Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

Gọi $x,y$ (chiếc) là số áo trắng, áo đen do nhà máy sản xuất $(x,y\in \mathbb{N})$. Số giờ làm việc tối đa của tổ cắt áo trong một ngày của nhà máy là $8.3=24$ giờ. Số giờ làm việc tối đa của tổ hoàn thiện áo trong một ngày của nhà máy là $8.4=32$ giờ. Số giờ cắt áo trắng và đen trong một ngày là $1,5x+y$ (giờ). Số giờ hoàn thiện áo trắng và đen trong một ngày là $x+2y$ (giờ) (0,25 điểm).
Ta có hệ bất phương trình:
$$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 1,5x+y\le 24\\ x+2y\le 32\\ 3x-y\ge 0\end{array}$$ (0,25)
[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1] (0,25)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC với $O(0;0),A\left(\frac{32}{7};\frac{96}{7}\right),B(8;12),C(16;0)$.
Số tiền lãi thu được là $F(x;y)=15000x+18000y$ (đồng).
Số tiền lãi lớn nhất $F(8;12)=336000$ (đồng).
Vậy nhà máy cần sản xuất 8 áo trắng và 12 áo đen để tiền lãi thu được là nhiều nhất. (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng cặp số với hệ $\{\begin{array}{l}3x+4y-1>0\\ x+2y-3\le 0\end{array}$: Với $(0;0)$: $3(0)+4(0)-1=-1\ngtr 0$, vi phạm bất phương trình thứ nhất nên $(0;0)$ không là nghiệm. Với $(3;0)$: $3(3)+0-1=8>0$ và $3+0-3=0\le 0$, thỏa cả hai. Với $(-1;2)$: $-3+8-1=4>0$ và $-1+4-3=0\le 0$, thỏa cả hai. Với $(2;0)$: $6+0-1=5>0$ và $2+0-3=-1\le 0$, thỏa cả hai. Vậy cặp số không là nghiệm là $(0;0)$, trùng với đáp án A trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn yêu cầu mỗi bất phương trình đều bậc nhất đối với $x$ và $y$ (ẩn chỉ xuất hiện bậc 1, không có mẫu chứa ẩn, không có tích $xy$, không có ẩn bậc 2).
- A: $\frac{4}{x}-3y>2$ có ẩn ở mẫu, không phải bậc nhất.
- B: $2xy-3y\ge 6$ có hạng tử $xy$ bậc hai, không phải bậc nhất.
- C: $x+3y^2>2$ có $y^2$ bậc hai, không phải bậc nhất.
- D: $3x-y\le -2$ và $x-6y>5$ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, tam giác $ABC$ có các đỉnh $A(0;2)$, $B(2;2)$, $C(2;0)$. Miền trong tam giác (kể cả biên) được mô tả bởi hệ: $x\le 2$, $y\le 2$, $x+y\ge 2$ (đường thẳng $AC$ đi qua $(0;2)$ và $(2;0)$ có phương trình $x+y=2$, miền nghiệm nằm về phía chứa $B(2;2)$ nên $x+y\ge 2$). Cần đếm nghiệm $(x;y)$ với $x,y$ nguyên dương: $x\in \{1,2\}$, $y\in \{1,2\}$, và $x+y\ge 2$ luôn đúng với các cặp này. Các nghiệm: $(1;1)$, $(1;2)$, $(2;1)$, $(2;2)$ — tổng cộng 4 nghiệm. Kết quả khớp với đáp án nguồn là 4.

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp vào bất phương trình $x-5y<2$: A: $0-5(-1)=5\nless 2$; B: $0-5(-2)=10\nless 2$; C: $-2-5(-1)=3\nless 2$; D: $-4-5(-1)=1<2$ thỏa mãn. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, câu 2: D).

Đáp án chính thức theo bảng đáp án nguồn (trang 7, Phần 3, Câu 3, Mã đề 101): 4.

