Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

Cho hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}x+2y\le 8\\ 3x+2y\le 12\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$$ và biểu thức $F(x,y)=3x+4y$.

Cho miền nghiệm của hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}x-y\le 2\\ x+y\le 4\\ x\ge 0\\ y\ge -1\end{array}$$ Giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x,y)=3x-2y$ trên miền nghiệm này bằng bao nhiêu?

Tính diện tích miền nghiệm của hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}x+y\ge 2\\ 2x-y\le 4\\ x-2y\ge -4\end{array}$$ trên mặt phẳng $Oxy$.

Cho hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}x+y\le 5\\ 2x-y\ge -2\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}.$$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=4x+3y$ trên miền nghiệm của hệ.

Gọi $S$ là miền nghiệm của hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}y-x\le 2\\ 2x+y\le 8\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}.$$ Giá trị lớn nhất của $F(x,y)=5x+2y$ đạt được tại điểm có hoành độ $x$ bằng bao nhiêu?

Bác Tiến Huynh có kế hoạch đầu tư không quá 240 triệu đồng vào hai khoản $X$ và khoản $Y$. Để đạt được lợi nhuận thì khoản $Y$ phải đầu tư ít nhất 40 triệu đồng và số tiền đầu tư cho khoản $X$ phải ít nhất gấp ba lần số tiền cho khoản $Y$. Biết rằng đầu tư 10 triệu đồng vào khoản $X$ lợi nhuận là 1 triệu đồng; còn đầu tư 10 triệu vào khoản $Y$ lợi nhuận là 0,5 triệu đồng. Gọi $x,y$ (đơn vị: triệu đồng) tiền bác Tiến Huynh lần lượt đầu tư vào các khoản $X;Y$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Trong dịp Hội chợ Tết của Trường THPT Gia Bình số 1, lớp 10A dự định mở một gian hàng bán đồ uống gồm hai loại là Trà sữa và Trà vải. Sau khi khảo sát, lớp trưởng quyết định mua nguyên liệu giới hạn trong ngân sách quỹ lớp; gồm tối đa 1,8 kg đường; 1,5 lít cốt trà và 1,8 kg Topping các loại (Trân châu và Thạch trái cây). Để pha 1 ly Trà sữa cần dùng 30g đường, 30ml cốt trà và 20g Topping. Để pha 1 ly Trà vải cần dùng 45g đường, 15ml cốt trà và 50g Topping. Tiền lãi khi bán 1 ly Trà Sữa là 4000 đồng và tiền lãi khi bán 1 ly Trà vải là 6000 đồng. Để thu được số tiền lãi lớn nhất thì lớp 10A phải lập kế hoạch pha chế số ly Trà sữa và số ly Trà vải một cách phù hợp nhất sao cho không bị thiếu hụt bất kỳ nguyên liệu nào đã chuẩn bị. Hỏi lớp 10A thu được số tiền lãi lớn nhất là bao nhiêu nghìn đồng ? (giả sử các ly đã pha đều bán hết)

Trong dịp Hội chợ Tết của Trường THPT Gia Bình số 1, lớp 10A dự định mở một gian hàng bán đồ uống gồm hai loại là Trà sữa và Trà vải. Sau khi khảo sát, lớp trưởng quyết định mua nguyên liệu giới hạn trong ngân sách quỹ lớp; gồm tối đa 1,8 kg đường; 1,5 lít cốt trà và 1,8 kg Topping các loại (Trân châu và Thạch trái cây). Để pha 1 ly Trà sữa cần dùng 30g đường, 30ml cốt trà và 20g Topping. Để pha 1 ly Trà vải cần dùng 45g đường, 15ml cốt trà và 50g Topping. Tiền lãi khi bán 1 ly Trà Sữa là 4000 đồng và tiền lãi khi bán 1 ly Trà vải là 6000 đồng. Để thu được số tiền lãi lớn nhất thì lớp 10A phải lập kế hoạch pha chế số ly Trà sữa và số ly Trà vải một cách phù hợp nhất sao cho không bị thiếu hụt bất kỳ nguyên liệu nào đã chuẩn bị. Hỏi lớp 10A thu được số tiền lãi lớn nhất là bao nhiêu nghìn đồng? (giả sử rằng các ly đã pha đều bán hết)

Một nhà máy sản xuất hai loại mũ. Thời gian để sản xuất một chiếc mũ loại thứ nhất gấp đôi thời gian để sản xuất một chiếc mũ loại thứ hai. Nếu chỉ sản xuất mũ loại thứ hai, nhà máy có thể sản xuất được 500 chiếc mỗi ngày. Mỗi ngày, thị trường chỉ tiêu thụ được tối đa 150 chiếc mũ loại thứ nhất và 200 chiếc mũ loại thứ hai. Lợi nhuận từ mỗi chiếc mũ loại thứ nhất là 8 USD, và mỗi chiếc mũ loại thứ hai là 5 USD. Gọi $m,n$ lần lượt là số chiếc mũ mỗi loại mà mỗi ngày nhà máy cần sản xuất để đạt được lợi nhuận tối đa. Giá trị $m+n$ bằng bao nhiêu? Biết rằng các sản phẩm sản xuất ra đều bán hết.

