Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình bình hành $ABCD$, khi đó $O$ là trung điểm chung của $AC$ và $BD$. Ta có $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}$ và $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}$. Vậy $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$, đáp án A. Các phương án B, C, D sai vì $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=2\overrightarrow{SM}$ với $M$ trung điểm $AB$, khác $2\overrightarrow{SN}$ với $N$ trung điểm $CD$; còn $\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{DA}$ nên C sai; tương tự $\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{CA}$ còn $\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{DB}\ne \overrightarrow{CA}$ nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: A đúng vì quy tắc ba vectơ đồng xuất tại $B$: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ (đường chéo khối hộp). B đúng vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, cộng $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ được $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. C đúng vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, cộng $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ được $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. D sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ còn $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$, mà $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{D}^{\prime }}$. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ có 4 đỉnh. Một vectơ được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh phân biệt, nên số vectơ khác vectơ-không là $4\cdot 3=12$ (mỗi đỉnh làm điểm đầu có 3 lựa chọn điểm cuối). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ cạnh 2. Tại đỉnh $A$, góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$ bằng $60^{\circ }$, nên $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$ tạo với $\overrightarrow{AB}$ góc $120^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{AB}|\cos 120^{\circ }=2\cdot 2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-2$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ cạnh $a$, góc $A=60^{\circ }$. Đường chéo $AC$ đối diện góc $B=120^{\circ }$ nên $A{C}^2=a^2+a^2-2a^2\cos 120^{\circ }=3a^2$, suy ra $AC=a\sqrt{3}$. Vì $O$ là tâm hình thoi nên $O$ là trung điểm $AC$, do đó $|\overrightarrow{OA}|=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức với các điểm phân biệt $A,B,C,D$:
- A: $\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$, không rút gọn về $\overrightarrow{AD}$.
- B: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$. Đúng.
- C: $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}$, không bằng $\overrightarrow{AD}$.
- D: $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AB}$, không bằng $\overrightarrow{AD}$.
Vậy đẳng thức đúng là phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $BD$. Trong hình bình hành $ABCD$, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $M$ cũng là trung điểm của $AC$. Theo quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CM}$. Vì $M$ là trung điểm $AC$ nên $2\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}$. Vậy $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với ba vectơ khác vectơ-không: (A) Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán nên $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ luôn đúng. (B) Vectơ-không là phần tử trung hòa của phép cộng nên $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$ đúng. (C) Phép cộng vectơ có tính chất kết hợp nên $\left(\vec{a}+\vec{b}\right)+\vec{c}=\vec{a}+\left(\vec{b}+\vec{c}\right)$ đúng. (D) Tích vô hướng $\vec{0}\cdot \vec{a}$ là một số (bằng $0$), không phải một vectơ, nên viết $\vec{0}\cdot \vec{a}=\vec{0}$ (đẳng thức giữa số và vectơ) là sai về bản chất; dạng đúng phải là $\vec{0}\cdot \vec{a}=0$. Vậy mệnh đề sai là D, phù hợp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vật chuyển động ngược chiều nhau (vật 1 từ C đến D, vật 2 từ D đến C) nên hai vectơ vận tốc $\overrightarrow{v_1}$ và $\overrightarrow{v_2}$ ngược hướng, do đó $\overrightarrow{v_1}=k\overrightarrow{v_2}$ với $k<0$. Về độ lớn: $|k|=\frac{|\overrightarrow{v_1}|}{|\overrightarrow{v_2}|}=\frac{12}{5}=2,4$. Vậy $k=-\frac{12}{5}=-2,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác đều $ABC$, góc trong tại đỉnh $C$ bằng $60^0$, tức góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{CA}$ bằng $60^0$. Hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AC}$ lần lượt ngược hướng với $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{CA}$, nên góc giữa chúng bằng $180^0-60^0=120^0$. Vậy $\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\right)=120^0$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng bằng 0: $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$. Với $\vec{u}=(2;4)$ và $\vec{v}=(8;m)$, ta có $\vec{u}\cdot \vec{v}=2\cdot 8+4\cdot m=16+4m$. Giải $16+4m=0\Rightarrow m=-4$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vật đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}$, do đó $|\overrightarrow{F_3}|=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|$. Theo hình vẽ, $\overrightarrow{F_3}$ đối chiều với tổng $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$. Ta có $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=100^2+100^2+2\cdot 100\cdot 100\cos 60^{\circ }=30000$, nên $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|=100\sqrt{3}\approx 173,2$ N. Vậy cường độ $\overrightarrow{F_3}\approx 173$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với $A(0;0)$, $B(4;0)$, $D(0;3)$, $C(4;3)$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=(4;3)$ và $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}=(4k;0)$ nên $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}=(4k;-3)$. Hai đường thẳng $AC$ và $DM$ vuông góc khi và chỉ khi $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}=0$, tức $4\cdot 4k+3\cdot (-3)=16k-9=0$, suy ra $k=\frac{9}{16}$. Kiểm tra lại bằng vectơ: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{DM}=k\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$, nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}=k|\overrightarrow{AB}{|}^2+(k-1)\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-|\overrightarrow{AD}{|}^2=16k-9=0$ (do $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$), cho cùng kết quả $k=\frac{9}{16}$. Vậy $k=\frac{9}{16}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, theo quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với cạnh huyền $BC=12$ nên $AM=\frac{BC}{2}=6$. Do đó $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}\right|=2\cdot AM=2\cdot 6=12$. Chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$. Do đó $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{2}\left(-A{B}^2+0\right)=-\frac{a^2}{2}$, vì $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{AC}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$ (quy tắc hình bình hành trên đáy $ABCD$). Sau đó $\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{D{B}^{\prime }}$ (vì $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }=D{D}^{\prime }$). Vậy $\overrightarrow{D{B}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}+\overrightarrow{DC}$, tức đáp án D. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ chứ không phải $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$; B sai vì $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{DB}$; C sai vì $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$, không bằng $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ta có $\vec{a}+\vec{c}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}$ và $\vec{b}+\vec{d}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$. Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình bình hành, khi đó $O$ là trung điểm cả $AC$ lẫn $BD$. Với mọi điểm $S$: $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}$ và $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}$. Suy ra $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$. Khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn (đề 0102, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, hai vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ cùng đi từ điểm dưới lên điểm trên tương ứng, cùng hướng và cùng độ dài (bằng cạnh lập phương), nên $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$.

Kiểm tra các phương án khác:
- A: $\overrightarrow{A^{\prime }C}$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ là hai đường chéo khác nhau của lập phương, không cùng phương nên không bằng nhau.
- C: $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CB}$ ngược hướng nhau ($\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$), nên sai.
- D: $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ ngược hướng nhau ($\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$), nên sai.

Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$ (đoạn $AB$ song song, bằng và cùng hướng với $DC$... xét $\overrightarrow{BA}$: từ $B$ đến $A$ cùng hướng với từ $C$ đến $D$). Vậy a) Đúng.
b) $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AD}$. Vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CB}$ nên hai vế đối nhau, không bằng nhau. Vậy b) Sai.
c) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$ (quy tắc hiệu), không phải $\overrightarrow{BD}$. Vậy c) Sai.
d) $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}$. Hai vế cùng bằng $\overrightarrow{AC}$. Vậy d) Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$ vì $ABCD$ là hình bình hành ($AB\parallel CD$, $AB=CD$ và cùng hướng từ $B\to A$ tương ứng $C\to D$).
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CB}$, còn $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CB}$. Hai vế đối nhau nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hiệu, $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}\ne \overrightarrow{BD}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}$, hai vế bằng nhau nên đúng.