Cách đếm phù hợp với đáp án: tam giác $ABC$ có các đỉnh $A(0;2)$, $B(2;2)$, $C(2;0)$, miền tam giác (kể cả biên) bị giới hạn bởi $x\le 2$, $y\le 2$ và $x+y\ge 2$. Với $x,y$ nguyên dương ($x\ge 1$, $y\ge 1$), các nghiệm là $(1;1),(1;2),(2;1),(2;2)$ — tất cả thỏa $x\le 2$, $y\le 2$, $x+y\ge 2$. Vậy có 4 nghiệm, khớp đáp án nguồn.

Lưu ý: hình vẽ nguồn (p3_f1) có glyph nhỏ, vị trí điểm $B$ khó đọc chính xác (có thể đọc nhầm là $x=1$ thay vì $x=2$). Đáp án 4 của nguồn chỉ nhất quán với $B(2;2)$, nên tọa độ $B(2;2)$ được dùng làm cơ sở giải thích.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ mà mỗi bất phương trình đều bậc nhất đối với hai ẩn $x,y$ (ẩn chỉ xuất hiện bậc nhất, không có tích $xy$, không có $y^2$, không có ẩn ở mẫu). Xét từng phương án: A: $3x-y\le -2$ và $x-6y>5$ đều bậc nhất hai ẩn → thỏa mãn. B: có $2xy$ (bậc hai) → không thỏa. C: có $3y^2$ (bậc hai) → không thỏa. D: có $\frac{4}{x}$ (ẩn ở mẫu) → không thỏa. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp số vào bất phương trình $x-5y<2$: A: $0-5(-1)=5\nless 2$; B: $0-5(-2)=10\nless 2$; C: $-2-5(-1)=3\nless 2$; D: $-4-5(-1)=1<2$ thỏa mãn. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, câu 4: D).

Đáp số: 12
Gọi $x,y\left(0\le x,y\le 12;x,y\in \mathbb{N}\right)$ lần lượt là số gói thực phẩm $X$ và thực phẩm $Y$ mà bà Hoà cần dùng trong một ngày.
Theo giả thiết ta có hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}0\le x\le 12\\ 0\le y\le 12\\ 20x+20y\ge 240\\ 20x+10y\ge 160\\ 10x+20y\ge 140\end{array}$$
Tổng số tiền cần mua hai loại thực phẩm $X$, $Y$ là: $F(x,y)=20x+25y$ (nghìn đồng).

Miền nghiệm của hệ phương trình là miền ngũ giác $ABCDE$ với $A(2;12)$, $B(12;12)$, $C(12;1)$, $D(10;2)$ và $E(4;8)$.
Khi đó, $F(2;12)=340$; $F(12;12)=540$, $F(12;1)=265$, $F(10;2)=250$ và $F(4;8)=280$.
Do đó giá trị nhỏ nhất của $F$ là $F=F(10,2)=250$ khi $x=10,y=2$.
Vậy tổng số gói thực phẩm $X$ và $Y$ là 12.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số gói thực phẩm loại $X$ và $Y$ dùng mỗi ngày ($x,y$ nguyên, $0\le x,y\le 12$).

Ràng buộc dinh dưỡng:
- Canxi: $20x+20y\ge 240\iff x+y\ge 12$;
- Sắt: $20x+10y\ge 160\iff 2x+y\ge 16$;
- Vitamin B: $10x+20y\ge 140\iff x+2y\ge 14$.

Chi phí: $P=20000x+25000y=5000(4x+5y)$ (đồng), cần nhỏ nhất.

Vì $P$ tăng theo cả $x$ và $y$, tối ưu nằm trên biên $x+y=12$ (nếu $x+y\ge 13$ thì $P\ge 20000\cdot 13=260000$ đã lớn hơn nghiệm tìm dưới đây). Thay $y=12-x$:
- $2x+y=x+12\ge 16\iff x\ge 4$;
- $x+2y=24-x\ge 14\iff x\le 10$.

