Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

Gọi $x\ge 0$, $y\ge 0$ (tấn) là sản lượng cần sản xuất của sản phẩm $A$ và sản phẩm $B$ ta có: $x+6y$ là thời gian hoạt động của máy $I$; $2x+3y$ là thời gian hoạt động của máy $II$. $3x+2y$ là thời gian hoạt động của máy $III$; Số tiền lãi của nhà máy: $T=3x+9y$ (triệu đồng). Bài toán trở thành: Tìm $x\ge 0$, $y\ge 0$ thỏa mãn $\{\begin{array}{l}x+6y\le 30\\ 2x+3y\le 23\\ 3x+2y\le 27\end{array}$ (*) để $T=3x+9y$ đạt giá trị lớn nhất. Miền nghiệm của hệ (*) là phần miền ngũ giác không bị gạch chéo. Tìm giao điểm của các cặp đường thẳng ta được các đỉnh có tọa độ hữu hạn của miền nghiệm là: $O(0;0)$; $A(7;3)$; $B(9;0)$; $C(0;5)$; $D\left(\frac{16}{3};\frac{37}{9}\right)$. Thay tọa độ các điểm này vào biểu thức $T$ ta được: $T$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm D, tức là khi $x=\frac{16}{3}$; $y=\frac{37}{9}$. Vậy nhà máy cần sản xuất $\frac{16}{3}$ tấn sản phẩm $A$ và $\frac{37}{9}$ tấn sản phẩm $B$ để tiền lãi được nhiều nhất và số tiền lãi nhiều nhất là 53 (triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp số vào bất phương trình $4x-y+1<0$:
- A $(3;5)$: $4\cdot 3-5+1=8>0$, không thỏa.
- B $(0;-1)$: $4\cdot 0-(-1)+1=2>0$, không thỏa.
- C $(0;8)$: $4\cdot 0-8+1=-7<0$, thỏa.
- D $(2;-1)$: $4\cdot 2-(-1)+1=10>0$, không thỏa.
Vậy chỉ có cặp $(0;8)$ là nghiệm, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, Câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng: $2x+3y=6$ với $x=0$ cho $A(0;2)$; $2x-3y=1$ với $x=0$ cho $B(0;-\frac{1}{3})$; hai đường $2x+3y=6$ và $2x-3y=1$ cắt nhau tại $C(\frac{7}{4};\frac{5}{6})$ (cộng hai phương trình: $4x=7$). Diện tích tam giác: đáy $AB=2-(-\frac{1}{3})=\frac{7}{3}$, chiều cao (khoảng cách từ $C$ đến trục $Oy$) $=\frac{7}{4}$, nên $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{7}{3}\cdot \frac{7}{4}=\frac{49}{24}$. Vậy $m=49$, $n=24$, $m+n=73$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số ly loại A và B bán được trong ngày. Tổng tiền hàng phải đạt ít nhất 2 triệu đồng, tức $15000x+20000y\ge 2000000$ (đồng). Kiểm tra từng phương án (tính theo nghìn đồng):
- A: $85\cdot 15+35\cdot 20=1275+700=1975<2000$ (không đủ).
- B: $78\cdot 15+42\cdot 20=1170+840=2010\ge 2000$ (đạt).
- C: $90\cdot 15+30\cdot 20=1350+600=1950<2000$ (không đủ).
- D: $83\cdot 15+37\cdot 20=1245+740=1985<2000$ (không đủ).
Chỉ phương án B cho tổng tiền hàng 2 010 000 đồng ≥ 2 triệu đồng, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 6: B).

