Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục hoành: $V=\pi {\int }_0^{\pi /2}{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^{\pi /2}(2+\cos x)dx=\pi {\left[2x+\sin x\right]}_0^{\pi /2}=\pi \left(\pi +1\right)$. Vậy $V=(\pi +1)\pi$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quanh trục hoành: $V=\pi {\int }_0^{\pi }{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^{\pi }(2+\sin x)dx=\pi {\left[2x-\cos x\right]}_0^{\pi }=\pi \left(2\pi +1+1\right)=2\pi (\pi +1)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trên [0,2] ta có 2x ≥ x² nên V = π∫₀²[(2x)² − (x²)²]dx = π∫₀²4x²dx − π∫₀²x⁴dx. Đúng.
b) Hình (H) nằm trên trục Ox, giới hạn bởi y = x²+3, x = 0, x = 2 nên V = π∫₀²(x²+3)²dx. Đúng.
c) V = π∫₄⁹(√x − 2)²dx = π∫₄⁹(x − 4√x + 4)dx = π[(x²/2 + 4x) − (8/3)x^{3/2}]₄⁹ = π[(81/2 + 36 − 72) − (8 + 16 − 64/3)] = π(9/2 − 8/3) = 11π/6 ≠ 11π. Sai.
d) Khi quay tam giác vuông OAB quanh Ox được hình nón có bán kính đáy a·tanα và chiều cao a, nên V = (1/3)πa³tan²α, phụ thuộc α, không bằng πa³. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0,2], 2x ≥ x² nên V = π∫₀²[(2x)² − (x²)²]dx = π∫₀²4x²dx − π∫₀²x⁴dx.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức thể tích khi quay quanh Ox: V = π∫₀²(x²+3)²dx, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫₄⁹(√x−2)²dx = π[(x²/2+4x) − (8/3)x^{3/2}]₄⁹ = π(9/2 − 8/3) = 11π/6 ≠ 11π.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khối tròn xoay là hình nón: V = (1/3)π(a·tanα)²·a = (πa³tan²α)/3, phụ thuộc α nên không bằng πa³.

(AI giải đề cho tôi)
a) $V=\pi {\int }_0^{\pi }(2+\sin x)dx=\pi \left(2\pi +[-\cos x{]}_0^{\pi }\right)=\pi (2\pi +2)=2\pi (\pi +1)$ → Đúng.
b) $V=\pi {\int }_0^1(x^2-2x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1(x^4-4x^3+4x^2)dx=\pi \left(\frac{1}{5}-1+\frac{4}{3}\right)=\frac{8\pi }{15}\ne \frac{8\pi }{25}$ → Sai.
c) Trên $[1;2]$, $y=x^2+2>0$ nên $V=\pi {\int }_1^2(x^2+2{)}^{2}dx$ → Đúng.
d) $y^2=16\left(1-\frac{x^2}{25}\right)$, $V=\pi {\int }_{-5}^{5}16\left(1-\frac{x^2}{25}\right)dx=16\pi \left(10-\frac{10}{3}\right)=\frac{320\pi }{3}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^{\pi }(2+\sin x)dx=\pi (2\pi +2)=2\pi (\pi +1)$, khẳng định đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^1(x^2-2x{)}^{2}dx=\pi \left(\frac{1}{5}-1+\frac{4}{3}\right)=\frac{8\pi }{15}$, không bằng $\frac{8\pi }{25}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;2]$ đường $y=x^2+2$ nằm trên trục hoành nên công thức $V=\pi {\int }_1^2(x^2+2{)}^{2}dx$ đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_{-5}^{5}16\left(1-\frac{x^2}{25}\right)dx=16\pi \cdot \frac{20}{3}=\frac{320\pi }{3}$, khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: Hình phẳng giới hạn bởi y=√x, y=0, x=4.
a) S = ∫₀⁴ √x dx = (2/3)x^{3/2}|₀⁴ = 16/3 → đúng.
b) Công thức thể tích quay quanh Ox là V = π∫₀⁴ (√x)² dx, khẳng định thiếu hệ số π → sai.
c) V = π∫₀⁴ x dx = π·(x²/2)|₀⁴ = 8π → đúng.
