Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$ (A đúng). Do đó $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GA}\ne \vec{0}$ vì $A\ne G$, nên B sai. C đúng vì $\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{AB}$. D đúng theo tính chất trọng tâm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$. Vậy phát biểu sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên cạnh $BC$ với $MB=2MC$ nên $\overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{CM}$, tức $M$ chia đoạn $BC$ theo tỉ số $\frac{\overrightarrow{MB}}{\overrightarrow{MC}}=-2$. Theo công thức chia đoạn thẳng: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{1+2}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{1+2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Vậy $k=\frac{1}{3}$, $h=\frac{2}{3}$, do đó $h+k=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$. (Kiểm tra: tổng hai hệ số bằng 1 đúng với điểm nằm trên đường thẳng $BC$.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}$. Trong hình hộp, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và vì $M$ là trung điểm $C{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Vậy $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, trùng với đáp án A (khớp đáp án nguồn trang 19).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A_1{C}_1\parallel AC$ nên góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A_1{C}_1}$ bằng góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Trong hình vuông $ABCD$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên góc giữa hai đường chéo cạnh... cụ thể $\widehat{BAC}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai vectơ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0),B(2;0),D(0;2),C(2;2)$, khi đó $M(1;0)$. Đường thẳng $DM$ qua $(0;2)$ và $(1;0)$ có phương trình $y=2-2x$; đường thẳng $AC$ là $y=x$. Giao điểm $I$: $x=2-2x\Rightarrow x=\frac{2}{3}$, nên $I\left(\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$. Suy ra $\overrightarrow{CI}=\left(-\frac{4}{3};-\frac{4}{3}\right)=2\left(-\frac{2}{3};-\frac{2}{3}\right)=2\overrightarrow{IA}$. Vậy mệnh đề đúng là A. Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ nên B, D sai; $\overrightarrow{CI}=-2\overrightarrow{AI}$ nên C sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, nên $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}$. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$, do đó ${\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right|}^2=A{B}^2+4A{D}^2=(4a{)}^2+4a^2=20a^2$, suy ra $\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right|=2\sqrt{5}a$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IB}$ suy ra $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$. Chọn điểm $O$ tùy ý: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OI}+2(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OI})=\overrightarrow{0}\Rightarrow 3\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$, tức $I$ nằm giữa $A$ và $B$ với $\frac{IA}{IB}=2$. Do đó $\overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$. Khi đó $\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, suy ra góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ (là góc $B$ của tam giác) bằng $60^0$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(a;a)$, $D(0;a)$, khi đó $M(a;\frac{a}{2})$. Suy ra $\overrightarrow{AM}=(a;\frac{a}{2})$, $\overrightarrow{BD}=(-a;a)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BD}=-a^2+\frac{a^2}{2}=-\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ: $\overrightarrow{AB}=(-4-1;2-(-1))=(-5;3)$; $\overrightarrow{BC}=(3-(-4);0-2)=(7;-2)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=(-5)(7)+3(-2)=-35-6=-41$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\vec{a}=(-2;3),\vec{b}=(4;1)$:
a) $\vec{a}-\vec{b}=(-6;2)$, nên $\vec{a}(\vec{a}-\vec{b})=(-2)(-6)+3\cdot 2=18\ne 12$ → sai.
b) $\vec{a}+\vec{b}=(2;4)$, $2\vec{a}-\vec{b}=(-8;5)$, tích vô hướng $=2(-8)+4\cdot 5=4$ → đúng.
c) $\vec{c}=(m;1)$, $\vec{a}\cdot \vec{c}=-2m+3=0\Rightarrow m=\frac{3}{2}$ → đúng.
d) $\vec{d}=(x;y)$: $-2x+3y=4$, $4x+y=-2\Rightarrow y=-2-4x$, thay vào: $-2x-6-12x=4\Rightarrow x=-\frac{5}{7},y=\frac{6}{7}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}-\vec{b}=(-6;2)$, $\vec{a}(\vec{a}-\vec{b})=12+6=18\ne 12$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}+\vec{b}=(2;4)$, $2\vec{a}-\vec{b}=(-8;5)$, tích vô hướng $=-16+20=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{c}=(m;1)$ vuông góc $\vec{a}$ khi $-2m+3=0\Rightarrow m=\frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $-2x+3y=4,4x+y=-2$ được $x=-\frac{5}{7},y=\frac{6}{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ cạnh 2, góc $B=60^{\circ }$ nên góc $D=60^{\circ }$, góc $A=$ góc $C=120^{\circ }$.
a) Đường chéo $AC$ là phân giác góc $A=120^{\circ }$ nên góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{\circ }$: đúng.
b) Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ bằng $120^{\circ }$, nên góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DA}$ bằng $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }\ne 30^{\circ }$: sai.
c) Góc giữa $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DC}$ là góc $D=60^{\circ }$, nên $\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DC}=2\cdot 2\cdot \cos 60^{\circ }=2\ne 3$: sai.
d) Gọi $O$ giao hai đường chéo: $BD=2\cdot 2\sin 60^{\circ }=2\sqrt{3}$ nên $OB=\sqrt{3}$; góc $ABD=30^{\circ }$ nên góc giữa $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{BA}$ bằng $180^{\circ }-30^{\circ }=150^{\circ }$, do đó $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{BA}=\sqrt{3}\cdot 2\cdot \cos 150^{\circ }=2\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-3$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường chéo $AC$ phân giác góc $A=120^{\circ }$ nên $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=60^{\circ }$: đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DA}$ bằng $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }\ne 30^{\circ }$: sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc $D=60^{\circ }$ nên $\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DC}=2\cdot 2\cdot \cos 60^{\circ }=2\ne 3$: sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$OB=\sqrt{3}$, góc giữa $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{BA}$ bằng $150^{\circ }$, tích vô hướng $=\sqrt{3}\cdot 2\cdot \cos 150^{\circ }=-3$: đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $B(0;0),A(4a;0),C(0;3a)$. Khi đó $M$ trung điểm $AB$ là $M(2a;0)$, trọng tâm tam giác $ACM$ là $G\left(\frac{4a+0+2a}{3};\frac{0+3a+0}{3}\right)=(2a;a)$.

