left(1-\frac{x^2}{200}+\frac{x^4}{160000}\right)dx=2\left(20-\frac{8000}{600}+\frac{3200000}{800000}\right)=2\left(20-\frac{40}{3}+4\right)=2\cdot \frac{32}{3}=\frac{64}{3}.$
Suy ra $V=450\pi \cdot \frac{64}{3}=9600\pi \approx 30159,29$ cm³.

Khối lượng một quả: $m=V\cdot D\approx 30159,29$ g $\approx 30,16$ kg. Chi phí vận chuyển 1000 quả: $1000\times 30,16$ kg $\times 1000$ đ/kg $\approx 30,2$ triệu đồng.

Lưu ý: đáp án nguồn ghi 15,1 (tương ứng với cách tính thể tích $4800\pi$ chỉ lấy một nửa khối, tức tích phân từ 0 đến 20 thay vì từ $-20$ đến 20). Tuy nhiên theo hình vẽ, hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành trải trên cả hai phía $x=\pm 20$, nên thể tích đúng là $9600\pi$ và kết quả làm tròn là 30,2 triệu đồng. Vì kết quả tính độc lập (30,2) xung đột với đáp án nguồn (15,1), bài toán được đánh dấu không giải được chắc chắn theo quy tắc không ghi đè đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường x = a, x = b quanh trục hoành được tính theo công thức chuẩn: V = π∫_a^b [f(x)]² dx. Đây là công thức đã được chứng minh trong SGK Toán 12: chia hình phẳng thành các dải nhỏ, mỗi dải quay quanh trục hoành tạo thành một khối trụ tròn có thể tích xấp xỉ π[f(x)]²dx, sau đó lấy tổng (tích phân). So sánh với các phương án: B thiếu hệ số π, C dùng π² sai, D thiếu bình phương f(x). Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 12, mã đề 1201: A).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol (P) có đỉnh thuộc trục tung, cắt trục hoành tại x = ±20 (chiều dài 40 cm) và đỉnh cao 15 cm (đường kính lớn nhất 30 cm), nên y = 15(1 − x²/400). Thể tích khối tròn xoay: V = π∫_{-20}^{20} y² dx = 225π∫_{-20}^{20}(1 − x²/400)² dx. Tính ∫_{-20}^{20}(1 − x²/400)² dx = 2∫₀²⁰(1 − x²/200 + x⁴/160000)dx = 2(20 − 40/3 + 4) = 64/3. Vậy V = 225π · 64/3 = 4800π ≈ 15079,64 cm³. Khối lượng một quả: m = 4800π · 1 ≈ 15079,64 g ≈ 15,0796 kg. Tổng khối lượng 1000 quả ≈ 15079,64 kg; chi phí = 15079,64 × 1000 ≈ 15079644 đồng ≈ 15,1 triệu đồng. Khớp với đáp án nguồn 15,1.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thể tích khi quay quanh trục hoành: $V=\pi {\int }_{-1}^0(x+1{)}^{2}dx=\pi {\left[\frac{(x+1{)}^3}{3}\right]}_{-1}^0=\frac{\pi }{3}\approx 1,05\ne 9\pi$ → Sai.
b) $S={\int }_0^2(0,7{)}^{x}dx={\left[\frac{(0,7{)}^x}{\ln 0,7}\right]}_0^2=\frac{0,49-1}{\ln 0,7}=\frac{-0,51}{-0,356675}\approx 1,43$ → Đúng.
c) Trên $[1;2]$ thì $f(x)\ge g(x)$, thể tích $V=\pi {\int }_1^2\left[(x+1{)}^2-(0,7{)}^{2x}\right]dx=\pi \left(\frac{19}{3}-\frac{0,49^2-0,49}{\ln 0,49}\right)=\pi (6,3333-0,3503)\approx 18,8$ → Đúng.
d) Trên $[1;4]$ thì $f(x)\ge g(x)$: $S={\int }_1^4\left[(x+1)-(0,7{)}^x\right]dx={\left[\frac{x^2}{2}+x\right]}_1^4-{\left[\frac{(0,7{)}^x}{\ln 0,7}\right]}_1^4=10,5-\frac{0,2401-0,7}{\ln 0,7}\approx 10,5-1,2897\approx 9,21\ne 9,12$ → Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_{-1}^0(x+1{)}^{2}dx=\frac{\pi }{3}\ne 9\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_0^2(0,7{)}^{x}dx=\frac{0,49-1}{\ln 0,7}\approx 1,43$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_1^2\left[(x+1{)}^2-(0,7{)}^{2x}\right]dx\approx \pi (6,3333-0,3503)\approx 18,8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_1^4\left[(x+1)-(0,7{)}^x\right]dx=10,5-\frac{0,2401-0,7}{\ln 0,7}\approx 10,5-1,2897\approx 9,21\ne 9,12$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích nước đến chiều cao $x$: $V(x)=\pi {\int }_0^x(10+\sqrt{t}{)}^{2}dt=\pi \left(100x+\frac{40}{3}{x}^{3/2}+\frac{x^2}{2}\right)$. Thể tích chậu (x=16): $V(16)=\pi \left(1600+\frac{2560}{3}+128\right)=\frac{7744\pi }{3}$. Cần $V(x)=\frac{1}{2}V(16)=\frac{3872\pi }{3}$, tức $100x+\frac{40}{3}{x}^{3/2}+\frac{x^2}{2}=\frac{3872}{3}\approx 1290,67$. Giải bằng máy tính (hàm f(x)=100x+$\frac{40}{3}$x^{3/2}+$\frac{x^2}{2}$-$\frac{3872}{3}$) trên $[0;16]$ cho nghiệm $x\approx 8,94$ cm (kiểm tra: tại $x=8,94$, vế trái $\approx 1290,36$; tại $x=8,942$ được $\approx 1290,67$). Vậy $x\approx 8,94$.

