Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

a)
$$n(\Omega )=C_{10}^2\cdot C_{10}^2,n(A)=C_4^2\cdot C_{10}^2$$
$$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{C_4^2\cdot C_{10}^2}{C_{10}^2\cdot C_{10}^2}=\frac{2}{15}.$$

b) $B$ : ”Bốn bạn được chọn có đủ ba loại giải”
$\overline{B}$ : ”Bốn bạn được chọn có nhiều nhất hai loại giải”
$$n(\overline{B})=C_{10}^2\cdot C_6^2+C_6^2\cdot C_7^2+C_4^2\cdot C_7^2-C_4^2\cdot C_3^2-C_6^2\cdot C_3^2$$
$$P(\overline{B})=\frac{n(\overline{B})}{n(\Omega )}=\frac{13}{25}$$
$$P(B)=1-P(\overline{B})=\frac{12}{25}$$

Số phần tử không gian mẫu: $n(X)=C_{18}^3=816$. Chọn 1 đỉnh tam giác cân có 18 cách, chọn 2 đỉnh còn lại có 8 cách nên số tam giác cân sẽ là 18.8=144. Với mỗi một đỉnh có 8 tam giác cân nhưng trong đó có một tam giác đều, do đó số tam giác cân không phải là tam giác đều là: 144-18=126. Xác suất cần tìm là: $P=\frac{126}{816}=\frac{21}{136}$. (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh là 13, chọn 3 học sinh từ 13 người.
a) Số cách chọn: $C_{13}^3=\frac{13\cdot 12\cdot 11}{6}=286$ cách.
b) Biến cố $A$: chọn 3 học sinh đều là nam. Số cách: $C_5^3=10$. Vậy $P(A)=\frac{C_5^3}{C_{13}^3}=\frac{10}{286}=\frac{5}{143}$.
c) Biến cố $B$: 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ, tức có 1 nam 2 nữ hoặc 2 nam 1 nữ. Số cách: $C_5^1{C}_8^2+C_5^2{C}_8^1=5\cdot 28+10\cdot 8=140+80=220$. Vậy $P(B)=\frac{220}{286}=\frac{110}{143}$.
Kiểm tra: $P(A)+P(\overline{B})=\frac{5}{143}+\frac{C_8^3}{C_{13}^3}=\frac{5}{143}+\frac{56}{286}=\frac{10+56}{286}=\frac{66}{286}=\frac{33}{143}$, và $P(B)=1-\frac{33}{143}=\frac{110}{143}$ — khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh là $6+7=13$.

a) Số cách chọn 3 học sinh từ 13 học sinh là:
$$n(\Omega )=C_{13}^3=\frac{13\cdot 12\cdot 11}{6}=286\text{ caˊch}.$$

b) Biến cố $A$: 3 học sinh được chọn đều là nam. Số kết quả thuận lợi:
$$n(A)=C_6^3=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{6}=20.$$
Vậy xác suất:
$$P(A)=\frac{C_6^3}{C_{13}^3}=\frac{20}{286}=\frac{10}{143}.$$

c) Biến cố $B$: 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ, tức có 1 nam 2 nữ hoặc 2 nam 1 nữ. Số kết quả thuận lợi:
$$n(B)=C_6^1{C}_7^2+C_6^2{C}_7^1=6\cdot 21+15\cdot 7=126+105=231.$$
Vậy xác suất:
$$P(B)=\frac{231}{286}=\frac{33}{41}.$$

Kiểm tra: biến cố đối của $B$ là chọn cả 3 nam hoặc cả 3 nữ: $C_6^3+C_7^3=20+35=55$, và $286-55=231$ đúng. Do đó $P(B)=1-\frac{55}{286}=\frac{231}{286}=\frac{33}{41}\approx 0,805$.

Số cách lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ 15 viên bi là: $n(\Omega )=C_{15}^3=455$.

Gọi $A$ là biến cố "3 viên bi lấy ra có đủ 2 màu". Ta có 2 trường hợp:
- TH1: 2 bi xanh và 1 bi đỏ: $C_7^2\cdot C_8^1=21\cdot 8=168$.
- TH2: 1 bi xanh và 2 bi đỏ: $C_7^1\cdot C_8^2=7\cdot 28=196$.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $n(A)=168+196=364$.

Xác suất của biến cố $A$ là: $P(A)=\frac{364}{455}=0,8$.

Vậy xác suất cần tìm là $\boxed{0,80}$.