a) Nhân dịp tết Trung thu, xí nghiệp sản xuất bánh muốn sản xuất hai loại bánh: bánh nướng và bánh dẻo. Để sản xuất hai loại bánh này, xí nghiệp cần: đường, bột mì, trứng, mứt bí, lò xưởng. Xí nghiệp đã nhập về $600kg$ bột mì và $240kg$ đường, các nguyên liệu khác luôn đáp ứng được số lượng mà xí nghiệp cần. Mỗi chiếc bánh nướng cần $120g$ bột mì, $60g$ đường. Mỗi chiếc bánh dẻo cần $160g$ bột mì và $40g$ đường. Theo khảo sát thị trường, lượng bánh dẻo tiêu thụ không vượt quá ba lần lượng bánh nướng và sản phẩm của xí nghiệp sản xuất luôn được tiêu thụ hết. Mỗi chiếc bánh nướng lãi 8000 đồng, mỗi chiếc bánh dẻo lãi 6000 đồng. Để đáp ứng nhu cầu thị trường; đảm bảo lượng bột mì, đường không vượt quá số lượng mà xí nghiệp đã chuẩn bị và vẫn thu được lợi nhuận cao nhất thì xí nghiệp phải sản xuất bao nhiêu chiếc bánh nướng và bao nhiêu chiếc bánh dẻo.
b) Cho dãy số $u_n$ xác định bởi
$$\{\begin{array}{l}{u}_1=1;u_2=2\\ u_{n+1}=u_n\cdot u_{n-1}+2\end{array},n\ge 2,n\in N^{\ast }.$$
Đặt $S_n=u_1^2+1\cdot u_2^2+1\cdot u_3^2+1\dots u_n^2+1-1,n\in N^{\ast }$. Chứng minh với mọi $n\in N^{\ast }$, $S_n$ là số chính phương.

Cho $x;y$ là các số thực thỏa mãn hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}0\le y\le 4\\ x\ge 0\\ x-y-1\le 0\\ x+2y-10\le 0\end{array}$$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=x-y$ bằng bao nhiêu?

Mỗi ngày, quán chè của cô Mai dự kiến nhập hai loại nguyên liệu về để nấu chè đậu là: đậu đen và đậu đỏ. Theo kinh nghiệm nhiều năm thì: tổng nguyên liệu nên dao động từ 6 kg đến 12 kg, lượng đậu đen sẽ không ít hơn $\frac{1}{2}$ lượng đậu đỏ nhưng không nhiều hơn 3 lần lượng đậu đỏ. Cô Mai có liên hệ được hai đơn vị cung cấp nguyên liệu:
- Ông Hai: bán 80 nghìn đồng/kg đậu đen và 52 nghìn đồng/kg đậu đỏ.
- Bà Ba: bán đồng giá hai loại là 60 nghìn đồng/kg.
Hỏi cô Mai nên mua của ai để có thể tiết kiệm nhất và chi phí cần dùng khi đó là bao nhiêu?

Một xưởng gia công cơ khí chính xác nhận hợp đồng sản xuất hai loại linh kiện là Trục thép (Loại $A$) và Bánh răng (Loại $B$). Để sản xuất một lô linh kiện loại $A$ cần chạy máy Phay CNC trong 2 giờ và máy Tiện CNC trong 4 giờ. Để sản xuất một lô linh kiện loại $B$ cần chạy máy Phay CNC trong 3 giờ và máy Tiện CNC trong 2 giờ. Do yêu cầu bảo trì, mỗi tuần máy Phay CNC chỉ hoạt động tối đa 120 giờ và máy Tiện CNC hoạt động tối đa 160 giờ. Biết mỗi lô linh kiện loại $A$ cho lợi nhuận 3 triệu đồng, mỗi lô linh kiện loại $B$ cho lợi nhuận 4 triệu đồng và xưởng luôn tiêu thụ hết số sản phẩm làm ra. Hỏi mỗi tuần xưởng cơ khí thu được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng?

Một hộ kinh doanh cần sơn hai loại sản phẩm A, B bằng hai loại sơn: sơn xanh, sơn vàng. Lượng sơn để sơn mỗi loại sản phẩm đó được cho ở Bảng sau (đơn vị: kg/1 sản phẩm).



Người ta dự định sử dụng không quá 12 kg sơn xanh và không quá 8 kg sơn vàng để sơn tất cả các sản phẩm của hai loại đó. Mỗi sản phẩm loại A lãi 10 triệu đồng và mỗi sản phẩm loại B lãi 8 triệu đồng. Hỏi tiền lãi lớn nhất mà hộ kinh doanh đó nhận được là bao nhiêu triệu đồng?

