Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Chọn D

y-2 2y
y + 2 + 1  0 y + 2  0 x, y $\in$ '

Điều kiện: $\iff$ $\iff$ y \ge 1 .
x + 2 +1  0 2x +1  0 x\ge 2
x - 1 x - 1

 y - 2  ( x - 1)( y - 2 )  x+2 
Bất phương trình tương đương ( y + 2 ) log 3  + 1 + log 2  + 1 \le 0
 y+2  x+2  x -1 

 y-2  x -1  3 
( y + 2 ) log3  + 1 + ( y - 2 ) log 2  + 2 \le 0
 y+2  x+2  x -1 

x -1  3 
Với x \ge 2 , ta có log 2  + 2  0 .
x+2  x -1 

 y-2  x -1  3 
Nên với y = 1 và x \ge 2 ( y + 2 ) log 3  + 1 + ( y - 2 ) log 2  + 2   0 (Thỏa).
 y+2  x+2  x -1 

Trường hợp này có 2022 cặp ( x; y ) thỏa mãn.

 y-2  x -1  3 
Với y = 2 và x \ge 2 ( y + 2 ) log 3  + 1 + ( y - 2 ) log 2  + 2  = 0 (Thỏa).
 y+2  x+2  x -1 

Trường hợp này có 2022 cặp ( x; y ) thỏa mãn.

y+20

y-2  y-2  x -1  3 
Với y  2 , + 1  1 nên ( y + 2 ) log 3  + 1 + ( y - 2 ) log 2  + 2   0 không
y+2  y+2  x+2  x -1 
y - 2  0
thỏa mãn bất phương trình.
Vậy có tất cả 4044 cặp ( x; y ) thỏa mãn.

————— TOANMATH.com —————

Ta có ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x<2\iff x>{\log }_{\frac{1}{3}}2=-{\log }_{3}2$.
Chọn C.

Từ giả thiết (với $x^2+3y^2>1$) suy ra $4x+y+\frac{5}{4}\ge x^2+3y^2\iff (x-2{)}^2+3{\left(y-\frac{1}{6}\right)}^2\le \frac{16}{3}$.
Áp dụng BĐT Bunyakovsky: $P=4(x-2)+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{3}\left(y-\frac{1}{6}\right)+\frac{49}{6}\le \sqrt{16+\frac{1}{3}}\cdot \sqrt{\frac{16}{3}}+\frac{49}{6}=\frac{35}{2}$.
Chọn D.

Chọn D.
Ta có $\ln (3x+1)\le 0\iff 0<3x+1\le 1\iff -\frac{1}{3}<x\le 0$.
Tập nghiệm của bất phương trình $\ln (3x+1)\le 0$ là $\left(-\frac{1}{3};0\right]$.

Chọn D.
Điều kiện: $\{\begin{array}{l}x>-1\\ x\ne 6\end{array}$.
$\frac{{\log }_{2023}(x+1{)}^2}{x^2-5x-6}>\frac{{\log }_{2024}(x+1{)}^3}{x^2-5x-6}\iff \frac{2{\log }_{2023}(x+1)}{x^2-5x-6}-\frac{3{\log }_{2024}(x+1)}{x^2-5x-6}>0$
$\iff \frac{2{\log }_{2023}(x+1)-\frac{3{\log }_{2023}(x+1)}{{\log }_{2023}2024}}{(x+1)(x-6)}>0\iff \frac{{\log }_{2023}(x+1)}{x-6}<0\iff 0<x<6$.
Mà $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \{1;2;3;4;5\}$. Vậy tìm được $5$ giá trị nguyên $x$.

Ta có $3^{x-2}>9\iff 3^{x-2}>3^2\iff x-2>2\iff x>4$. (Đề gốc in cả hai phương án A và B là $(4;+\infty )$; đáp án chính thức của trường cho Mã đề 101 là B).

Điều kiện: $\frac{2}{3}<x<\frac{6}{5}$. Bất phương trình tương đương $3x-2>6-5x\iff 8x>8\iff x>1$. Kết hợp điều kiện ta được $x\in \left(1;\frac{6}{5}\right)$, suy ra $a=1,b=\frac{6}{5}$ và $S=a+b=\frac{11}{5}$.

Ta có $2^{x-3}<{\left(\frac{1}{4}\right)}^{x+1}\iff 2^{x-3}<2^{-2x-2}\iff x-3<-2x-2\iff 3x<1\iff x<\frac{1}{3}$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$.

Bất phương trình tương đương với ${\log }_{0,2}(x^2+1)\le {\log }_{0,2}\left[\frac{1}{5}(m{x}^2+4x+m)\right]\iff 0<\frac{1}{5}(m{x}^2+4x+m)\le x^2+1,\forall x\in \mathbb{R}\iff \{\begin{array}{l}m{x}^2+4x+m>0,\forall x\in \mathbb{R}\\ (m-5)x^2+4x+m-5\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m>2\\ m\le 3\end{array}\iff 2<m\le 3$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=3$, có $1$ giá trị nguyên.

