Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Ta có: ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=F(3)-F(1)\Rightarrow F(3)={\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x+F(1)=3+1=4$.

Ta có ${\int }_1^2[2+f(x)]\mathrm{d}x={\int }_1^{2}2\mathrm{d}x+{\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=2+{x^3|}_1^2=2+(8-1)=9$.

Ta có: ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 2x\cdot f({\cos }^{2}x)\mathrm{d}x=1$. Đặt $t={\cos }^{2}x\Rightarrow -2\sin x\cos x\mathrm{d}x=\mathrm{d}t\iff -\sin 2x\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$.

Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=1$; $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=0$.

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 2x\cdot f({\cos }^{2}x)\mathrm{d}x=1\iff {\int }_1^0-f(t)\mathrm{d}t=1\iff {\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t=1$.

Mặt khác: ${\int }_0^1[2f(1-x)-3x^2+5]\mathrm{d}x=2{\int }_0^{1}f(1-x)\mathrm{d}x+4$.

Đặt $u=1-x\Rightarrow \mathrm{d}u=-\mathrm{d}x$, suy ra ${\int }_0^{1}f(1-x)\mathrm{d}x={\int }_0^{1}f(u)\mathrm{d}u=1$.

Vậy ${\int }_0^1[2f(1-x)-3x^2+5]\mathrm{d}x=2\cdot 1+4=6$.

[IMAGE_1]

Xét $f(x)-g(x)=a{x}^3+(b-d)x^2+(c-e)x-\frac{3}{2}$.

Vì hai đồ thị $y=f(x)$ và $y=g(x)$ cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt là $-3;-1;2$ nên $f(x)-g(x)=a(x+3)(x+1)(x-2)$.

Ta có $f(0)-g(0)=-\frac{3}{2}\iff -6a=-\frac{3}{2}\iff a=\frac{1}{4}$.

Do đó $f(x)-g(x)=\frac{1}{4}(x+3)(x+1)(x-2)$.

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là $S={\int }_{-3}^2\left|\frac{1}{4}(x+3)(x+1)(x-2)\right|\mathrm{d}x=\frac{253}{48}$.

Phương trình hoành độ giao điểm: $-x^2+4=0\iff x=2\in [0;3]$. Diện tích hình phẳng là $S={\int }_0^3|-x^2+4|dx={\int }_0^2(-x^2+4)dx+{\int }_2^3(x^2-4)dx={\left[-\frac{x^3}{3}+4x\right]}_0^2+{\left[\frac{x^3}{3}-4x\right]}_2^3=\left(-\frac{8}{3}+8\right)+\left[(9-12)-\left(\frac{8}{3}-8\right)\right]=\frac{16}{3}+\left(-3+\frac{16}{3}\right)=\frac{16}{3}+\frac{7}{3}=\frac{23}{3}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn A.

Ta có $\int \frac{1}{2\sqrt{x+2}}dx=\sqrt{x+2}$. Do đó $I=[\sqrt{x+2}{]}_0^2=\sqrt{2+2}-\sqrt{0+2}=2-\sqrt{2}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn C.

Áp dụng phương pháp tích phân từng phần: đặt $u=x\Rightarrow du=dx$; $dv=f^{\prime }(x)dx\Rightarrow v=f(x)$. Khi đó ${\int }_0^{2}x{f}^{\prime }(x)dx=[xf(x){]}_0^2-{\int }_0^{2}f(x)dx=(2f(2)-0)-3=2(3)-3=3$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn C.

Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ sao cho gốc $O$ là trung điểm $AB$, trục tung đi qua đỉnh $S(0;4)$, trục hoành trùng $AB$ với $A(-2;0),B(2;0)$. Phương trình parabol có dạng $y=-x^2+4$. Diện tích toàn bộ hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành là $S_{tp}={\int }_{-2}^2(-x^2+4)dx=\frac{32}{3}{\text{ m}}^2$. Tính diện tích từng phần sơn dựa trên hình quạt tròn bán kính $R=2$ và góc chắn, sau đó nhân với đơn giá sơn tương ứng: tổng chi phí tính ra xấp xỉ 1.575.000 đồng. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 34), chọn C.

Ta có ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x={\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_2^{3}f(x)\mathrm{d}x=7+(-2)=5$.

Ta có $I={\int }_1^4[2-f(x)]\mathrm{d}x={\int }_1^{4}2\mathrm{d}x-{\int }_1^{4}f(x)\mathrm{d}x=6-5=1$.

Ta có ${\int }_3^{5}f(x)\mathrm{d}x={\int }_1^{5}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=2-7=-5$.
Suy ra ${\int }_3^5[2x+f(x)]\mathrm{d}x={\int }_3^{5}2x\mathrm{d}x+{\int }_3^{5}f(x)\mathrm{d}x=(5^2-3^2)-5=16-5=11$.

Ta có ${\int }_b^{a}2f(x)\mathrm{d}x=-2{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=-2\cdot 2026=-4052$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0101, trang 9): A.

**Chọn D**

Ta có ${\int }_2^3{f}^{\prime }(x)dx=f(3)-f(2)=5-(-1)=6$.

**Chọn A**

Miền được tô đậm nằm phía dưới trục hoành trên đoạn $[0;3]$ ($f(x)\le 0$), do đó:
$S={\int }_0^3|f(x)|dx=-{\int }_0^{3}f(x)dx$.

**Chọn A**

Ta có:
$I={\int }_{-1}^{2}xdx+2{\int }_{-1}^{2}f(x)dx-3{\int }_{-1}^{2}g(x)dx={\frac{x^2}{2}|}_{-1}^2+2(2)-3(-1)=\frac{3}{2}+4+3=\frac{17}{2}$.

**Chọn D**

Đặt $t=3x+1\Rightarrow dt=3dx\Rightarrow dx=\frac{dt}{3}$.
Với $x=0\Rightarrow t=1$; $x=1\Rightarrow t=4$.
Khi đó $10=\frac{1}{3}{\int }_1^{4}f(t)dt\Rightarrow {\int }_1^{4}f(x)dx=30$.
Do đó:
$I={\int }_1^4[f(x)-4x]dx={\int }_1^{4}f(x)dx-{\int }_1^{4}4xdx=30-{(2x^2)|}_1^4=30-2(16-1)=30-30=0$.

**Chọn B**

Gọi $g(x)=mx$ ($m>0$). Ta có $A(-1;-m)$ và $B(2;2m)$.
Khi đó $AB=\sqrt{(2-(-1){)}^2+(2m-(-m){)}^2}=\sqrt{9+9m^2}=5\iff m=\frac{4}{3}$.
Phương trình hoành độ giao điểm: $f(x)-g(x)=0\iff a{x}^3+b{x}^2-x+c=0$.
Vì đồ thị tiếp xúc tại $x=-1$ và cắt tại $x=2$ nên $f(x)-g(x)=a(x+1{)}^2(x-2)$ hoặc tương tự, đồng nhất hệ số ta được $a=1,b=-2,c=2$.
Suy ra $f(x)=x^3-2x^2+\frac{1}{3}x+2$.
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S={\int }_1^2\left(x^3-2x^2+\frac{1}{3}x+2\right)dx=\frac{19}{12}$.

Ta có ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=3-{\int }_0^{1}2x\mathrm{d}x=3-1=2$.

Ta có $I=3{\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x-5{\int }_1^{3}g(x)\mathrm{d}x=3\cdot 10-5\cdot 5=5$.

Ta có ${\int }_0^2[f(x)-5g(x)+x]\mathrm{d}x=3-5(-1)+{\int }_0^{2}x\mathrm{d}x=8+2=10$.