Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: trong hình bình hành, quy tắc hình bình hành cho $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. b) Sai: $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, không phải $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$. c) Sai: $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$, không phải hệ số $\frac{3}{2}$. d) Sai: $J$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, không phải $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm $BC$: $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$, không phải $\frac{3}{2}\overrightarrow{AD}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}=(-2;3),\vec{b}=(4;1)$. a) $\vec{a}-\vec{b}=(-6;2)$ nên $\vec{a}(\vec{a}-\vec{b})=12+6=18\ne 12$ → sai. b) $\vec{a}+\vec{b}=(2;4)$, $2\vec{a}-\vec{b}=(-8;5)$, tích vô hướng $=-16+20=4$ → đúng. c) $\vec{c}=(m;1)$ vuông góc $\vec{a}$ khi $-2m+3=0\Rightarrow m=\frac{1}{2}\ne \frac{3}{2}$ → sai. d) $\vec{d}=(x;y)$: $-2x+3y=4$, $4x+y=-2$. Từ phương trình thứ hai $y=-2-4x$, thay vào: $-2x-6-12x=4\Rightarrow x=-\frac{5}{7}$, $y=-2+\frac{20}{7}=\frac{6}{7}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}-\vec{b}=(-6;2)$ nên $\vec{a}(\vec{a}-\vec{b})=(-2)(-6)+3\cdot 2=18\ne 12$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}+\vec{b}=(2;4)$, $2\vec{a}-\vec{b}=(-8;5)$, tích vô hướng $=2(-8)+4\cdot 5=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{c}=(m;1)$ vuông góc $\vec{a}$ khi $-2m+3=0\Rightarrow m=\frac{1}{2}$, không phải $\frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $-2x+3y=4$, $4x+y=-2$ được $x=-\frac{5}{7},y=\frac{6}{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0), B(a;0), C(a;a), D(0;a), O(a/2; a/2).
a) Vì DC = AB nên AB·DC = |AB|² = a², không phải 2a² → Sai.
b) AB = (a;0), OC = (a/2; a/2) nên AB·OC = a²/2 ≠ a² → Sai.
c) CA = (−a;−a), OC = (a/2; a/2) nên CA·OC = −a²/2 − a²/2 = −a² → Đúng.
d) AB + AD = AC = (a;a); BC = (0;a), BD = (a;a) nên BC + BD = (a;2a). Tích vô hướng = a² + 2a² = 3a² ≠ a² → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì DC = AB nên AB·DC = |AB|² = a² ≠ 2a².
b) (AI giải đề cho tôi)
AB·OC = (a;0)·(a/2; a/2) = a²/2 ≠ a².
c) (AI giải đề cho tôi)
CA·OC = (−a;−a)·(a/2; a/2) = −a²/2 − a²/2 = −a².
d) (AI giải đề cho tôi)
AB + AD = AC = (a;a); BC + BD = (0;a) + (a;a) = (a;2a); tích vô hướng = a² + 2a² = 3a² ≠ a².

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=\overrightarrow{AB},\vec{b}=\overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{BC}=\vec{b}-\vec{a}$. Do $BD=DE=EC$ nên $D,E$ chia $BC$ thành 3 phần bằng nhau, và $F$ nằm trên tia đối của tia $CB$ với $CF=\frac{1}{3}BC$ (nghĩa là $F$ nằm ngoài đoạn $BC$, phía sau $C$).

1) $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}(\vec{b}-\vec{a})$.

2) $\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}(\vec{b}-\vec{a})$.

3) $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}=(\vec{b}-\vec{a})+\frac{1}{3}(\vec{b}-\vec{a})=\frac{4}{3}(\vec{b}-\vec{a})$.

4) $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\vec{a}+\frac{1}{3}(\vec{b}-\vec{a})=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$.

5) $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\vec{a}+\frac{2}{3}(\vec{b}-\vec{a})=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}$.

6) $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\vec{a}+\frac{4}{3}(\vec{b}-\vec{a})=-\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{4}{3}\vec{b}$.

