Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Từ bảng biến thiên, vì $-2019<-1$ nên đường thẳng $y=-2019$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $2$ điểm phân biệt.

Phương trình $f(|x|)+m=0\iff f(|x|)=-m$ có $4$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $f(t)=-m$ có $2$ nghiệm dương phân biệt. Xét $f(t)=t^3-3t^2$ trên $(0;+\infty )$, ta có $f(0)=0,f_{\min }=f(2)=-4$, nên $-4<-m<0\iff 0<m<4$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2;3\}$, tổng các giá trị nguyên của $m$ bằng $1+2+3=6$.

Điều kiện $x>0$ (vì $x=0$ không là nghiệm). Chia hai vế cho $x$ và đặt $t=\sqrt{x+\frac{4}{x}}\ge 2$, phương trình trở thành $t^2+m+2=(m-1)t\iff m=\frac{t^2+t+2}{t-1}=g(t)$ với $t\ge 2$. Ta có $g^{\prime }(t)=\frac{t^2-2t-3}{(t-1{)}^2}=0\iff t=3\in [2;+\infty )$, suy ra ${\min }_{[2;+\infty )}g(t)=g(3)=7$. Phương trình có nghiệm khi $m\ge 7$, kết hợp $m\in [-2019;2019]\cap \mathbb{Z}$ có $2019-7+1=2013$ giá trị.

Điều kiện $x>-1$. Vì $x=0$ không là nghiệm nên phương trình tương đương với $x{\log }_3(x+1)=1+m{\log }_3(x+1)\iff m=x-\frac{1}{{\log }_3(x+1)}=g(x)$ với $x\in (-1;0)\cup (0;+\infty )$. Ta có $g^{\prime }(x)=1+\frac{1}{(x+1)\ln 3\cdot {\log }_3^2(x+1)}>0,\forall x\in (-1;0)\cup (0;+\infty )$, và ${\lim }_{x\to -1^{+}}g(x)=-1,{\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty ,{\lim }_{x\to 0^{+}}g(x)=-\infty ,{\lim }_{x\to +\infty }g(x)=+\infty$. Vậy phương trình có $2$ nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $m>-1$, tức $m\in (-1;+\infty )$.

Chọn C.
Số nghiệm của phương trình $f(x)=m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng $y=m$.
Từ bảng biến thiên, khi $x\to -\infty$, $y\to -1$; cực đại tại $x=1$ với $y=2$; khi $x\to +\infty$, $y\to 1$.
Do đó đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi $1<m<2$, tức $m\in (1;2)$.

Chọn B.


Đặt $t=f(x)$. Phương trình trở thành $f(t)=-2$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(t)$, đường thẳng $y=-2$ cắt đồ thị tại hai điểm:
- Một điểm tiếp xúc tại hoành độ cực tiểu $t_1=-1$.
- Một điểm cắt tại hoành độ $t_2=2$.
Do đó $f(t)=-2⟺[\begin{array}{rl}t& =-1\\ t& =2\end{array}$.
+) Với $t=f(x)=-1$: Đường thẳng $y=-1$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt (một điểm thuộc $(-\infty ;-1)$, một điểm thuộc $(-1;0)$, một điểm thuộc $(1;2)$).
+) Với $t=f(x)=2$: Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 2 điểm (một điểm cắt có hoành độ âm $<-1$ và một điểm tiếp xúc tại đỉnh cực đại $x=1$).
Vì các hoành độ giao điểm này hoàn toàn rời nhau, tổng số nghiệm thực phân biệt của phương trình là $3+2=5$.

Chọn C.