d) Theo hình vẽ, tam giác OMH có O(0,0), M(a, √a), H(4,0). Quay tam giác OMH quanh Ox tạo thành hai khối nón cùng bán kính √a, chiều cao a và 4−a: V₁ = (1/3)πa²·a + (1/3)πa²(4−a) = 4πa/3. Điều kiện V = 2V₁: 8π = 8πa/3 ⇒ a = 3 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀⁴ √x dx = (2/3)x^{3/2}|₀⁴ = 16/3 → đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Thiếu hệ số π: công thức đúng là V = π∫₀⁴ (√x)² dx → sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
V = π∫₀⁴ x dx = π·(x²/2)|₀⁴ = 8π → đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, tam giác OMH có O(0,0), M(a, √a), H(4,0). Quay tam giác OMH quanh Ox tạo thành hai khối nón chung đỉnh, cùng bán kính √a: nón thứ nhất chiều cao a, nón thứ hai chiều cao 4−a. V₁ = (1/3)πa²·a + (1/3)πa²(4−a) = 4πa/3. Điều kiện V = 2V₁: 8π = 8πa/3 ⇒ a = 3 → đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Gắn hệ trục: đáy hình trụ là đường tròn bán kính R, AB là đường kính nằm trên trục Ox. a) Nửa đường tròn đường kính AB phía trên có phương trình y=√(R²−x²), −R≤x≤R → đúng. b) Tại vị trí x, đoạn MN trong đáy có độ dài MN=√(R²−x²) → đúng. c) Mặt phẳng cắt tạo với đáy góc 30° nên chiều cao MP=MN·tan30°=√(R²−x²)/√3. Diện tích tam giác MNP = ½·MN·MP = (R²−x²)/(2√3) → đúng. d) V₁=∫_{−R}^{R} (R²−x²)/(2√3)dx = (1/(2√3))·(4R³/3) = 2√3R³/9 ≠ √3R³/9 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đáy là đường tròn bán kính R tâm O, AB là đường kính trên trục Ox nên nửa đường tròn có phương trình y=√(R²−x²), −R≤x≤R.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại hoành độ x, đoạn MN trong đáy bằng √(R²−x²).
c) (AI giải đề cho tôi)
MP=MN·tan30°=√(R²−x²)/√3, nên S=½·MN·MP=(R²−x²)/(2√3).
d) (AI giải đề cho tôi)
V₁=∫_{−R}^{R}(R²−x²)/(2√3)dx=(1/(2√3))·(4R³/3)=2√3R³/9, khác √3R³/9.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tâm tại trung điểm MN, trục Ox dọc theo MN. Khi đó elip có hình chữ nhật cơ sở ABCD với AB=6, AD=10 nên bán trục lớn a=5 (dọc MN), bán trục nhỏ b=3: phương trình x²/25 + y²/9 = 1, không phải x²/100 + y²/36 = 1 (a sai). Đường tròn tiếp xúc AD, BC nên bán kính 3, tâm trùng tâm elip: x²+y²=9 (b đúng). Quay elip quanh trục lớn MN: V = (4/3)πab² = (4/3)π·5·9 = 60π (c đúng). Miền gạch chéo là phần giữa elip và đường tròn, nên V_vật = 60π − (4/3)π·3³ = 60π − 36π = 24π ≈ 75,4 cm³ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Elip có hình chữ nhật cơ sở ABCD nên a = AD/2 = 5, b = AB/2 = 3, phương trình là x²/25 + y²/9 = 1, không phải x²/100 + y²/36 = 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tiếp xúc với AD và BC nên bán kính bằng AB/2 = 3, tâm trùng tâm elip (trung điểm MN), phương trình x² + y² = 9.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quay elip quanh trục lớn (a=5, b=3): V = (4/3)πab² = (4/3)π·5·9 = 60π cm³.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vật trang trí là khối tạo bởi miền giữa elip và đường tròn: V = 60π − (4/3)π·3³ = 24π ≈ 75,4 cm³.

