Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Parabol cắt trục hoành tại $-x^2+4x=0\Rightarrow x=0,x=4$. Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_0^4(-x^2+4x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^4(x^4-8x^3+16x^2)dx=\pi \left(\frac{4^5}{5}-2\cdot 4^4+\frac{16\cdot 4^3}{3}\right)=\pi \left(\frac{1024}{5}-512+\frac{1024}{3}\right)=\pi \cdot \frac{3072-7680+5120}{15}=\frac{512\pi }{15}$. Vậy $\frac{a}{b}=\frac{512}{15}$ tối giản, $a+b=512+15=527$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích lều bằng tích phân diện tích thiết diện: $V={\int }_0^{4}a(x{)}^{2}dx={\int }_0^{4}3x(4-x)dx=3{\int }_0^4(4x-x^2)dx=3{\left[2x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^4=3\left(32-\frac{64}{3}\right)=3\cdot \frac{32}{3}=32$. Vậy thể tích phần không gian trong lều là $32m^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D (giới hạn bởi đồ thị y=f(x), trục hoành và hai đường x=a, x=b) quanh trục Ox là $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Đây là công thức chuẩn trong SGK Toán 12. Các phương án A, B, D đều thiếu hệ số $\pi$ hoặc dùng công thức diện tích nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_2^7(9x+7)dx=\pi {\left[\frac{9x^2}{2}+7x\right]}_2^7=\pi \left(\frac{441}{2}+49-18-14\right)=\pi \left(\frac{539}{2}-32\right)=\frac{475\pi }{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Lavabo là nửa khối elip tròn xoay: elip có bán trục lớn $a=330$ mm (chiều dài $660$ mm) quay quanh trục lớn, nên hai bán trục còn lại bằng $b=190$ mm (chiều rộng $=$ chiều sâu $380$ mm). Thể tích cả khối elip là $V=\frac{4}{3}\pi abc$, vậy nửa khối có $V=\frac{2}{3}\pi abc$.

Vì độ dày đều $20$ mm, phần chứa nước là nửa khối elip với các bán trục trong:
$$a^{\prime }=330-20=310\text{ mm},b^{\prime }=190-20=170\text{ mm}.$$
Thể tích chứa nước:
$$V=\frac{2}{3}\pi \cdot 310\cdot 170\cdot 170=\frac{2}{3}\pi \cdot 8959000\approx 18764000{\text{ mm}}^3.$$
Đổi đơn vị: $1{\text{ dm}}^3=10^6{\text{ mm}}^3$, nên $V\approx 18,764{\text{ dm}}^3\approx 18,8{\text{ dm}}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục $Ox$: $V=\pi {\int }_{-1}^3(-4x-8{)}^{2}dx=\pi {\int }_{-1}^{3}16(x+2{)}^{2}dx=16\pi \cdot \frac{(x+2{)}^3}{3}{|}_{-1}^3=16\pi \cdot \frac{125-1}{3}=\frac{1984}{3}\pi$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích thiết diện tam giác đều cạnh $a=x\sqrt{8x^2-6}$ là $S(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2(8x^2-6)$. Thể tích: $$V={\int }_2^6\frac{\sqrt{3}}{4}(8x^4-6x^2)dx=\frac{\sqrt{3}}{4}{\left[\frac{8x^5}{5}-2x^3\right]}_2^6.$$ Tại $x=6$: $\frac{8\cdot 7776}{5}-432=\frac{60048}{5}$; tại $x=2$: $\frac{256}{5}-16=\frac{176}{5}$. Hiệu số: $\frac{59872}{5}$. Vậy $V=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{59872}{5}=\frac{14968\sqrt{3}}{5}$, trùng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=e^x$, trục $Ox$, $x=0$, $x=1$ quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_0^1(e^x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1{e}^{2x}dx=\pi \cdot \frac{e^{2x}}{2}{|}_0^1=\frac{\pi }{2}(e^2-1)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình (D) nằm ngoài parabol (y ≤ x²+2x+2), trên đường y=2 và dưới đường y=6−x. Giao parabol với y=2: x=0, x=−2; giao đường thẳng với y=2: x=4; giao parabol với đường thẳng: x²+3x−4=0 → x=1 (nằm trong miền). Theo hình vẽ miền xét x từ 0 đến 4.

Thể tích: V = π[∫₀¹((x²+2x+2)² − 2²)dx + ∫₁⁴((6−x)² − 2²)dx].

Tính I₁ = ∫₀¹(x⁴+4x³+8x²+8x+4)dx − 4 = (1/5+1+8/3+4+4) − 4 = 178/15 − 4 = 118/15.