Trên đường thẳng này: $P=20000x+25000(12-x)=300000-5000x$, giảm khi $x$ tăng, nên $P$ nhỏ nhất tại $x=10$, $y=2$.

Kiểm tra $(x,y)=(10,2)$: canxi $200+40=240\ge 240$; sắt $200+20=220\ge 160$; vitamin B $100+40=140\ge 140$; mỗi loại không quá 12 gói. Chi phí $=10\cdot 20000+2\cdot 25000=250000$ đồng, nhỏ nhất.

Vậy tổng số gói cần dùng mỗi ngày là $x+y=10+2=12$ gói, trùng với đáp án nguồn (12).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ $\{\begin{array}{l}x-y+2>0\\ 2x+y>3\end{array}$: Điểm $(-1;2)$: $-1-2+2=-1<0$ loại. Điểm $(2;-1)$: $2-(-1)+2=5>0$ nhưng $2\cdot 2+(-1)=3$ không thỏa $>3$, loại. Điểm $(1;1)$: $1-1+2=2>0$ nhưng $2\cdot 1+1=3$ không thỏa $>3$, loại. Điểm $(1;2)$: $1-2+2=1>0$ và $2\cdot 1+2=4>3$, thỏa cả hai bất phương trình. Vậy miền nghiệm chứa điểm $(1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Miền không gạch chéo là tam giác với các đỉnh $O(0;0)$, $A(0;4)$, $B(2;0)$. Cạnh $OA$ nằm trên trục $Oy$ nên miền có $x\ge 0$; cạnh $OB$ nằm trên trục $Ox$ nên $y\ge 0$. Cạnh $AB$ đi qua $(0;4)$ và $(2;0)$ có phương trình $y=-2x+4$, tức $2x+y=4$; miền tam giác nằm về phía chứa gốc $O$ nên $2x+y\le 4$ (kiểm tra tại $O$: $0\le 4$ đúng). Vậy hệ là $x\ge 0$, $y\ge 0$, $2x+y\le 4$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: 1 trang tiếng Anh cần 45 phút = 0,75h, 1 trang tiếng Trung cần 1h, nên thời gian là $0,75x+y$ (giờ). b) Đúng: ràng buộc $x,y\ge 0$; tổng không quá 5 trang: $x+y\le 5$ (kèm $x\le 5,y\le 5$); thời gian không quá 4h: $0,75x+y\le 4$. c) Sai: số từ mới là $F(x;y)=7x+9y$ (không phải $7x+5y$). d) Đúng: miền nghiệm có 4 đỉnh $(0;0),(5;0),(4;1),(0;4)$ — với $(4;1)$ là giao của $x+y=5$ và $0,75x+y=4$ — nên là tứ giác. Đáp án mã 0102: ĐĐSĐ, khớp với đáp án chính thức.
a) (AI giải đề cho tôi)
45 phút = 0,75 giờ nên thời gian đọc là $0,75x+y$ (giờ).
b) (AI giải đề cho tôi)
Các ràng buộc: $x\ge 0,y\ge 0$, $x+y\le 5$ (và do đó $x\le 5,y\le 5$), $0,75x+y\le 4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số từ mới học được là $F(x;y)=7x+9y$, không phải $7x+5y$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm có các đỉnh $(0;0),(5;0),(4;1),(0;4)$, là một tứ giác.

Đáp án: 290.
Gọi $x$ là số hecta (ha) đất trồng ngô và $y$ là số hecta đất trồng đậu xanh ($x\ge 0$; $y\ge 0$).
+ Diện tích canh tác không vượt quá 6 ha nên $x+y\le 6$.
+ Số ngày công lao động không vượt quá 80 ngày nên số ngày công cần trả tiền là $10x+20y\le 80$.
Từ đó, hệ điều kiện ràng buộc: $\{\begin{array}{l}x+y\le 6\\ 10x+20y\le 80\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục tọa độ $Oxy$ ta được miền tứ giác $OABC$ (Hình). Tọa độ các đỉnh của tứ giác đó là: $O(0;0),A(0;4),B(4;2),C(6;0)$.

