Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vẽ đường thẳng $2x+y=-2$: đi qua hai điểm $(-1;0)$ và $(0;-2)$. Vì bất phương trình là $2x+y\le -2$ (dấu $\le$), miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $2x+y=-2$, kể cả bờ (vẽ nét đậm). Thử gốc tọa độ $O(0;0)$: $2\cdot 0+0=0\le -2$ sai, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa $O$. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ $O$, nằm phía dưới-trái đường thẳng $2x+y=-2$, kể cả bờ, tức tập hợp $\{(x;y)\in {\mathbb{R}}^2:2x+y\le -2\}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mỗi bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn. b) Thay (1;3): -2(1)+3=1≤2; -1+2(3)=5≥4; 1+3=4≤5, thỏa cả ba nên là nghiệm. c) Sai: miền D là tam giác với ba đỉnh là giao của các cặp đường thẳng: d1∩d2 = (0;2), d2∩d3 = (2;3), d1∩d3 = (1;4), không phải tứ giác. d) F=-x+y tại (0;2)=2, (2;3)=1, (1;4)=3; vì F tuyến tính nên giá trị nhỏ nhất trên tam giác đạt tại đỉnh, min F = 1.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên hệ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay (1;3): -2(1)+3=1≤2; -1+2(3)=5≥4; 1+3=4≤5. Thỏa cả ba bất phương trình nên (1;3) là nghiệm của hệ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Ba đường thẳng y=2x+2, y=(x+4)/2, y=5-x đôi một cắt nhau tại (0;2), (2;3), (1;4). Miền nghiệm D là tam giác với ba đỉnh này, không phải tứ giác.
d) (AI giải đề cho tôi)
F=-x+y là hàm tuyến tính nên trên miền tam giác D giá trị nhỏ nhất đạt tại đỉnh: F(0;2)=2, F(2;3)=1, F(1;4)=3. Vậy min F = 1.

Xác định được miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ: 0,25đ.

Hướng dẫn chấm (Mã đề 102; 104; 106; 108):
Vẽ đường thẳng d: $x-4y=4$ trên mặt phẳng tọa độ
- Xác định được tọa độ 2 điểm (0,25 đ)
- Biểu diễn lên mặt phẳng tọa độ và vẽ đường thẳng (0,25 đ)
Xác định miền nghiệm của bất phương trình
- Lấy điểm $M_o(0;0)$ không thuộc d (0,125 đ)
- Kiểm tra và xác định miền nghiệm (0,125 đ)
Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ, kết luận miền nghiệm (0,25 đ)

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}3x+y\ge -2\\ x-2y\ge 2\\ 2x+y\le 8\end{array}$:
- $N(4;3)$: $x-2y=4-6=-2<2$ (loại).
- $Q(-2;-3)$: $3x+y=-9<-2$ (loại).
- $M(1;-3)$: $3x+y=0\ge -2$; $x-2y=1+6=7\ge 2$; $2x+y=-1\le 8$. Điểm $M$ thỏa cả ba bất phương trình.
- $P(-1;5)$: $3x+y=2\ge -2$ nhưng $x-2y=-11<2$ (loại).
Vậy miền nghiệm chứa điểm $M(1;-3)$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 3: C).

Hướng dẫn chấm (Mã đề 101; 103; 105; 107):
Vẽ đường thẳng d: $2x-y=4$ trên mặt phẳng tọa độ
- Xác định được tọa độ 2 điểm (0,25 đ)
- Biểu diễn lên mặt phẳng tọa độ và vẽ đường thẳng (0,25 đ)
Xác định miền nghiệm của bất phương trình
- Lấy điểm $M_o(0;0)$ không thuộc d (0,125 đ)
- Kiểm tra và xác định miền nghiệm (0,125 đ)
Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ và kết luận miền nghiệm (0,25 đ)

