Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Cho các số phức $z_1=-2+i$, $z_2=2+i$ và số phức $z$ thay đổi thỏa mãn $|z-z_1{|}^2+|z-z_2{|}^2=16$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|z|$. Giá trị biểu thức $M^2-m^2$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABCD$ có $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(2;2;0)$, $D(0;2;0)$, $S(0;0;2)$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$, $M$ là điểm thuộc miền trong của tứ giác $ABCD$ sao cho tia $MG$ cắt mặt bên $SAB$ của hình chóp tại $N$. Khi biểu thức $Q=\frac{MG}{NG}+\frac{NG}{MG}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì điểm $M$ chạy trên một đoạn thẳng, đường thẳng chứa đoạn thẳng đó đi qua điểm nào sau đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;0;0)$, $B(1;2;0)$. Xét điểm $C$ thuộc trục $Oz$, gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BC$. Biết rằng khi $C$ thay đổi thì $H$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $P(7;9;0)$, $Q(0;8;0)$, $R(-5;-7;0)$. Điểm $M$ di chuyển trong không gian thoả mãn $\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{MR}+75=0$. Giá trị nhỏ nhất của $MP+2MQ$ bằng

Gọi $S$ là tập hợp các số thực $m$ sao cho phương trình $z^2+2mz+m+1=0$ có hai nghiệm phức $z_1,z_2$ và các điểm biểu diễn của $z_1,z_2$ cùng với gốc tọa độ $O$ tạo thành một tam giác vuông. Tổng tất cả các phần tử của $S$ bằng:

Xét hai số phức $z_1$ và $z_2$ thỏa mãn $|z_1|=3;|z_2|=2$ và $|z_1-z_2|=\sqrt{13}$. Giá trị nhỏ nhất của $|z_1+2z_2+3i|$ bằng

Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z|=1$ và $|w|=5$. Khi $|2z+w-6+8i|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của $|z-w|$ bằng

Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|3z-4i|=|6+2iz|$ và $(w-3+4i)(\bar{w}+3+4i)$ là số thuần ảo. Khi $|z-w|=3\sqrt{2}$, giá trị của $|2z+w|$ bằng

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là $1\text{ km}$), coi mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$. Một máy bay phản lực xuất phát từ vị trí $B(2;-1;0)$ và bay thẳng với vận tốc $v(t)=-\frac{1}{1200}{t}^2+\frac{1}{2}t+10\text{ (m/s)}$ theo hướng véc tơ $\vec{u}=(2;2;1)$. Một trạm ra đa đặt tại điểm $A(1;2;0)$ với bán kính quét tối đa là $100\text{ km}$. Khi máy bay đến vị trí $C$ có độ cao $6\text{ km}$ so với mặt đất thì máy bay sẽ chuyển động thẳng đều theo hướng thoát ra khỏi vùng giám sát của ra đa nhanh nhất (giữ nguyên vận tốc tại thời điểm ở vị trí $C$). Tính thời gian máy bay di chuyển từ lúc xuất phát cho đến khi thoát ra khỏi vùng giám sát của ra đa. (Theo đơn vị phút, làm tròn đến hàng phần chục).

Trong không gian, cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$, $M$ là điểm thay đổi trên $SO$. Khi biểu thức $P=M{S}^2+M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất thì tỉ số $\frac{SM}{SO}$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(5;0;0)$, $B(3;4;0)$ và điểm $C$ nằm trên trục $Oz$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$. Khi $C$ di chuyển trên trục $Oz$ thì $H$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của đường tròn đó, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hình vuông $ABCD$ có $B(3;0;8)$, $D(-5;-4;0)$. Biết đỉnh $A$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ và có tọa độ là những số nguyên, điểm $M(x;y;z)$ thuộc đường thẳng $CD$ sao cho $|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $x-y+z$.

Câu 9. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, biết $AB=SA=a$; $SA\perp (ABCD)$. Điểm $M$ trên cạnh $BD$, điểm $N$ trên cạnh $SC$ thỏa mãn $\frac{BM}{BD}=\frac{SN}{SC}$ và độ dài đoạn thẳng $MN$ nhỏ nhất. Khi đó, nếu $\overrightarrow{MN}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AD}+p\overrightarrow{AS}$ thì $T=m+n+2p$ bằng

Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(2t;2t;0)$, $B(0;0;t)$ với $t>0$. Cho điểm $P$ di động thỏa mãn $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{BP}+\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=3$. Biết rằng có giá trị $t=\frac{a}{b}$ với $a,b$ nguyên dương và $\frac{a}{b}$ tối giản sao cho $OP$ đạt giá trị lớn nhất là $3$. Tính giá trị $Q=2a+b$?

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(3;2;6)$, $B(3;-1;0)$, $C(0;7;3)$, $D(-2;1;6)$. Gọi $M(a;b;c)$ thuộc đường thẳng $AB$ sao cho chu vi tam giác $CDM$ nhỏ nhất, khi đó $\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MD}$ bằng?

Câu 10. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A(0;0;0),B(15;0;0),D(0;15;0),A^{\prime }(0;0;15)$. Số điểm $M$ có toạ độ nguyên thuộc miền trong của hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ thoả mãn $V_{M.ABCD}=4V_{M.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}$ và $V_{M.AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=\frac{1}{4}{V}_{M.CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }}$ là