Gọi $F$ là số tiền (đơn vị: triệu đồng) bác An thu được, ta có: $F(x;y)=45x+55y$
$F(0;0)=0$
$F(0;4)=4\cdot 55=220$
$F(4;2)=4\cdot 45+2\cdot 55=290$
$F(6;0)=6\cdot 45=270$
$F$ đạt giá trị lớn nhất bằng 290 tại điểm B.
Vậy bác An thu được nhiều tiền nhất là 290 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by<c$ (hoặc $\le ,>,\ge$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0. Xét từng phương án: A có ba ẩn $x,y,z$ nên không phải; B chỉ có một ẩn $x$ (bậc hai) nên không phải; C có $2x^2$ nên không bậc nhất; D là $2x+3y<5$ có dạng bậc nhất hai ẩn. Đáp án khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
[Giải thích AI, đối chiếu đáp án chính thức Mã 0101, Phần II Câu 3: SĐĐS] a) Sai: mỗi bông hoa lãi 10 ngàn đồng nên lãi từ hoa là $10x$; mỗi gấu bông lãi 40 ngàn đồng nên lãi từ gấu bông là $40y$; tổng lãi là $10x+40y$ (ngàn đồng), không phải $40x+10y$. b) Đúng: mỗi bông hoa cần $1h$, mỗi gấu bông cần $4h$, tổng thời gian tối đa $15h$ nên $x+4y\le 15$. c) Đúng: ngoài $x\ge 0$, $y\ge 0$ và ràng buộc thời gian $x+4y\le 15$, số cuộn len là $1\cdot x+2\cdot y\le 13$, tức hệ $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+4y\le 15\\ x+2y\le 13\end{array}$. d) Sai: miền nghiệm có các đỉnh $(0;0)$, giao của $x+2y=13$ với trục hoành $(13;0)$, giao hai đường thẳng $x+4y=15$ và $x+2y=13$ (giải ra $x=11$, $y=1$) là $(11;1)$, và giao của $x+4y=15$ với trục tung $(0;3,75)$. Miền nghiệm là tứ giác, không phải tam giác.
a) [Giải thích AI] Lãi từ hoa là $10x$ ngàn đồng và từ gấu bông là $40y$ ngàn đồng, nên tổng lãi là $10x+40y$, không phải $40x+10y$. Mệnh đề sai.
b) [Giải thích AI] Mỗi bông hoa cần $1h$ và mỗi gấu bông cần $4h$, tổng thời gian tối đa $15h$ nên $x+4y\le 15$. Mệnh đề đúng.
c) [Giải thích AI] Ràng buộc: $x\ge 0$, $y\ge 0$; thời gian $x+4y\le 15$; số cuộn len $x+2y\le 13$. Mệnh đề đúng.
d) [Giải thích AI] Miền nghiệm là tứ giác có các đỉnh $(0;0)$, $(13;0)$, $(11;1)$, $(0;3,75)$, không phải tam giác. Mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $\ge ,<,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0. Xét các phương án: A có $x+y^2>4$ chứa ẩn bậc hai $y^2$, không phải bậc nhất; B có $x+y+z>0$ chứa ba ẩn; C là phương trình $x-y=4$ (đẳng thức), không phải bất phương trình; D có $x+2y\le 1$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Mã 0101, Câu 2: D).