Kiểm tra: với $\vec{a}=\vec{0}$ (tâm $B$), các vectơ đều tỉ lệ với $\vec{b}$ theo hệ số $\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3}$ — đúng theo vị trí điểm trên đường thẳng $BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3.
1) Ta có $\overrightarrow{KA}+3\overrightarrow{KC}=\vec{0}\Rightarrow \overrightarrow{KA}=-3\overrightarrow{KC}$. Hai vectơ $\overrightarrow{KA}$ và $\overrightarrow{KC}$ ngược hướng nên K nằm giữa A và C, với $KA=3KC$. Vì $AC=KA+KC=4KC$ nên $KC=\frac{1}{4}AC$, $AK=\frac{3}{4}AC$, tức $\overrightarrow{AK}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$ (K chia đoạn AC theo tỉ số $\frac{\overrightarrow{KA}}{\overrightarrow{KC}}=-3$).
Kiểm tra: $\overrightarrow{KA}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{KC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$, khi đó $\overrightarrow{KA}+3\overrightarrow{KC}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}=\vec{0}$.
Vậy K là điểm trên đoạn AC sao cho $\overrightarrow{AK}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.

2) Gọi I là trung điểm của BC thì $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$. Điều kiện trở thành $2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MI}=\vec{0}\Rightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MI}=\vec{0}\Rightarrow \overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MI}$, tức M là trung điểm của đoạn AI. Vậy M là trung điểm của đoạn AI, với I là trung điểm của BC.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ (Hình 4.19), góc giữa hai lực ${\vec{F}}_1$ và ${\vec{F}}_2$ là $120^{\circ }$, với $|{\vec{F}}_1|=3$ N, $|{\vec{F}}_2|=2$ N.

Ta có:
$${\left|{\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2\right|}^2={\left|{\vec{F}}_1\right|}^2+{\left|{\vec{F}}_2\right|}^2+2\left|{\vec{F}}_1\right|\left|{\vec{F}}_2\right|\cos 120^{\circ }$$
$$=3^2+2^2+2\cdot 3\cdot 2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=9+4-6=7$$