Gọi $A$ là biến cố: "Tổng 3 số viết lên bảng không chia hết cho 3"
$\overline{A}$ là biến cố: "Tổng 3 số viết lên bảng chia hết cho 3"
Trường hợp 1: Cả 3 số đều chia hết cho 3. Khi đó xác suất là: $\frac{6^3}{20^3}$.
Trường hợp 2: Cả 3 số đều chia 3 dư 1. Khi đó xác suất là: $\frac{7^3}{20^3}$.
Trường hợp 3: Cả 3 số đều chia 3 dư 2. Khi đó xác suất là: $\frac{7^3}{20^3}$. (0,25)
Trường hợp 4: Trong 3 số có một số chia hết cho 3, một số chia 3 dư 1 và một số chia 3 dư 2. Khi đó xác suất là: $\frac{\mathrm{6.7.7.3}!}{20^3}$.
Khi đó, xác suất để tổng 3 số viết lên bảng chia hết cho 3 là:
$$P\left(\overline{A}\right)=\frac{6^3}{20^3}+\frac{7^3}{20^3}+\frac{7^3}{20^3}+\frac{\mathrm{6.7.7.3}!}{20^3}=\frac{1333}{4000}.$$
Vậy xác suất để tổng 3 số viết lên bảng không chia hết cho 3 là:
$$P\left(A\right)=1-\frac{1333}{4000}=\frac{2667}{4000}.$$ (0,25)

Gọi $A$ là biến cố: "Tổng 3 số viết lên bảng không chia hết cho 3"
$\overline{A}$ là biến cố: "Tổng 3 số viết lên bảng chia hết cho 3"
Trường hợp 1: Cả 3 số đều chia hết cho 3. Khi đó xác suất là: $\frac{6^3}{20^3}$.
Trường hợp 2: Cả 3 số đều chia 3 dư 1. Khi đó xác suất là: $\frac{7^3}{20^3}$.
Trường hợp 3: Cả 3 số đều chia 3 dư 2. Khi đó xác suất là: $\frac{7^3}{20^3}$. (0,25)
Trường hợp 4: Trong 3 số có một số chia hết cho 3, một số chia 3 dư 1 và một số chia 3 dư 2. Khi đó xác suất là: $\frac{\mathrm{6.7.7.3}!}{20^3}$.
Khi đó, xác suất để tổng 3 số viết lên bảng chia hết cho 3 là:
$$P\left(\overline{A}\right)=\frac{6^3}{20^3}+\frac{7^3}{20^3}+\frac{7^3}{20^3}+\frac{\mathrm{6.7.7.3}!}{20^3}=\frac{1333}{4000}.$$
Vậy xác suất để tổng 3 số viết lên bảng không chia hết cho 3 là:
$$P\left(A\right)=1-\frac{1333}{4000}=\frac{2667}{4000}.$$ (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: lấy ngẫu nhiên 2 viên từ 10 viên bi, $n(\Omega )=C_{10}^2=45$. Biến cố 'lấy được 2 viên khác màu': chọn 1 đỏ trong 4 và 1 xanh trong 6, số cách $=C_4^1\cdot C_6^1=24$. Vậy $P=\frac{24}{45}=\frac{8}{15}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn ngẫu nhiên 2 bạn từ 45 học sinh: $n(\Omega )=C_{45}^2=990$. Cách chọn 2 bạn cùng giới tính: 2 nam hoặc 2 nữ, số cách là $C_{25}^2+C_{20}^2=300+190=490$. Vậy xác suất $P=\frac{490}{990}=\frac{49}{99}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 viên từ 10 viên: $C_{10}^2=45$ cách. Lấy 2 viên khác màu: $4\cdot 6=24$ cách. Xác suất $P=\frac{24}{45}=\frac{8}{15}$. Khớp đáp án A và bảng đáp án đề 1111 (câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi T là xác suất cặp sinh đôi thật, F là sinh đôi giả, T + F = 1. Xác suất cặp cùng giới tính: sinh đôi thật luôn cùng giới tính (T), sinh đôi giả cùng giới tính với xác suất 0,5 (0,5F). Theo đề: T + 0,5F = 0,30 + 0,34 = 0,64. Thay T = 1 − F: 1 − 0,5F = 0,64 ⟹ F = 0,72, T = 0,28. Tỷ lệ sinh đôi thật trong số các cặp cùng giới tính: T / 0,64 = 0,28/0,64 = 28/64 = 7/16. Vậy a = 7, b = 16, a + b = 23, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách xếp: $8!=40320$.