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}3x-4y+12\ge 0\\ x+y-5\ge 0\\ x+1>0\end{array}$:
- $P(-1;5)$: $x+1=0$ không thỏa $x+1>0$, loại.
- $M(1;-3)$: $1+(-3)-5=-7<0$, loại.
- $N(4;3)$: $3\cdot 4-4\cdot 3+12=12\ge 0$; $4+3-5=2\ge 0$; $4+1=5>0$ — thỏa cả ba bất phương trình.
- $Q(-2;-3)$: $x+1=-1<0$, loại.
Vậy miền nghiệm chứa điểm $N(4;3)$, khớp đáp án nguồn (mã đề 101, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Bờ $d$ của bất phương trình $ax-y<b$ là đường thẳng $ax-y=b$, tức $y=ax-b$. Từ hình vẽ, đường thẳng này đi qua hai điểm $(0;-3)$ (cắt trục $Oy$) và $\left(\frac{3}{2};0\right)$ (cắt trục $Ox$).

- Thay điểm $(0;-3)$: $a\cdot 0-(-3)=b\Rightarrow b=3$.
- Thay điểm $\left(\frac{3}{2};0\right)$: $a\cdot \frac{3}{2}-0=b=3\Rightarrow a=2$.

Kiểm tra: bất phương trình $2x-y<3\iff y>2x-3$, tức miền nghiệm là nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng $y=2x-3$ — đúng là phần không bị gạch trong hình (phần gạch nằm phía dưới-phải của bờ). Thử điểm $O(0;0)$ thuộc miền không gạch: $2\cdot 0-0=0<3$ đúng, thỏa mãn.

Vậy $a+b=2+3=5$, khớp với đáp án đã cho (bảng đáp án Phần III: Câu 16 → 5).

Vẽ d: $x-2y=2$ đi qua A(2; 0) và B(0; -1).

Ta thấy $0-2.0<2$ nên gốc tọa độ O(0;0) thuộc miền nghiệm của bpt.

[Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]

Do đó miền nghiệm của bpt $x-2y\le 2$ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d chứa gốc tọa độ O (phần không bị gạch, tính cả đường thẳng d).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ trong hình đi qua gốc $O(0;0)$ và điểm $(1;-2)$, nên $d$ có phương trình $y=-2x$, tức $2x+y=0$. Miền không bị gạch chéo là nửa mặt phẳng không chứa điểm $(0;1)$ (vì $2\cdot 0+1=1>0$), tức là nửa mặt phẳng các điểm có $2x+y\le 0$. Thử một điểm thuộc miền không gạch chéo, ví dụ $(-1;1)$: $2(-1)+1=-1\le 0$, thỏa mãn. Vì miền nghiệm bao gồm cả đường thẳng $d$ nên bất phương trình phải có dấu $\le$ (loại D). Vậy miền nghiệm là $2x+y\le 0$, đáp án C, khớp với đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x+3y-2\ge 0\\ 2x+y+1\le 0\end{array}$:
- $M(0;1)$: $0+3-2=1\ge 0$ đúng, nhưng $2\cdot 0+1+1=2>0$ sai.
- $N(-1;1)$: $-1+3-2=0\ge 0$ đúng và $2(-1)+1+1=0\le 0$ đúng.
- $P(1;3)$: $1+9-2=8\ge 0$ đúng, nhưng $2+3+1=6>0$ sai.
- $Q(-1;0)$: $-1+0-2=-3<0$ sai.
Vậy chỉ có $N(-1;1)$ thuộc miền nghiệm, khớp với đáp án nguồn.