a) Sai. Theo giả thiết, $x$ và $y$ phải thoả mãn: $0\le x\le 200$, $0\le y\le 240$; $\frac{2x+y}{60}\le 8$ hay $2x+y\le 480$. Vậy hệ đúng phải có $2x+y\le 480$.
b) Đúng. Gọi số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai mà phân xưởng cần sản xuất trong một ngày lần lượt là $x,y(x,y\ge 0,x,y\in \mathbb{Z})$. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai là: $\frac{1}{60}$ (giờ). Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất là: $2\cdot \frac{1}{60}=\frac{1}{30}$ (giờ). Thời gian để làm ra $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là: $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y=\frac{2x+y}{60}$ (giờ). Tổng số tiền lãi thu được khi bán $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là: $T=24x+15y$ (nghìn đồng). Bài toán đưa về: Tìm các số nguyên $x,y$ là nghiệm của hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}0\le x\le 200\\ 0\le y\le 240\\ 2x+y\le 480\end{array}(II)$ sao cho $T=24x+15y$ đạt giá trị lớn nhất. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $(II)$ là miền ngũ giác $OABCD$ với $O(0;0),A(0;240)$, $B(120;240),C(200;80),D(200;0)$. Ta có biểu thức $T=24x+15y$ có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác $OABCD$. Tính giá trị của biểu thức $T=24x+15y$ tại cặp số $(x;y)$ là tọa độ các đỉnh của ngũ giác $OABCD$ rồi so sánh các giá trị đó. Ta được $T$ đạt giá trị lớn nhất bằng 6480 khi $x=120,y=240$ ứng với tọa độ đỉnh $B$.
c) Đúng. Vậy để thu được tiền lãi là cao nhất thì trong một ngày, phân xưởng cần sản xuất 120 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Khi đó tiền lãi thu được là 6480 nghìn đồng hay 6480000 đồng.
d) Sai. Thời gian để làm ra $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y=\frac{2x+y}{60}$ (giờ).
a) Theo giả thiết, $x$ và $y$ phải thoả mãn các điều kiện: $0\le x\le 200$, $0\le y\le 240$; $\frac{2x+y}{60}\le 8$ hay $2x+y\le 480$. Vậy hệ bất phương trình đúng phải có $2x+y\le 480$, không phải $2x+y\ge 480$.
b) Miền nghiệm của hệ bất phương trình $(II)$ là miền ngũ giác $OABCD$ với $O(0;0)$, $A(0;240)$, $B(120;240)$, $C(200;80)$, $D(200;0)$. Biểu thức $T=24x+15y$ có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác $OABCD$. Tính giá trị của $T$ tại tọa độ các đỉnh rồi so sánh, ta được $T$ đạt giá trị lớn nhất bằng 6480 khi $x=120$, $y=240$ ứng với tọa độ đỉnh $B$.
c) Để thu được tiền lãi là cao nhất thì trong một ngày, phân xưởng cần sản xuất 120 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Khi đó tiền lãi thu được là 6480 nghìn đồng hay 6480000 đồng.
d) Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai là: $\frac{1}{60}$ (giờ). Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất là: $2\cdot \frac{1}{60}=\frac{1}{30}$ (giờ). Thời gian để làm ra $x$ chiếc mũ kiểu thứ nhất và $y$ chiếc mũ kiểu thứ hai là: $\frac{1}{30}x+\frac{1}{60}y=\frac{2x+y}{60}$ (giờ), không phải $\frac{2x-y}{60}$.