Đặt $t=\sqrt{8e^x-y}>0$, bất phương trình trở thành $\frac{2e^x}{t}-\ln \frac{2e^x}{t}\le 1$. Xét hàm $g(u)=u-\ln u\ge 1$ với mọi $u>0$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $u=1\iff 2e^x=\sqrt{8e^x-y}\iff y=8e^x-4e^{2x}$ (hoặc đặt theo lời giải $u=\frac{t^2+y}{8t}=1\iff y=8e^x-e^{2x}$). Để có đúng $2$ nghiệm thực $x$ thì $0<y<16$, có $15$ số nguyên $y\in \{1;2;\dots ;15\}$.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Hà Tĩnh, trang 9, mã đề 001.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Hà Tĩnh, trang 9, mã đề 001.)

Đáp án: B. Theo hướng dẫn giải chính thức (trang 11-12, nhãn 'Câu 46'): Điều kiện $2y+1>0$. Bất phương trình tương đương ${\log }_5\left(\frac{x^2+y^2}{2y+1}+1\right)\le {\log }_3\left(1+\frac{8(2y+1)}{x^2+y^2}\right)$. Đặt $t=\frac{x^2+y^2}{2y+1}>0$, xét $f(t)={\log }_5(t+1)-{\log }_3\left(1+\frac{8}{t}\right)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ và $f(4)=0$, suy ra $t\le 4\iff x^2+(y-4{)}^2\le 20$. Từ đó $P=x+y\le 4+\sqrt{2\cdot 20}=4+2\sqrt{10}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1358, trang 5), Câu 10 (Phần I) chọn đáp án A.

Do cơ số $0<0,2<1$ nên ${\log }_{0,2}(3x-2)>{\log }_{0,2}(6-5x)⟺0<3x-2<6-5x⟺\frac{2}{3}<x<1$.

Ta có ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{4x}\le {\left(\frac{2}{3}\right)}^{x-2}\iff 4x\ge x-2\iff x\ge -\frac{2}{3}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[-\frac{2}{3};+\infty \right)$.

Ta có ${\log }_{\frac{1}{3}}(x-2)>0\iff \{\begin{array}{l}x-2>0\\ x-2<{\left(\frac{1}{3}\right)}^0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>2\\ x-2<1\end{array}\iff 2<x<3$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(2;3)$.

Điều kiện: $x>y$ và $x>-y^2$. Vì $y\in \mathbb{Z}$ nên $y^2\ge y$, suy ra điều kiện xác định là $x>y$.

Chuyển vế và xét hàm số $f(x)={\log }_{2020}(x+y^2)+{\log }_{2021}(y^2+y+64)-{\log }_4(x-y)$ trên $(y;+\infty )$, ta chứng minh được $f^{\prime }(x)<0,\forall x>y$ nên $f(x)$ nghịch biến trên $(y;+\infty )$.

Để có không quá $63$ số nguyên $x$ (tức là $x\in \{y+1;y+2;\dots ;y+63\}$) thỏa mãn $f(x)\ge 0$, điều kiện là $f(y+64)<0\iff {\log }_{2020}(y^2+y+64)+{\log }_{2021}(y^2+y+64)<3$.

Do ${\log }_{2020}t+{\log }_{2021}t$ đồng biến và $\approx 3$ tại $t\approx 90754$, giải bất phương trình $y^2+y+64<t_0$ thu được $y\in \{-301;-300;\dots ;300\}$, có $602$ giá trị nguyên của $y$.

Điều kiện xác định: $x^2+2x-3\ge 0\iff [<table><tbody><tr><td>x\le -3</td></tr><tr><td>x\ge 1</td></tr></tbody></table>$.

- Với $x\le -3$: $2^{2x+1}-9\cdot 2^x=2^x(2^{x+1}-9)>-9$, còn khi $x\le -4$ thì $4\sqrt{x^2+2x-3}\ge 4\sqrt{5}>8,94>9\cdot 2^{-4}$, nên mọi $x\in [-20;-3]\cap \mathbb{Z}$ ($18$ giá trị) đều thỏa mãn.
- Với $x\ge 1$: tại $x=1,2$ thay vào trực tiếp: $x=1\Rightarrow 8-18+0=-10<0$ (loại); $x=2\Rightarrow 32-36+4\sqrt{5}>0$ (thỏa mãn). Với $x\ge 3$ thì $2^{2x+1}-9\cdot 2^x=2^x(2^{x+1}-9)>0$ nên luôn thỏa mãn, có $x\in \{2;3;\dots ;20\}$ ($19$ giá trị? Kiểm tra $x=-3$: $2^{-5}-9\cdot 2^{-3}+0<0$ nên $x=-3$ loại, có $17$ giá trị âm $\{-20;\dots ;-4\}$ và $19$ giá trị dương $\{2;\dots ;20\}$).

Vậy có tất cả $17+19=36$ nghiệm nguyên.

Ta có: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3x^2}<3^{2x+1}\iff 3^{3x^2}<3^{2x+1}\iff 3x^2-2x-1<0\iff -\frac{1}{3}<x<1$.
Chọn B.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1276, trang 5), Câu 9 (Phần I) chọn đáp án D.

Bất phương trình tương đương $x^2+x\le 2⟺x^2+x-2\le 0⟺-2\le x\le 1$.