Vẽ đường thẳng $3x-2y=2$ (0,5 điểm)
Lấy điểm $O(0;0)$ ta có: $3.0-2.0\ge 2$ (Mệnh đề sai)
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa điểm O, kể cả đường thẳng d (0,5 điểm)
Vẽ đồ thị
[Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng điểm với hệ $(I)$: $-x+y<2$ và $x+4y>-4$.
a) $B(-4;-1)$: $-(-4)+(-1)=3$, không thỏa $3<2$, nên $B$ không thuộc miền nghiệm → Sai.
b) $D(3;-1)$: $-3+(-1)=-4<2$ thỏa; $3+4(-1)=-1>-4$ thỏa → $D$ thuộc miền nghiệm → Đúng.
c) $C(1;1)$: $-1+1=0<2$ thỏa; $1+4=5>-4$ thỏa → $C$ thuộc miền nghiệm → Đúng.
d) $O(0;0)$: $0<2$ thỏa; $0>-4$ thỏa → $O$ thuộc miền nghiệm, nên khẳng định 'O không thuộc miền nghiệm' là Sai.
Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai, khớp đáp án chính thức (Mã đề 102).
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $B(-4;-1)$: $-(-4)+(-1)=3$ không thỏa $3<2$, nên $B$ không thuộc miền nghiệm của $(I)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $D(3;-1)$: $-3-1=-4<2$ và $3-4=-1>-4$, cả hai đều thỏa nên $D$ thuộc miền nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $C(1;1)$: $-1+1=0<2$ và $1+4=5>-4$, cả hai đều thỏa nên $C$ thuộc miền nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $O(0;0)$: $0<2$ và $0>-4$ đều thỏa, nên $O$ thuộc miền nghiệm; khẳng định 'không thuộc' là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Bạn An mua 10 cây bút với giá 7.000 đồng/cây, tốn 10 × 7.000 = 70.000 đồng. Số tiền còn lại: 200.000 − 70.000 = 130.000 đồng. Số quyển tập tối đa: 130.000 : 15.000 = 8,66..., nên mua được tối đa 8 quyển tập (kiểm tra: 8 × 15.000 = 120.000 ≤ 130.000; 9 × 15.000 = 135.000 > 130.000). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Phần III câu 3 = 8).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng điểm với hệ (I): $-x+y<2$ và $x+4y>-4$.
a) $B(-4;-1)$: $-(-4)+(-1)=3$, không thỏa $3<2$ nên $B$ không thuộc miền nghiệm → khẳng định Sai.
b) $O(0;0)$: $0<2$ và $0>-4$ đều đúng nên $O$ thuộc miền nghiệm; do đó khẳng định 'O không thuộc' là Sai.
c) $D(3;-1)$: $-3+(-1)=-4<2$ đúng; $3+4(-1)=-1>-4$ đúng → $D$ thuộc miền nghiệm → Đúng.
d) $C(1;1)$: $-1+1=0<2$ đúng; $1+4=5>-4$ đúng → $C$ thuộc miền nghiệm → Đúng.
Kết quả khớp với đáp án chính thức: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $B(-4;-1)$: $-(-4)+(-1)=3$ không thỏa $3<2$, nên $B$ không thuộc miền nghiệm của (I).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $O(0;0)$: $0<2$ và $0>-4$ đều đúng, nên $O$ thuộc miền nghiệm của (I); khẳng định 'O không thuộc' là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $D(3;-1)$: $-3-1=-4<2$ đúng và $3-4=-1>-4$ đúng, nên $D$ thuộc miền nghiệm của (I).
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $C(1;1)$: $-1+1=0<2$ đúng và $1+4=5>-4$ đúng, nên $C$ thuộc miền nghiệm của (I).

(AI giải đề cho tôi)
Bạn An mua 10 cây bút với số tiền $10\times 7.000=70.000$ đồng. Số tiền còn lại là $200.000-70.000=130.000$ đồng. Số quyển tập tối đa là $\lfloor \frac{130.000}{15.000}\rfloor =\lfloor 8,67\rfloor =8$ quyển (vì 9 quyển cần $9\times 15.000=135.000>130.000$ đồng). Kết quả khớp với đáp án nguồn là 8.