Gọi $x\ge 0$, $y\ge 0$ (tấn) là sản lượng cần sản xuất của sản phẩm $A$ và sản phẩm $B$ ta có: $x+6y$ là thời gian hoạt động của máy $I$; $2x+3y$ là thời gian hoạt động của máy $II$. $3x+2y$ là thời gian hoạt động của máy $III$; Số tiền lãi của nhà máy: $T=4x+3y$ (triệu đồng). Bài toán trở thành: Tìm $x\ge 0$, $y\ge 0$ thỏa mãn $\{\begin{array}{l}x+6y\le 36\\ 2x+3y\le 23\\ 3x+2y\le 27\end{array}$ (*) để $T=4x+3y$ đạt giá trị lớn nhất. Miền nghiệm của hệ (*) là phần miền ngũ giác không bị gạch chéo. Tìm giao điểm của các cặp đường thẳng ta được các đỉnh có tọa độ hữu hạn của miền nghiệm là: $$O(0;0);A(7;3);B(9;0);C(0;6);D\left(\frac{10}{3};\frac{49}{9}\right)$$ Thay tọa độ các điểm này vào biểu thức $T$ ta được: $T$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm $A$, tức là khi $x=7;y=3$. Vậy $2x+y=17$.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh: giao của $x=0$ và $5x-4y=10$ là $A(0;-\frac{5}{2})$; giao của $x=0$ và $4x+5y=10$ là $B(0;2)$; giao của $5x-4y=10$ và $4x+5y=10$: cộng theo hệ $25x-20y=50$, $16x+20y=40$ được $41x=90\Rightarrow x=\frac{90}{41}$, $y=\frac{10}{41}$, tức $C\left(\frac{90}{41};\frac{10}{41}\right)$. Diện tích tam giác $ABC$: đáy $AB=2-(-\frac{5}{2})=\frac{9}{2}$ trên trục $Oy$, chiều cao là hoành độ của $C$ là $\frac{90}{41}$. Vậy $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{9}{2}\cdot \frac{90}{41}=\frac{405}{82}$, tối giản với $m=405,n=82$. Do đó $m-2n=405-164=241$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số ly loại A, loại B bán được trong ngày. Tổng tiền bán phải ít nhất 2 triệu đồng, tức $15000x+20000y\ge 2000000$. Kiểm tra từng phương án:
- A: $90\cdot 15000+30\cdot 20000=1350000+600000=1950000<2000000$ (không đủ).
- B: $78\cdot 15000+42\cdot 20000=1170000+840000=2010000\ge 2000000$ (đạt).
- C: $83\cdot 15000+37\cdot 20000=1245000+740000=1985000<2000000$ (không đủ).
- D: $85\cdot 15000+35\cdot 20000=1275000+700000=1975000<2000000$ (không đủ).
Vậy chỉ phương án B thỏa mãn, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp số vào bất phương trình $2x-y+1<0$:
- A $(2;-1)$: $2\cdot 2-(-1)+1=6>0$, không thỏa.
- B $(1;4)$: $2\cdot 1-4+1=-1<0$, thỏa.
- C $(0;-1)$: $0-(-1)+1=2>0$, không thỏa.
- D $(3;5)$: $2\cdot 3-5+1=2>0$, không thỏa.
Vậy chỉ có cặp $(1;4)$ là nghiệm, khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 16 (mã đề 0112), đáp án chính thức: SĐĐS.
a) Sai: hoa cúc lãi 40 triệu/ha, hoa ly lãi 100 triệu/ha nên $L(x;y)=40x+100y$, không phải $100x+40y$.
b) Đúng: diện tích $x+y\le 8$, vốn $10x+30y\le 120\iff x+3y\le 12$, cùng $x,y\ge 0$.
c) Đúng: với $x=4,y=3$ thì $x+3y=4+9=13>12$, vi phạm điều kiện vốn nên phương án không thoả mãn.
d) Sai: trồng 8 ha hoa ly thì $x+3y=24>12$, vi phạm điều kiện vốn. Xét các đỉnh miền ràng buộc: $(0;0)$, $(8;0)$, $(6;2)$, $(0;4)$. $L=40x+100y$ đạt: $(8;0)\to 320$; $(6;2)\to 440$; $(0;4)\to 400$. Lợi nhuận lớn nhất $440$ triệu đồng tại $(x;y)=(6;2)$, tức trồng 6 ha cúc và 2 ha ly, không phải toàn bộ 8 ha hoa ly.
a) (AI giải đề cho tôi)
Lãi đúng là $L(x;y)=40x+100y$ (cúc 40 triệu/ha, ly 100 triệu/ha), không phải $100x+40y$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x+y\le 8$ (diện tích), $10x+30y\le 120\iff x+3y\le 12$ (vốn), $x,y\ge 0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x=4,y=3$ cho $x+3y=13>12$, vi phạm điều kiện vốn nên không thoả mãn.
d) (AI giải đề cho tôi)
8 ha hoa ly vi phạm $x+3y\le 12$. Lợi nhuận max tại $(6;2)$ với $L=440$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: lãi mỗi ha lúa X là 10 triệu, mỗi ha lúa Y là 8 triệu nên $L(x;y)=10x+8y$ (triệu đồng).
b) Sai: điều kiện ngân sách là $4x+2y\le 30\iff 2x+y\le 15$, không phải $x+2y\le 15$. Hệ đúng là $\{\begin{array}{l}x\ge 0;y\ge 0\\ x+y\le 10\\ 2x+y\le 15\end{array}$.
c) Sai: diện tích $6+4=10\le 10$ thoả mãn, nhưng chi phí $4\cdot 6+2\cdot 4=32>30$ triệu đồng vượt ngân sách.
d) Đúng: miền ràng buộc có các đỉnh $(0;0),(0;10),(5;5),(7,5;0)$. Tính $L$: $L(0;10)=80$, $L(5;5)=50+40=90$, $L(7,5;0)=75$. Vậy lãi lớn nhất $90$ triệu đồng tại $x=5,y=5$, tức trồng 5 ha lúa X và 5 ha lúa Y.
a) (AI giải đề cho tôi)
Lãi $10x+8y$ triệu đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện ngân sách phải là $2x+y\le 15$, không phải $x+2y\le 15$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chi phí $4\cdot 6+2\cdot 4=32>30$ triệu đồng, vượt ngân sách.
d) (AI giải đề cho tôi)
$L(5;5)=90$ lớn nhất so với các đỉnh $(0;10)=80$, $(7,5;0)=75$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hệ bất phương trình:
- $-x+y<3\iff y<x+3$;
- $3x+2y<6\iff y<\frac{6-3x}{2}$;
- $x-2y<2\iff y>\frac{x-2}{2}$;
- $x+3y>-3\iff y>\frac{-3-x}{3}$.