Đáp án: 260.
Gọi $x$ là số hecta (ha) đất trồng ngô và $y$ là số hecta đất trồng đậu xanh $(x\ge 0;y\ge 0)$.
+ Diện tích canh tác không vượt quá 6 ha nên $x+y\le 6$.
+ Số ngày công lao động không vượt quá 80 ngày nên số ngày công cần trả tiền là $10x+20y\le 80$.
Từ đó, hệ điều kiện ràng buộc: $\{\begin{array}{l}x+y\le 6\\ 10x+20y\le 80\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục tọa độ $Oxy$ ta được miền tứ giác $OABC$ (Hình). Tọa độ các đỉnh của tứ giác đó là: $O(0;0),A(0;4),B(4;2),C(6;0)$.
[Hình cần kiểm tra lại: p13_f1]
Gọi $F$ là số tiền (đơn vị: triệu đồng) bác An thu được, ta có: $F(x;y)=40x+50y$
$F(0;0)=0$
$F(4;0)=4.50=200$
$F(4;2)=4.40+2.50=260$
$F(6;0)=6.40=240$
$F$ đạt giá trị lớn nhất bằng 260 tại điểm B.
Vậy bác An thu được nhiều tiền nhất là 260 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ (tấn) là lượng sản phẩm I và II sản xuất. Ràng buộc: $x+y\le 5$ (nguyên liệu A), $y\le 2$ (nguyên liệu B), $x+2y\le 6$ (nguyên liệu C), $x,y\ge 0$. Lợi nhuận $P=3x+5y$. Các đỉnh miền ràng buộc: $(0,0)$, $(5,0)$, giao của $x+y=5$ và $x+2y=6$ là $(4,1)$, $(0,2)$. Tính $P$: $P(5,0)=15$; $P(4,1)=12+5=17$; $P(0,2)=10$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $17$ triệu đồng tại $x=4,y=1$.

a) Sai. Tiền lãi cao nhất là 6480 nghìn đồng hay 6480000 đồng.
b) Sai. Gọi số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai mà phân xưởng cần sản xuất trong một ngày lần lượt là $x,y(x,y\ge 0,x,y\in \mathbb{Z})$. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai là: $\frac{1}{60}$ (giờ). Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất là: $2\cdot \frac{1}{60}=\frac{1}{30}$ (giờ). Thời gian để làm ra $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là: $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y=\frac{2x+y}{60}$ (giờ). Tổng số tiền lãi thu được khi bán $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là: $T=24x+15y$ (nghìn đồng). Bài toán đưa về: Tìm các số nguyên $x,y$ là nghiệm của hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}0\le x\le 200\\ 0\le y\le 240\\ 2x+y\le 480\end{array}(II)$ sao cho $T=24x+15y$ đạt giá trị lớn nhất. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $(II)$ là miền ngũ giác $OABCD$ với $O(0;0),A(0;240)$, $B(120;240),C(200;80),D(200;0)$. Ta có biểu thức $T=24x+15y$ có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác $OABCD$. Tính giá trị của biểu thức $T=24x+15y$ tại cặp số $(x;y)$ là tọa độ các đỉnh của ngũ giác $OABCD$ rồi so sánh các giá trị đó. Ta được $T$ đạt giá trị lớn nhất bằng 6480 khi $x=120,y=240$ ứng với tọa độ đỉnh $B$; không phải tại $(200;80)$.
c) Đúng. Thời gian để làm ra $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y=\frac{2x+y}{60}$ (giờ).
d) Sai. Theo giả thiết: $0\le x\le 200$, $0\le y\le 240$ và $2x+y\le 480$; hệ trong phát biểu d) đảo các giới hạn $x$, $y$.
a) Tiền lãi cao nhất là 6480 nghìn đồng hay 6480000 đồng, không phải 648000 đồng.
b) $T=24x+15y$ đạt giá trị lớn nhất bằng 6480 khi $x=120$, $y=240$ (đỉnh $B(120;240)$ của ngũ giác miền nghiệm), không phải tại $(200;80)$.
c) Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai là $\frac{1}{60}$ (giờ); thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất là $2\cdot \frac{1}{60}=\frac{1}{30}$ (giờ). Thời gian để làm ra $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y=\frac{2x+y}{60}$ (giờ).
d) Theo giả thiết: $0\le x\le 200$, $0\le y\le 240$ (thị trường tiêu thụ tối đa 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai) và $2x+y\le 480$. Hệ trong phát biểu d) đảo các giới hạn $x$, $y$.