(AI giải đề cho tôi)
a) M(3;3): $3+3=6\le 6$ nên thuộc miền nghiệm của (1) → Đúng. b) N(2;0): thỏa (1) $2\le 6$, (2) $2\le 12$, (3), (4) nên N thuộc miền nghiệm của hệ; khẳng định 'không thuộc' → Sai. c) Các đỉnh miền nghiệm: giao (1)&(2): trừ hai phương trình được $2y=6\Rightarrow y=3$, $x=3\Rightarrow (3;3)$; cùng $(0;0)$, $(6;0)$, $(0;4)$ tạo thành tứ giác (kể cả biên) → Đúng. d) Trên miền nghiệm, $F=2x+3y$ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh: $F(3;3)=15$, $F(6;0)=12$, $F(0;4)=12\Rightarrow \max F=15\ne 14$ → Sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 0102: Đ, S, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$3+3=6\le 6$ nên M(3;3) thỏa (1).
b) (AI giải đề cho tôi)
N(2;0) thỏa cả bốn bất phương trình nên thuộc miền nghiệm của hệ; khẳng định 'không thuộc' là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao (1)&(2) là (3;3); miền nghiệm là tứ giác $(0;0)$, $(6;0)$, $(3;3)$, $(0;4)$ kể cả cạnh.
d) (AI giải đề cho tôi)
F đạt max tại đỉnh (3;3): $F=2\cdot 3+3\cdot 3=15$, không phải 14.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}2x+3y-1>0\\ 5x-y+4<0\end{array}$.
- Tại $(0;0)$: $2\cdot 0+3\cdot 0-1=-1<0$, không thỏa bất phương trình thứ nhất, nên $(0;0)$ không thuộc miền nghiệm.
- Tại $(-3;4)$: $2(-3)+3(4)-1=5>0$ và $5(-3)-4+4=-15<0$: thuộc miền nghiệm.
- Tại $(-1;4)$: $2(-1)+3(4)-1=9>0$ và $5(-1)-4+4=-5<0$: thuộc miền nghiệm.
- Tại $(-2;4)$: $2(-2)+3(4)-1=7>0$ và $5(-2)-4+4=-10<0$: thuộc miền nghiệm.
Vậy điểm không thuộc miền nghiệm là $(0;0)$, khớp với đáp án A trong bảng mã đề 0102.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác có đỉnh $A(0;2)$ thuộc trục $Oy$, $C(0;-5/2)$ thuộc trục $Oy$, $B$ là giao của hai đường thẳng $5x-4y=10$ và $4x+5y=10$ (giải hệ được $x=90/41$, $y=10/41$). Đường thẳng $4x+5y=10$ đi qua $A(0;2)$ và cắt $Ox$ tại $(5/2;0)$ — đúng như hình vẽ; đường thẳng $5x-4y=10$ đi qua $C(0;-5/2)$ và cắt $Ox$ tại $(2;0)$. Miền tam giác nằm bên phải trục $Oy$ nên $x\ge 0$ (loại D vì dùng $y\ge 0$; loại B vì miền kể cả cạnh nên cần $x\ge 0$ chứ không phải $x>0$). Thử điểm trong tam giác, ví dụ $(1;0)$: $5\cdot 1-4\cdot 0=5\le 10$ và $4\cdot 1+5\cdot 0=4\le 10$, nên miền nằm phía dưới cả hai đường thẳng, tức $5x-4y\le 10$ và $4x+5y\le 10$. Vậy hệ bất phương trình là $x\ge 0$; $5x-4y\le 10$; $4x+5y\le 10$, tương ứng đáp án A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: tiền thuê = $5x+4y$ (triệu đồng). b) Sai: cần chở đủ 180 người nên điều kiện phải là $30x+20y\ge 180$ (hệ đề cho dấu $\le$ là sai); điều kiện hàng $0,8x+1,6y\ge 8$ đúng. c) Đúng: chỉ có 9 xe loại B nên $0\le y\le 9$, $y\in \mathbb{N}$. d) Đúng: chỉ có 10 xe loại A nên $0\le x\le 10$, $x\in \mathbb{N}$. Khớp đáp án mã đề 2356: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi xe A giá 5 triệu, mỗi xe B giá 4 triệu nên $F(x;y)=5x+4y$ (triệu đồng).
b) (AI giải đề cho tôi)
Phải chở đủ 180 người nên $30x+20y\ge 180$, không phải $\le 180$; hệ (*) sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xe B chỉ có 9 chiếc nên $0\le y\le 9$ với $y\in \mathbb{N}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Xe A chỉ có 10 chiếc nên $0\le x\le 10$ với $x\in \mathbb{N}$.