(AI giải đề cho tôi)
Chiều cao hình thang: do $CD=2a$, $AB=a$ nên phần chiếu của $AD$ lên $CD$ dài $(2a-a)/2=a/2$, suy ra $h=\sqrt{a^2-(a/2{)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$. Khi quay quanh $AB$, khối tròn xoay gồm: hình trụ bán kính $r=\frac{\sqrt{3}}{2}a$, chiều cao $a$, cộng hai hình nón cùng bán kính $r$, mỗi nón chiều cao $a/2$. Vậy $V=\pi r^{2}a+2\cdot \frac{1}{3}\pi r^2\cdot \frac{a}{2}=\frac{4}{3}\pi r^{2}a=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{3}{4}{a}^2\cdot a=\pi a^3\approx 3,14a^3$. Do đó $m=\pi \approx 3,14$.

(AI giải đề cho tôi)
Lều trại là khối trụ parabol: thiết diện vuông góc với chiều dài là hình parabol rộng $3m$, cao $2m$, kéo dài đều theo chiều dài $6m$. Chọn hệ trục với đỉnh parabol tại $(0;2)$, hai chân tại $(\pm 1,5;0)$, parabol có dạng $y=2-\frac{8}{9}{x}^2$. Diện tích thiết diện: $S={\int }_{-1,5}^{1,5}\left(2-\frac{8}{9}{x}^2\right)dx=2{\left[2x-\frac{8}{27}{x}^3\right]}_0^{1,5}=2\left(3-\frac{8}{27}\cdot \frac{27}{8}\right)=2(3-1)=4(m^2)$. Thể tích lều: $V=S\cdot 6=4\cdot 6=24(m^3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi $y=x$, trục hoành, $x=0$, $x=2$ quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_0^2{y}^{2}dx=\pi {\int }_0^2{x}^{2}dx$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích mặt cắt tại hoành độ $x$ là $S(x)=(\sqrt{3-x^2}{)}^2=3-x^2$. Thể tích: $V={\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}(3-x^2)dx={\left[3x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}=(3\sqrt{3}-\sqrt{3})-(-3\sqrt{3}+\sqrt{3})=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=f(x)=x^2+3$, $y=0$, $x=0$, $x=2$ quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_0^2[f(x){]}^2\mathrm{d}x=\pi {\int }_0^2(x^2+3{)}^2\mathrm{d}x$. Vậy đáp án A đúng. (Tính cụ thể: ${\int }_0^2(x^4+6x^2+9)\mathrm{d}x=\frac{32}{5}+16+18=\frac{182}{5}$, nên $V=\frac{182\pi }{5}$.)

(AI giải đề cho tôi)
f(x)=x^2-3x-4 cắt trục hoành tại x=-1 và x=4 (giải x^2-3x-4=0). Thể tích khối tròn xoay: V=π∫_{-1}^{4}(x^2-3x-4)^2 dx. Khai triển (x^2-3x-4)^2=x^4-6x^3+x^2+24x+16. Nguyên hàm: x^5/5-(3/2)x^4+x^3/3+12x^2+16x. Tại x=4: 1024/5-384+64/3+192+64=1472/15. Tại x=-1: -1/5-3/2-1/3+12-16=-181/30. Hiệu: 1472/15+181/30=3125/30=625/6. Vậy V=625π/6, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_{-4}^{20}{f}^2(x)dx$. Ta có $f(x)=-\frac{1}{18}{x}^2+\frac{8}{9}x+\frac{40}{9}=-\frac{1}{18}(x-20)(x+4)=\frac{(20-x)(x+4)}{18}$. Đặt $t=x-8$ (khi đó $x+4=t+12$, $20-x=12-t$, giới hạn $t\in [-12;12]$): $f=\frac{144-t^2}{18}=8-\frac{t^2}{18}$. Do đó $V=\pi {\int }_{-12}^{12}{\left(8-\frac{t^2}{18}\right)}^{2}dt=2\pi {\int }_0^{12}\left(64-\frac{8}{9}{t}^2+\frac{t^4}{324}\right)dt=2\pi {\left[64t-\frac{8}{27}{t}^3+\frac{t^5}{1620}\right]}_0^{12}=2\pi (768-512+153,6)=819,2\pi \approx 2573,56\approx 2574c{m}^3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (2574).