I₂ = ∫₁⁴(x²−12x+32)dx = [x³/3−6x²+32x]₁⁴ = (64/3+32) − (1/3+26) = 27.

V = π(118/15 + 27) = 523π/15. Vậy a=523, b=15 (phân số tối giản), P = a − b² = 523 − 225 = 298.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích mặt cắt tại vị trí $x$ là hình vuông cạnh $x\sqrt{2}$, nên $S(x)=(x\sqrt{2}{)}^2=2x^2$. Thể tích vật thể: $V={\int }_0^{3}S(x)dx={\int }_0^{3}2x^{2}dx={\left[\frac{2x^3}{3}\right]}_0^3=\frac{2\cdot 27}{3}=18$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng giới hạn bởi $y=1-x^2$ và $y=0$ có chân tại $x=\pm 1$. Thể tích: $V=\pi {\int }_{-1}^1(1-x^2{)}^{2}dx=\pi {\int }_{-1}^1(1-2x^2+x^4)dx=\pi \left[2-\frac{4}{3}+\frac{2}{5}\right]=\pi \cdot \frac{16}{15}$. Vậy $a=16,b=15\Rightarrow a+b=31$. Chọn B.

Thể tích bằng $\pi {\int }_0^2(4x^2)dx=\frac{128\pi }{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{y}^2\mathrm{d}x=\pi \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2}x\mathrm{d}x$. Trên $[0,\pi /2]$ có $\sin x\ge 0$ nên hình phẳng nằm trên trục $Ox$, công thức đúng là $V=\pi \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2}x\mathrm{d}x$. Các phương án B, C thiếu hệ số $\pi$ và sai hàm; D dùng ${\cos }^{2}x$ sai. Khớp với đáp án nguồn (đề 102, Câu 5 = A).

Thể tích bằng $\pi {\int }_0^4(2x{)}^{2}dx=\frac{256\pi }{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Ox là $V=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}x\mathrm{d}x$ (công thức $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x$). Trên $[0;\frac{\pi }{2}]$ ta có $\cos x\ge 0$ nên không cần giá trị tuyệt đối. Đáp án trùng với key: D.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng quanh trục Ox là $V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^2\mathrm{d}x$. Với $a=0,b=2$, ta được $V=\pi {\int }_0^2[f(x){]}^2\mathrm{d}x$, tương ứng phương án B. Đáp án này cũng khớp với bảng đáp án mã đề 1307 (Câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Lều trại là khối trụ parabol: mặt cắt ngang vuông góc với chiều dài là hình parabol với bề ngang 3m, cao 2,5m. Chọn hệ trục để parabol có đỉnh tại (0; 2,5) và đi qua (±1,5; 0): $y=2,5-\frac{2,5}{1,5^2}{x}^2=2,5-\frac{10}{9}{x}^2$. Diện tích mặt cắt: $S={\int }_{-1,5}^{1,5}\left(2,5-\frac{10}{9}{x}^2\right)dx=2{\left[2,5x-\frac{10}{27}{x}^3\right]}_0^{1,5}=2(3,75-0,8\overline{3})=\frac{2}{3}\cdot 3\cdot 2,5=5m^2$ (công thức diện tích dưới cung parabol $=\frac{2}{3}\cdot$ đáy $\cdot$ cao). Thể tích lều $V=S\cdot 5=25m^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình phẳng $(H)$ là tam giác giới hạn bởi $y=-x+1$, trục $Ox$ và trục $Oy$, với $x\in [0;1]$. Khi quay quanh trục hoành, thể tích là $V=\pi {\int }_0^1(-x+1{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1(1-2x+x^2)dx=\pi {\left[x-x^2+\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\pi \left(1-1+\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi }{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $D$ quanh trục hoành: $$V=\pi {\int }_0^2{\left(\sqrt{x^2+5}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_0^2(x^2+5)dx=\pi \left(\frac{x^3}{3}+5x\right){|}_0^2=\pi \left(\frac{8}{3}+10\right)=\frac{38\pi }{3}.$$ Kết quả khớp với đáp án B và bảng đáp án mã đề 1204 (Câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Khi nghiêng cốc, mặt nước là một mặt phẳng: chạm miệng cốc ở một mép trên và trùng với đường kính đáy ở mép dưới. Do đó trong mặt cắt qua trục (hình chữ nhật $12\times 9$), mặt nước là nửa hình chữ nhật, tức nước chiếm đúng một nửa thể tích hình trụ.

Thể tích cốc: $V_{c\acute{\hat{o}}c}=\pi r^{2}h=\pi \cdot 6^2\cdot 9=324\pi$.

Thể tích nước: $V=\frac{1}{2}\cdot 324\pi =162\pi \approx 508,938\approx 509c{m}^3$.