Tín chỉ carbon là một đơn vị thương mại đại diện cho quyền phát thải khí nhà kính, trong đó mỗi tín chỉ được tính toán định lượng tương đương với một tấn $C{O}_2$ (hoặc khí nhà kính khác quy đổi tương đương) đã được cắt giảm hoặc loại bỏ khỏi khí quyển. Về bản chất toán học, đây là một hệ thống kế toán sinh thái dựa trên nguyên tắc cân bằng: các tổ chức phát thải vượt hạn ngạch phải mua lại tín chỉ từ những dự án có chỉ số phát thải âm để triệt tiêu phần chênh lệch. Việc định giá và giao dịch các tín chỉ này tạo ra một cơ chế tài chính minh bạch, biến các nỗ lực bảo vệ môi trường thành tài sản số có giá trị kinh tế bền vững. Một doanh nghiệp cần đầu tư mua tín chỉ carbon từ hai dự án: Dự án A (trồng rừng) và Dự án B (năng lượng sạch). Mỗi tín chỉ dự án A giá 20 USD, dự án B giá 30 USD. Dự án A giúp giảm 1,5 tấn $C{O}_2$/tín chỉ, dự án B giảm 2 tấn $C{O}_2$/tín chỉ. Tổng số tín chỉ của hai dự án không quá 25. Doanh nghiệp cần mua $x$ tín chỉ từ dự án A và $y$ tín chỉ từ dự án B để lượng $C{O}_2$ giảm được là tối đa, biết rằng tổng ngân sách của doanh nghiệp không quá 600 USD. Giá trị của $y$ là bao nhiêu?

Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Phát và Đạt. Xưởng sản xuất loại sản phẩm $I$ và $II$. Mỗi sản phẩm $I$ bán lãi 600 nghìn đồng, mỗi sản phẩm $II$ bán lãi 500 nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm $I$ thì Phát phải làm việc trong 4 giờ, Đạt phải làm việc trong 2 giờ. Để sản xuất được một sản phẩm $II$ thì Phát phải làm việc trong 3 giờ, Đạt phải làm việc trong 5 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Phát không thể làm việc quá 200 giờ và Đạt không thể làm việc quá 240 giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là bao nhiêu (đơn vị: triệu đồng).

Trong năm nay, một cửa hàng kinh doanh xe máy dự định kinh doanh hai loại xe máy: xe máy Lead và xe máy Vision, với số vốn ban đầu không vượt quá 36 tỉ đồng. Giá nhập về 1 chiếc xe máy Lead là 40 triệu đồng, lợi nhuận dự kiến là 5 triệu đồng một chiếc. Giá nhập về 1 chiếc xe máy Vision là 30 triệu đồng, lợi nhuận dự kiến là 3,2 triệu đồng một chiếc. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu thị trường không vượt quá 1100 chiếc xe cả hai loại và nhu cầu xe Lead không vượt quá 1,5 lần nhu cầu xe Vision. Lợi nhuận lớn nhất của cửa hàng có thể thu được là bao nhiêu triệu đồng?

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm I và II. Một hộp sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu, 30 giờ làm việc và lợi nhuận đem lại là 4 triệu đồng. Một hộp sản phẩm loại II cần 6 kg nguyên liệu, 15 giờ làm việc và lợi nhuận đem lại là 3 triệu đồng. Xưởng có 48 kg nguyên liệu và 255 giờ làm việc của công nhân. Hỏi lợi nhuận tối đa mà xưởng sản xuất có thể nhận được bao nhiêu triệu đồng?

Bác Năm dự định trồng ngô và đậu xanh trên một mảnh đất có diện tích là 8 hecta. Nếu trồng 1 hecta ngô thì cần 20 ngày công và thu được 40 triệu đồng. Nếu trồng 1 hecta đậu xanh thì cần 30 ngày công và thu được 50 triệu đồng. Biết rằng, bác Năm chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho việc trồng ngô và đậu xanh. Gọi $x,y$ lần lượt là số hecta trồng ngô và đậu xanh với điều kiện $x\ge 0;y\ge 0$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

Một xưởng sơn dự định sản xuất hai loại sơn là sơn ngoài trời và sơn nội thất. Xưởng đã chuẩn bị 6 tấn nguyên liệu $A$ và 8 tấn nguyên liệu $B$. Để sản xuất một tấn sơn ngoài trời cần 2 tấn nguyên liệu $A$ và 1 tấn nguyên liệu $B$. Để sản xuất một tấn sơn nội thất cần 1 tấn nguyên liệu $A$ và 2 tấn nguyên liệu $B$. Kết quả nghiên cứu thị trường cho thấy nhu cầu sơn ngoài trời không quá 2 tấn. Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số tấn sơn ngoài trời và sơn nội thất cần sản xuất. Giả sử rằng lượng sơn sản xuất ra đều được bán hết.