(AI giải đề cho tôi)
a) Trên [0, 3/2] thì f(x) = 5x^4 - 3x^5 = x^4(5 - 3x) >= 0. Thể tích khối tròn xoay V = π∫₀^{3/2} (5x^4 - 3x^5)^2 dx = π∫₀^{3/2} (25x^8 - 30x^9 + 9x^{10}) dx = π[25x^9/9 - 3x^{10} + 9x^{11}/11]₀^{3/2}. Thay x = 3/2: 25/9·(19683/512) - 3·(59049/1024) + 9/11·(177147/2048) ≈ 106.79 - 173.00 + 70.77 ≈ 4.56, nên V ≈ 4.56π < 5π. Đúng. b) Trên [2, 4] thì f(x) < 0 (f(2) = -16, f(4) = -1792), nên diện tích S = ∫₂⁴ (3x^5 - 5x^4) dx = [x^6/2 - x^5]₂⁴ = (2048 - 1024) - (32 - 32) = 1024. Đúng. c) ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ (5x^4 - 3x^5) dx = I - J, không phải I + J. Sai. d) I = ∫ₐᵇ 5x^4 dx = 5A, suy ra A = I/5 chứ không phải A = 5I. Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: DDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫₀^{3/2}(5x^4-3x^5)^2 dx ≈ 4.56π < 5π nên đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(x) < 0 trên [2,4], S = ∫₂⁴(3x^5-5x^4)dx = [x^6/2 - x^5]₂⁴ = 1024, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫ₐᵇ f(x)dx = I - J, không phải I + J, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
I = 5A nên A = I/5, không phải A = 5I, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_{-4}^{20}{f}^2(x)dx$. Ta có $f(x)=-\frac{1}{18}(x-20)(x+4)$, nên $f^2(x)=\frac{1}{324}{\left[(x-8{)}^2-144\right]}^2$. Đổi biến $u=x-8$, $u$ chạy từ $-12$ đến $12$: $V=\frac{\pi }{324}{\int }_{-12}^{12}(u^2-144{)}^{2}du=\frac{2\pi }{324}{\int }_0^{12}(u^4-288u^2+20736)du=\frac{\pi }{162}{\left[\frac{u^5}{5}-96u^3+20736u\right]}_0^{12}$. Tại $u=12$: $\frac{248832}{5}-165888+248832=132710.4$. Vậy $V=\frac{\pi }{162}\cdot 132710.4=819.2\pi \approx 2573.56\approx 2574c{m}^3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2574.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình thang cong giới hạn bởi $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a,x=b$ $(a<b)$ khi quay quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x$. Phương án A thiếu hệ số $\pi$, B thiếu bình phương, C là công thức diện tích. Vậy đáp án là D, khớp với bảng đáp án mã đề 1002 (Câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay tạo bởi đồ thị $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường $x=a$, $x=b$ quay quanh $Ox$ là $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Đây là công thức chuẩn trong SGK Toán 12. Đáp án khớp với mã đề 1001, Câu 2: A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi trục trống là trục Ox, gốc O tại giữa trống, chiều dài 100 cm nên x ∈ [−50; 50]. Bán kính tiết diện tại vị trí x là y(x). Vì mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh theo đường parabol nên y(x) = ax² + b. Tại giữa trống (x = 0), diện tích tiết diện 900π cm² nên y(0) = b = 30 (cm). Tại hai đáy (x = ±50), y = 20 (cm) nên 20 = a·2500 + 30 ⇒ a = −1/250. Vậy y(x) = 30 − x²/250. Thể tích: V = π∫₋₅₀⁵⁰ (30 − x²/250)² dx = 2π∫₀⁵⁰ (900 − (60/250)x² + x⁴/62500) dx = 2π[45000 − 10000 + 1000] = 72000π (cm³) = 72000π·10⁻⁶ m³ = 0,072π ≈ 0,2262 m³. Làm tròn đến hàng phần trăm: V ≈ 0,23 m³.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích mặt cắt tại hoành độ $x$ là $S(x)=\pi R^2=\pi \cos x$ (với $2\pi \le x\le \frac{5\pi }{2}$ thì $\cos x\ge 0$). Thể tích vật thể: $V={\int }_{2\pi }^{5\pi /2}\pi \cos xdx=\pi {\left[\sin x\right]}_{2\pi }^{5\pi /2}=\pi \left(\sin \frac{5\pi }{2}-\sin 2\pi \right)=\pi (1-0)=\pi$. Vậy đáp án A.