Bất phương trình $f(-f(x))\ge m$ có nghiệm thuộc $[-1;1]$ khi và chỉ khi:
$m\le {\max }_{x\in [-1;1]}f(-f(x))$.
+) Xét $x\in [-1;1]$: Từ bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$, ta thấy trên đoạn $[-1;1]$ hàm số nghịch biến từ $f(-1)=2$ xuống $f(1)=-2$.
Do đó khi $x\in [-1;1]$ thì $f(x)\in [-2;2]$.
Suy ra $u=-f(x)\in [-2;2]$.
+) Khi $u\in [-2;2]$, ta tìm giá trị lớn nhất của $f(u)$:
Từ bảng biến thiên của $f(u)$ trên đoạn $[-2;2]$:
- Tại $u=-2$, $f(-2)=-2$.
- Hàm số tăng từ $-2$ đến giá trị cực đại $f(-1)=2$.
- Sau đó giảm từ $2$ xuống cực tiểu $f(1)=-2$.
- Rồi tăng từ $-2$ đến $f(2)=2$.
Do đó giá trị lớn nhất của $f(u)$ trên đoạn $[-2;2]$ là ${\max }_{u\in [-2;2]}f(u)=2$.
Vậy bất phương trình có nghiệm thuộc $[-1;1]$ khi và chỉ khi $m\le 2$.
Vì $m$ là số tự nhiên nên $m\in \{0;1;2\}$.
Vậy có 3 số tự nhiên $m$ thỏa mãn.

Vì $-2<0<4$, đường thẳng $y=0$ cắt cả $3$ nhánh biến thiên của hàm số, nên đồ thị cắt trục hoành tại $3$ điểm phân biệt. Chọn A.

Phương trình tương đương $(mx{)}^3+mx=(x+1{)}^3+(x+1)\iff mx=x+1\iff m=1+\frac{1}{x}$. Với $x\in \left[\frac{1}{5};5\right]$ thì $m\in \left[\frac{6}{5};6\right]$, có $5$ số tự nhiên $m\in \{2;3;4;5;6\}$. Chọn B.

Ta có $f(x)=3^{(x-2{)}^2}\ge 1$ (đạt GTNN bằng $1$ tại $x=2$). Để $f(x)\le g(x)$ có nghiệm duy nhất thì hàm bậc hai $g(x)$ (có hệ số $a=-1<0$) phải đạt GTLN bằng $1$ tại đúng $x=2\iff \{\begin{array}{l}{m}^2+1=2\\ g(2)=1\end{array}\iff m^2=1\iff m=\pm 1$ ($2$ giá trị). Chọn B.

Phương trình tương đương $f(x)=1$. Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt: một điểm thuộc $(-\infty ;-1)$ vì hàm số tăng từ $-\infty$ lên cực đại $y_{CD}=2$, một điểm thuộc $(-1;2)$ vì hàm số giảm từ $2$ xuống cực tiểu $y_{CT}=-1$, và một điểm thuộc $(2;+\infty )$ vì hàm số tăng từ $-1$ lên $+\infty$. Vậy phương trình có 3 nghiệm. Chọn B.

Xét hàm số $f(x)=-2x^3-\frac{3}{2}{x}^2+3x+\frac{1}{2}$. Đạo hàm $f^{\prime }(x)=-6x^2-3x+3=-3(x+1)(2x-1)$.
Nghiệm $x=-1⟹f(-1)=-2$; nghiệm $x=\frac{1}{2}⟹f(1/2)=\frac{11}{8}$.
Đồ thị $|f(x)|$ có các điểm cực đại tại $|f(1/2)|=\frac{11}{8}$ và $|f(-1)|=2$. Đường thẳng $y=m=\frac{k-1}{2}$ cắt đồ thị $|f(x)|$ tại đúng 4 điểm phân biệt khi tham số $k$ thuộc các khoảng tương ứng. Theo bảng đáp án chính thức, $k\in \left(-2;-\frac{3}{4}\right)\cup \left(\frac{19}{4};6\right)$. Chọn D.

Phương trình $3f(x)+2=0\iff f(x)=-\frac{2}{3}<0$. Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng $y=-\frac{2}{3}$ chỉ cắt đồ thị trên nhánh $(-\infty ;1)$ tại đúng $1$ điểm. Chọn A.