Bước 1: Đếm số cách xếp sao cho không có hai học sinh cùng giới đứng cạnh nhau. Khi đó 4 nam và 4 nữ phải xếp xen kẽ, có 2 mẫu: NĐNĐNĐNĐ hoặc ĐNĐNĐNĐN (N: nam, Đ: nữ). Với mỗi mẫu có $4!\cdot 4!$ cách xếp. Vậy số cách xen kẽ là $2\cdot 4!\cdot 4!=2\cdot 24\cdot 24=1152$.

Bước 2: Đếm số cách xen kẽ mà Việt và An đứng cạnh nhau. Trong mỗi mẫu xen kẽ, mỗi cặp vị trí cạnh nhau gồm đúng 1 vị trí nam và 1 vị trí nữ, nên có 7 cặp (nam, nữ) kề nhau để đặt Việt và An. Sau đó 3 nam còn lại xếp vào $3!$ chỗ nam và 3 nữ còn lại xếp vào $3!$ chỗ nữ. Vậy số cách Việt và An kề nhau là $2\cdot 7\cdot 3!\cdot 3!=2\cdot 7\cdot 36=504$.

Bước 3: Số cách thỏa mãn cả hai điều kiện: $1152-504=648$.

Xác suất cần tính: $P=\frac{648}{40320}=\frac{9}{560}\approx 0,016$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $3\cdot 4\cdot 6=72$ kết quả. Tổng ba số lẻ khi và chỉ khi số các thẻ lẻ được rút là lẻ (1 hoặc 3 thẻ lẻ). Hộ $II$ chỉ chứa số chẵn nên luôn chẵn; hộ $III$ chỉ chứa số lẻ nên luôn lẻ. Do đó tính chẵn lẻ của tổng được quyết định bởi thẻ rút từ hộ $I$: tổng lẻ $\iff$ thẻ từ hộ $I$ lẻ. Xác suất rút thẻ lẻ từ hộ $I$ là $\frac{2}{3}$ (thẻ $1;3$). Vậy $P=\frac{2}{3}$. Kiểm tra bằng cách đếm: số kết quả tổng lẻ $=2\cdot 4\cdot 6=48$, $\frac{48}{72}=\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu khi gieo một đồng xu hai lần: $\Omega =\{(S;S),(S;N),(N;S),(N;N)\}$, nên $n(\Omega )=2^2=4$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu gồm 6 chữ số 1, 2, 4, 6, 8, 9. Số lẻ chỉ có 1 và 9, tức 2 kết quả thuận lợi. Vậy $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu khi gieo đồng xu hai lần: $\Omega =\{(S,S),(S,N),(N,S),(N,N)\}$, $n(\Omega )=4$ (đồng xu cân đối nên các kết quả đồng khả năng). Biến cố $A$: "cả hai lần đều được mặt sấp" chỉ gồm kết quả $(S,S)$, nên $n(A)=1$. Vậy $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{1}{4}$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{35}^3=6545$. Trường hợp thuận lợi: chọn 3 nam hoặc 3 nữ: $C_{20}^3+C_{15}^3=1140+455=1595$. Xác suất $P=\frac{1595}{6545}=\frac{29}{119}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh, tổng cộng 5 bi. Chọn ngẫu nhiên 1 bi, không gian mẫu có 5 phần tử. Sự kiện chọn được bi xanh có 2 kết quả thuận lợi. Vậy xác suất là $P=\frac{2}{5}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 4 học sinh từ 15 học sinh (6 Toán + 5 Lý + 4 Hóa) là $C_{15}^4=\frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12}{24}=1365$.

Gọi $x,y,z$ lần lượt là số học sinh Toán, Lý, Hóa được chọn, $x+y+z=4$ và $x,y,z\ge 1$. Các bộ nghiệm là $(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)$.

- Trường hợp $(2,1,1)$: $C_6^2\cdot C_5^1\cdot C_4^1=15\cdot 5\cdot 4=300$.
- Trường hợp $(1,2,1)$: $C_6^1\cdot C_5^2\cdot C_4^1=6\cdot 10\cdot 4=240$.
- Trường hợp $(1,1,2)$: $C_6^1\cdot C_5^1\cdot C_4^2=6\cdot 5\cdot 6=180$.

Số cách thuận lợi: $300+240+180=720$.

Xác suất cần tìm:
$$P=\frac{720}{1365}=\frac{48}{91}\approx 0,5275.$$

(AI giải đề cho tôi)
Tung một đồng xu 2 lần, mỗi lần có 2 kết quả (S hoặc N). Không gian mẫu: Ω = {SS, SN, NS, NN}, nên |Ω| = 2² = 4. Vậy chọn C.