Vậy độ lớn hợp lực là $\left|{\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2\right|=\sqrt{7}$ N $\approx 2,65$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$ thỏa mãn $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$ (C đúng) và với mọi điểm $O$: $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$ (B đúng). Từ đó, với $O=A$: $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$ nên D đúng. Do đó mệnh đề A với hệ số $\frac{2}{3}$ là sai. Khớp đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: I nằm trên cạnh $BC$ với $BI=4IC$.
a) Sai. Vì I nằm giữa B và C nên hai vectơ $\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{IC}$ ngược hướng.
b) Đúng. Hai vectơ ngược hướng và $IB=4IC$ nên $\overrightarrow{IB}=-4\overrightarrow{IC}$.
c) Sai. $\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AC}$, khác $\overrightarrow{CA}$.
d) Đúng. Với $BI=4IC$, ta có $\overrightarrow{IB}=-4\overrightarrow{IC}$, suy ra $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}$ (điểm I chia đoạn BC theo tỉ số $\frac{IB}{IC}=4$).
a) (AI giải đề cho tôi)
I nằm giữa B và C nên $\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{IC}$ ngược hướng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ ngược hướng, độ dài $IB=4IC$ nên $\overrightarrow{IB}=-4\overrightarrow{IC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{IB}=-4\overrightarrow{IC}$: $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật ABCD, AB=2a, AD=a, góc A vuông. a) DA+DC = DB (quy tắc hình bình hành tại D), nên |DA+DC| = |DB| = √(AB²+AD²) = √(4a²+a²) = √5·a → đúng. b) AB là vectơ, không thể bằng số 2a; chỉ có độ dài |AB| = 2a → sai. c) Độ dài vectơ AD là |AD| = AD = a, không phải √a → sai. d) CA − CD = DA (vì CA = CD + DA). Mà DA = CB (hai vectơ bằng nhau vì AD ∥ BC, AD = BC, cùng hướng từ D→A và C→B). Vậy CA − CD = CB → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
DA + DC = DB nên |DA+DC| = |DB| = √(AB²+AD²) = √(4a²+a²) = √5·a.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB là vectơ, không so sánh được với số 2a; chỉ có |AB| = 2a.
c) (AI giải đề cho tôi)
Độ dài vectơ AD là |AD| = a, không phải √a.
d) (AI giải đề cho tôi)
CA − CD = DA = CB vì DA = CB (AD ∥ BC, AD = BC, cùng hướng).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$.
a) Đúng. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ được kí hiệu là $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ (hoặc $AB$).
b) Sai. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là hai vectơ kề nhau có điểm chung $B$ nhưng không cùng nằm trên một đường thẳng (vì $ABCD$ là hình bình hành, $AB$ và $BC$ là hai cạnh kề không song song), nên chúng không cùng phương.
c) Đúng. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$ và $AB=CD$, hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng (cùng đi từ cạnh trái sang cạnh phải), do đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
d) Đúng. Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Vì $O$ là tâm hình bình hành nên $O$ là trung điểm của $AC$, suy ra $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$. Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AO}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ được kí hiệu là $\left|\overrightarrow{AB}\right|$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là hai cạnh kề của hình bình hành, không cùng nằm trên một đường thẳng nên không cùng phương.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, $AB=CD$ và $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng, do đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$ vì $O$ là trung điểm $AC$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi M là trung điểm BC thì $\vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$. Vì tam giác ABC đều cạnh $2a$ nên AM là đường cao: $AM=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$. Suy ra $|\vec{u}|=2AM=2a\sqrt{3}$. Kiểm tra: $|\vec{u}{|}^2=A{B}^2+A{C}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4a^2+4a^2+2\cdot 4a^2\cos 60^{\circ }=12a^2$, nên $|\vec{u}|=2a\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Độ lớn hợp lực: $F=\sqrt{60^2+80^2+2\cdot 60\cdot 80\cos 60^{\circ }}=\sqrt{3600+6400+4800}=\sqrt{14800}=20\sqrt{37}\approx 121,7N$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$ nên theo tính chất đường trung bình của tam giác: $\overline{MN}=\frac{1}{2}\overline{BC}$. Do đó $\overline{MN}$ cùng hướng với $\overline{BC}$ và ngược hướng với $\overline{CB}$, tức $\overline{MN}$ và $\overline{CB}$ là hai vectơ đối nhau. Đồng thời $|\overline{MN}|=\frac{1}{2}|\overline{BC}|\ne |\overline{BC}|$ và $\overline{MN}\ne \overline{BC}$ (khác độ dài). Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 Phần II: a) Sai vì M là trung điểm AC nên MA + MC = vectơ không. b) Đúng theo quy tắc hiệu: AB - AC = CB. c) Đúng: BM = ½(BA + BC) (M trung điểm AC), C là trung điểm BN nên BC = ½BN, suy ra BM = ½BA + ¼BN. d) Đúng: Chọn B làm gốc, đặt BA = a, BC = c thì BN = 2c, BM = (a+c)/2. P trên AN: BP = (1-s)a + s·2c. Vì B, M, P thẳng hàng: BP = t·BM = (t/2)a + (t/2)c. So sánh: t/2 = 1-s và t/2 = 2s ⇒ s = t/4, t/2 + t/4 = 1 ⇒ t = 4/3. Vậy BP = (2/3)a + (2/3)c = (2/3)BA + (1/3)BN.
a) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm AC nên MA + MC = vectơ không, không phải AC.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB - AC = CB theo quy tắc hiệu hai vectơ cùng gốc A.
c) (AI giải đề cho tôi)
BM = ½(BA + BC) vì M trung điểm AC; BC = ½BN vì C trung điểm BN; suy ra BM = ½BA + ¼BN.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với B làm gốc, BA = a, BC = c, BN = 2c, BM = (a+c)/2. P trên AN: BP = (1-s)a + 2s·c. BP cùng phương BM: BP = t(a+c)/2 ⇒ t/2 = 1-s, t/2 = 2s ⇒ t = 4/3. Vậy BP = (2/3)BA + (2/3)BC = (2/3)BA + (1/3)BN.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat{ACB}=30^{\circ }$ nên $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ và $BA=BC\cos 60^{\circ }=6a\cdot \frac{1}{2}=3a$. Khi đó $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|BA|\cdot |BC|\cos \widehat{ABC}=3a\cdot 6a\cdot \cos 60^{\circ }=18a^2\cdot \frac{1}{2}=9a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ nên độ dài bằng $a\ne 2a$ → sai. b) $\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CG}$; đường trung tuyến từ $C$ có độ dài $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, mà $CG=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$ → sai. c) Gọi $M$ trung điểm $BC$ thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$, $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên độ dài bằng $a\sqrt{3}$ → đúng. d) $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$ theo quy tắc ba điểm → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}$, độ dài bằng $a\ne 2a$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$ với $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, nên độ dài bằng $a\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên cạnh $BC$ với $MB=2MC$ nên $\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MC}$, tức $\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$. Do đó $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Vậy $m=\frac{1}{3}$, $n=\frac{2}{3}$ và $m+n=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }A}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$, $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$. Do đó $\vec{u}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (quy tắc hình hộp với ba vectơ kề xuất phát từ $A$). Vậy đáp án A.