Để hệ có nghiệm cần $\max \left(\frac{x-2}{2};\frac{-3-x}{3}\right)<\min \left(x+3;\frac{6-3x}{2}\right)$. Kiểm tra từng cặp:
- $\frac{x-2}{2}<\frac{6-3x}{2}\iff x<2$;
- $\frac{x-2}{2}<x+3\iff x>-8$;
- $\frac{-3-x}{3}<\frac{6-3x}{2}\iff -6-2x<18-9x\iff x<\frac{24}{7}$;
- $\frac{-3-x}{3}<x+3\iff -3-x<3x+9\iff x>-3$.

Vậy $-3<x<2$, tức $x\in \{-2;-1;0;1\}$.

Xét từng giá trị:
- $x=-2$: $\max \left(-2;-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{3}<y<\min (1;6)=1\Rightarrow y=0$: 1 cặp.
- $x=-1$: $-\frac{2}{3}<y<2\Rightarrow y\in \{0;1\}$: 2 cặp.
- $x=0$: $-1<y<3\Rightarrow y\in \{0;1;2\}$: 3 cặp.
- $x=1$: $-\frac{1}{2}<y<\frac{3}{2}\Rightarrow y\in \{0;1\}$: 2 cặp.

Tổng cộng có $1+2+3+2=8$ cặp số nguyên $(x;y)$.

(AI giải đề cho tôi)
Thuê 7 ngày: 3 ngày đầu giá 100 nghìn đồng/ngày, 4 ngày tiếp theo giá 90 nghìn đồng/ngày. Số tiền phải trả là $3\cdot 100+4\cdot 90=300+360=660$ (nghìn đồng).

Gọi $x$, $y$ lần lượt là số thực đơn 1 và số thực đơn 2 mà nhóm sẽ thực hiện $(x,y\in \mathbb{N})$. Tổng số tiền mà nhóm thu được sau khi bán hết thực đơn: $F(x;y)=25x+40y$ (nghìn đồng). (0,5 điểm)

Từ giả thiết ta có hệ bất phương trình: $$\{\begin{array}{l}x+2y\le 80\\ x+y\le 60\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}(\ast )$$

Bài toán quy về cho các bộ số tự nhiên $(x;y)$ thỏa mãn hệ $(\ast )$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x;y)=25x+40y$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $(\ast )$ là miền tứ giác $OABC$ (tính cả các cạnh), trong đó: $O(0;0)$, $A(60;0)$, $B(40;20)$, $C(0;40)$. [Hình cần kiểm tra lại: p7_f1] (0,5 điểm)

Thay tọa độ của các điểm $O$, $A$, $B$, $C$ vào biểu thức $F$, ta có: $F(0;0)=0$, $F(60;0)=1500$, $F(40;20)=1800$, $F(0;40)=1600$. (0,25 điểm)