Đáp án: 59,5.
Lời giải chi tiết:


Giải phương trình $x^2-3x+2=2x-2\iff x^2-5x+4=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=4\end{array}\right]$.
Thể tích khối tròn xoay là: $V=\pi \left[\underset{1}{\overset{4}{\int }}{\left(x^2-3x+2\right)}^{2}dx-\underset{2}{\overset{4}{\int }}{\left(2x-2\right)}^{2}dx\right]\approx 59,5$.

Đáp án: 2,5.
Lời giải chi tiết: Thể tích: $$V=\pi \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\sin }^{2}xdx=2,5$$

Đáp án: 8,94.
Lời giải chi tiết: Dung tích nước trong chậu bằng nửa thể tích của chậu nên ta có phương trình
$$\pi \underset{0}{\overset{x}{\int }}(10+\sqrt{x}{)}^{2}dx=\frac{1}{2}\pi \underset{0}{\overset{16}{\int }}(10+\sqrt{x}{)}^{2}dx\iff \pi \left(100x+\frac{40}{3}x\sqrt{x}+\frac{x^2}{2}\right){|}_0^x=\frac{1}{2}\pi \left(100x+\frac{40}{3}x\sqrt{x}+\frac{x^2}{2}\right){|}_0^{16}$$
$$\iff 100x+\frac{40}{3}x\sqrt{x}+\frac{x^2}{2}=\frac{3872}{3}$$
Đặt $t=\sqrt{x}$ $(t>0)$. Ta được phương trình $100t^2+\frac{40}{3}{t}^3+\frac{t^4}{2}=\frac{3872}{3}$. Đặt $f(t)=100t^2+\frac{40}{3}{t}^3+\frac{t^4}{2}$
$f^{\prime }(t)=200t+40t^2+2t^3>0(\forall t>0)$ nên $f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$
Do đó phương trình trên có nghiệm duy nhất $t\approx 2,990279433$
Vậy $x=t^2\approx 8,94$ (cm)

(AI giải đề cho tôi)
Cắt khối tròn xoay tại vị trí $x$ bất kỳ thuộc $[a;b]$, ta được một hình tròn có bán kính $f(x)$ (vì $f(x)>0$ trên $[a;b]$), diện tích lát cắt là $\pi {\left[f(x)\right]}^2$. Do đó thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $Ox$ là $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{\left[f(x)\right]}^{2}dx$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_{\pi /4}^{\pi /2}{\left(\frac{3}{\sin x}\right)}^{2}dx=9\pi {\int }_{\pi /4}^{\pi /2}\frac{dx}{{\sin }^{2}x}=9\pi {\left[-\cot x\right]}_{\pi /4}^{\pi /2}=9\pi (0-(-1))=9\pi$. Vậy $a=9$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 2 = 9).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$ (nhận giá trị dương trên $[a;b]$), trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ quanh trục $Ox$ được tính theo công thức chuẩn: cắt khối bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại hoành độ $x$ được hình tròn bán kính $f(x)$, diện tích tiết diện là $\pi [f(x){]}^2$, nên $V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$. Đây là công thức đã được chứng minh trong SGK Toán 12. So sánh với đáp án: A thiếu bình phương, B và C thừa hệ số $\pi$ (dùng ${\pi }^2$). Đáp án trùng với mã đề 1001, câu 12: D.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_0^{\pi /4}{\left(\frac{2}{\cos x}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{\pi /4}\frac{4}{{\cos }^{2}x}dx=4\pi \tan x{|}_0^{\pi /4}=4\pi \left(1-0\right)=4\pi$. Vậy $m=4$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, Câu 3 = 4).