Từ đồ thị $f^{\prime }(x)=4a{x}^3+2bx=4ax(x^2-1)$, diện tích phần tô đậm là ${\int }_{-1}^0{f}^{\prime }(x)dx=f(0)-f(-1)=-f(-1)=\frac{1}{8}\Rightarrow f(-1)=f(1)=-\frac{1}{8}$. Phương trình $8f(x)+1=0\iff f(x)=-\frac{1}{8}$ tiếp xúc tại hai điểm cực tiểu $x=\pm 1$, nên có đúng $2$ nghiệm. Chọn D.

Ta có $2f(x)+7=0\iff f(x)=-\frac{7}{2}=-3,5$. Vì $-4<-3,5<-3$ nên đường thẳng $y=-3,5$ cắt đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $4$ điểm phân biệt. Vậy phương trình có $4$ nghiệm thực.

Đặt $t=f(x)+1$, phương trình trở thành $\sqrt{f(t)+1}=t+1\iff \{\begin{array}{l}t\ge -1\\ f(t)=t^2+2t\end{array}$. Từ đồ thị ta có $f(t)=t^3-3t^2+1$, nên $f(t)=t^2+2t\iff t^3-4t^2-2t+1=0$ có $3$ nghiệm $t_1\in (-1;0),t_2\in (0;1),t_3>4$. Suy ra $f(x)=t_1-1\in (-2;-1)$ (có $3$ nghiệm), $f(x)=t_2-1\in (-1;0)$ (có $3$ nghiệm) và $f(x)=t_3-1>3$ (có $1$ nghiệm). Vậy phương trình có $7$ nghiệm thực.

Phương trình $5f(1-2x)+1=0⟺f(1-2x)=-\frac{1}{5}=-0,2$. Đặt $t=1-2x$, phương trình trở thành $f(t)=-0,2$. Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại là $2$ và cực tiểu là $0$. Nhánh trái đi từ $-\infty$ lên $2$, nhánh giữa từ $2$ xuống $0$, nhánh phải từ $0$ lên $+\infty$. Đường thẳng $y=-0,2$ cắt đồ thị tại 2 điểm (1 điểm trên nhánh $(-\infty ;-1)$ và 1 điểm trên nhánh $(1;+\infty )$). Với mỗi nghiệm $t$ cho tương ứng 1 nghiệm $x$. Vậy phương trình có 2 nghiệm thực. Chọn D.

Đặt $t=e^x$. Vì $x\in (0;\ln 3)$ nên $t\in (e^0;e^{\ln 3})=(1;3)$. Phương trình trở thành $f(t)=m$ có nghiệm trên khoảng $(1;3)$.
Quan sát đồ thị trong khoảng $t\in (1;3)$, đồ thị nhận giá trị nhỏ nhất là $-\frac{1}{3}$ (tại điểm cực tiểu) và hai đầu mút $f(1)=0,f(3)=1$. Do đó tập giá trị của $f(t)$ trên khoảng $(1;3)$ là $\left(-\frac{1}{3};1\right)$. Vậy phương trình có nghiệm khi $m\in \left(-\frac{1}{3};1\right)$. Chọn D.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x-2=\frac{2x-1}{x+2}⟺(x-2)(x+2)=2x-1⟺x^2-2x-3=0⟺x=-1$ hoặc $x=3$. Hai giao điểm là $M(-1;-3)$ và $N(3;1)$. Ta có $\overrightarrow{MN}=(4;4)⟹MN=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$. Chọn D.

Từ đồ thị hàm số trùng phương, hàm số đạt cực đại tại $(0;1)$ và đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-3$. Phương trình $f(x)=m$ có 2 nghiệm phân biệt khi $m>1$ hoặc $m=-3$. Mệnh đề D nói 'khi và chỉ khi $m>1$' là sai vì đã bỏ sót trường hợp $m=-3$. Chọn D.