a) $\overrightarrow{CM}=(2a;-3a)$, còn $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BC}=(2a;0)-(0;9a)=(2a;-9a)\ne \overrightarrow{CM}$. Sai.

b) $\overrightarrow{BG}=(2a;a)$, còn $\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=(6a;0)+(0;a)=(6a;a)$. Chờ đã, kiểm tra lại: $\frac{3}{2}\cdot 4a=6a\ne 2a$. Vậy $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$, không phải $\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}$. Sai.

c) $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{BA}$, do đó $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=0$. Đúng.

d) $\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}=(2a)(2a)+(a)(-3a)=4a^2-3a^2=a^2\ne -a^2$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CM}=(2a;-3a)$ nhưng $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BC}=(2a;-9a)$, hai vectơ không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BG}=(2a;a)$ nhưng $\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=(6a;a)$. Đúng ra $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{BA}$, tích vô hướng bằng $0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}=(2a)(2a)+(a)(-3a)=a^2\ne -a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$ (ngược hướng).
b) Sai: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$, và $|\overrightarrow{DB}|=a\sqrt{2}\ne 4a$ (đường chéo hình vuông cạnh $a$).
c) Đúng: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ (cùng hướng, cùng độ dài $a$), nên $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{BC}{|}^2=a^2$.
d) Đúng: G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$ (vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$ nên $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|=a\sqrt{2}\ne 4a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}=a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(10;-5)$, $\overrightarrow{BE}=(a-7;a-b+1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BE}=10(a-7)-5(a-b+1)=10a-70-5a+5b-5=5a+5b-75=2025$. Suy ra $5(a+b)=2100$, tức $a+b=420$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0), B(1;0), C(0;2) (góc vuông tại A), I(0,5;0) trung điểm AB.
a) I là trung điểm AB nên IA + IB = 0. Đúng.
b) CA = (0;-2), CB = (1;-2), IC = (0;2). Tổng = (1;-2), độ dài = √5 ≠ √17/2. Sai.
c) DA = BC nên AD = CB = (1;-2). Khi đó ½AD + ½AC = (0,5;-1) + (0;1) = (0,5;0) = IB. Đúng.
d) IA có hướng từ I đến A (ngược chiều trục), AB có hướng từ A đến B (cùng chiều trục), nên hai vectơ ngược hướng. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm AB nên IA + IB = 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với A(0;0), B(1;0), C(0;2), I(0,5;0): CA+CB+IC = (0;-2)+(1;-2)+(0;2) = (1;-2), độ dài bằng √5, không bằng √17/2.
c) (AI giải đề cho tôi)
AD = CB = (1;-2), nên ½AD + ½AC = (0,5;-1)+(0;1) = (0,5;0) = IB.
d) (AI giải đề cho tôi)
I nằm giữa A và B nên IA ngược hướng với AB.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ với $D$ là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật $ABDC$, do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=AD=BC$ (hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau) $=14$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 1,5 giờ, vị trí tàu là $A+1,5\vec{v}=(1;2)+1,5(3;4)=(1+4,5;2+6)=(5,5;8)$. Vậy $a=5,5$, $b=8$, nên $2a+b=11+8=19$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ câu 8, ba điểm A, I, B thẳng hàng theo thứ tự A - I - B. Trên đoạn thẳng, từ A đến I có 2 khoảng bằng nhau và từ I đến B có 3 khoảng bằng nhau, nên về độ dài $IA=\frac{2}{3}IB$. Vì I nằm giữa A và B nên hai vectơ $\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{IB}$ ngược hướng, do đó $\overrightarrow{IA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{IB}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: góc ABC = 60° nên AB và BC không cùng phương. b) Đúng: CA − CB = BA (quy tắc hiệu vectơ, cùng xuất phát từ C). c) Đúng: M trung điểm BC nên AM = ½(AB + AC) (tính chất trung điểm trong công thức trung bình cộng vectơ). d) Đúng: AB + BC = AC, theo định lí cosin AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos60° = 4a² + 16a² − 8a² = 12a², nên |AC| = 2a√3.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì góc ABC = 60° ≠ 0° và 180° nên AB và BC không cùng phương.
b) (AI giải đề cho tôi)
CA − CB = BA theo quy tắc hiệu hai vectơ cùng xuất phát từ C.
c) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm BC nên AM = ½(AB + AC), do đó ½AB + ½AC = AM.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB + BC = AC. Theo định lí cosin: AC² = 4a² + 16a² − 2·2a·4a·cos60° = 12a², nên |AB + BC| = 2a√3.