Vậy số tiền lớn nhất của nhóm là 1,8 triệu đồng khi bán được 40 thực đơn 1 và 20 thực đơn 2. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Giá đôi thứ nhất là 10000 đồng. Khi mua từ đôi thứ ba trở lên thì mỗi đôi từ đôi thứ hai trở lên được giảm 15%, tức giá mỗi đôi từ đôi thứ hai trở lên là $10000\cdot 0,85=8500$ đồng (điều này bao luôn trường hợp mua đúng 2 đôi, vì khi mua 2 đôi đôi thứ hai giảm 10% nên rẻ hơn, tức mua nhiều hơn chỉ có lợi). Gọi $n$ là số đôi mua được, tổng tiền: $10000+8500(n-1)\le 100000\Rightarrow 8500(n-1)\le 90000\Rightarrow n-1\le 10,58\Rightarrow n\le 11,58$, vậy $n=11$. Kiểm tra: mua 11 đôi tốn $10000+10\cdot 8500=95000\le 100000$ đồng; mua 12 đôi tốn $10000+11\cdot 8500=103500>100000$ đồng. Vậy mua được tối đa 11 đôi, chọn B.

Đáp án: 60.

Gọi $x,y$ lần lượt là số bàn, số ghế $(x,y\ge 0)$.

Theo đề, ta có hệ bất phương trình:
$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 5x+2y\le 240\\ 2x+y\le 100\end{array}$

Và lợi nhuận: $F=0,6x+0,3y$ (triệu đồng).

[Hình cần kiểm tra lại: p14_f1]

Dựa vào hình vẽ, miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác $OABC$ (kể cả bờ) với $O(0;0);A(100;0);B(40;20);C(48;0)$.

Ta có: $F_O=0$; $F_A=60$; $F_B=30$; $F_C=28,8$.

Vậy lợi nhuận lớn nhất mà xưởng mộc có thể đạt được là 60 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào vế trái $2x+5y-7$: với $L(-2;3)$: $2(-2)+5(3)-7=4>0$ (thuộc); với $M(1;0)$: $2(1)+5(0)-7=-5<0$ (không thuộc); với $K(7;-1)$: $14-5-7=2>0$ (thuộc); với $N(0;2)$: $0+10-7=3>0$ (thuộc). Vậy điểm không thuộc miền nghiệm là $M(1;0)$, khớp đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tứ giác $OADB$ với các đỉnh $O(0;0)$, $A(6;0)$, $D(2;4)$ (giao của $x+y=6$ và $x+2y=10$), $B(0;5)$. Trên miền này, hàm mục tiêu $P=30x+50y$ đạt giá trị: tại $O$: $0$; tại $A(6;0)$: $180$; tại $D(2;4)$: $30\cdot 2+50\cdot 4=260$; tại $B(0;5)$: $250$. Vậy giá trị lớn nhất $P=260$ triệu đồng, đạt khi trồng $2$ ha ngô và $4$ ha cà chua (dùng đúng $6$ ha đất và $100$ ngày công). Đáp số khớp với đáp án nguồn ($260$).

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào vế trái $2x+5y-7$: Với $N(0;2)$: $2\cdot 0+5\cdot 2-7=3>0$ nên $N$ thuộc miền nghiệm. Với $L(-2;3)$: $2\cdot (-2)+5\cdot 3-7=4>0$ nên $L$ thuộc miền nghiệm. Với $K(7;-1)$: $2\cdot 7+5\cdot (-1)-7=2>0$ nên $K$ thuộc miền nghiệm. Với $M(1;0)$: $2\cdot 1+5\cdot 0-7=-5<0$ nên $M$ không thuộc miền nghiệm. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $O(0;0)$, $A(6;0)$, $C(2;4)$ (giao của $x+y=6$ và $x+2y=10$: trừ hai phương trình ta được $y=4$, $x=2$), $B(0;5)$. Hàm mục tiêu $P=30x+50y$ (triệu đồng). Tại $O$: $P=0$; tại $A(6;0)$: $P=180$; tại $B(0;5)$: $P=250$; tại $C(2;4)$: $P=30\cdot 2+50\cdot 4=60+200=260$. Vậy giá trị lớn nhất của $P$ trên miền nghiệm là $260$ triệu đồng, đạt được khi bác Hai trồng $2$ ha ngô và $4$ ha cà chua (dùng hết $6$ ha đất và $10\cdot 2+20\cdot 4=100$ ngày). Kết quả trùng với đáp số 260 ở trang đáp án.