Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích bề mặt các tầng lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=\frac{12288}{2}=6144m^2$ và công bội $q=\frac{1}{2}$. Tầng trên cùng là tầng 10: $u_{10}=u_1\cdot q^9=6144\cdot \frac{1}{2^9}=\frac{6144}{512}=12m^2$. Vậy diện tích bề mặt tầng trên cùng bằng $12m^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ba số là $a,ar,a{r}^2$ (cấp số nhân công bội $r$). Theo đề: $a{r}^2-a=16$. Ba số này là số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ năm của một cấp số cộng $a,a+d,a+4d$. Suy ra $ar=a+d\Rightarrow d=a(r-1)$ và $a{r}^2=a+4d=a+4a(r-1)$. Vì $a\ne 0$ (nếu $a=0$ thì $a{r}^2-a=0\ne 16$), chia cho $a$: $r^2=1+4r-4\Rightarrow r^2-4r+3=0\Rightarrow r=1$ hoặc $r=3$. Với $r=1$: $a{r}^2-a=0\ne 16$, loại. Với $r=3$: $9a-a=16\Rightarrow a=2$. Vậy ba số là $2,6,18$. Kiểm tra: $18-2=16$ đúng; $2,6,18$ là số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ năm của cấp số cộng $2,6,10,14,18$ (công sai $d=4$) đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $S$ là diện tích đáy tháp. Diện tích mặt trên của tầng 1 là $S_1=\frac{S}{2}$. Vì diện tích mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới, dãy diện tích mặt trên của các tầng lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=\frac{S}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$. Diện tích mặt trên cùng (tầng 11) là: $$u_{11}=u_1{q}^{10}=\frac{S}{2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}=\frac{S}{2^{11}}=\frac{S}{2048}.$$ Vậy diện tích mặt trên cùng bằng $\frac{1}{2048}$ diện tích đáy tháp. (Đề không cho số liệu diện tích đáy cụ thể nên kết quả biểu diễn theo diện tích đáy $S$.)

Công bội của cấp số nhân là $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{12}{3}=4$.

Số hạng thứ 6 của cấp số nhân là $u_6=u_1\cdot q^5=3\cdot 4^5=3\cdot 1024=3072$.

Dãy số $1;0;1;0;1;\dots$ có tỉ số $\frac{u_2}{u_1}=0$, nhưng $u_2\cdot 0=0\ne u_3=1$ nên không phải là cấp số nhân.

Chọn C.

Công bội của cấp số nhân là $q=\frac{u_4}{u_3}=\frac{6}{3}=2$.

Chọn B.

Số hạng thứ 8 của cấp số nhân là $u_8=u_1\cdot q^7=2\cdot 3^7=2\cdot 2187=4374$.

Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng thứ 9 của cấp số nhân: $u_9=u_1\cdot q^8=23\cdot 5^8=23\cdot 390625=8984375$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Dân số theo cấp số nhân: $u_n=2\cdot (1,01{)}^n$ (triệu người). Sau 10 năm: $u_{10}=2\cdot (1,01{)}^{10}\approx 2\cdot 1,104622\approx 2,2092$ triệu người. Làm tròn đến hàng phần trăm: $2,21$ triệu người (tức 2 210 000 người).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông ban đầu có cạnh 16 cm, diện tích $S_0=16^2=256{\text{cm}}^2$. Nối các trung điểm các cạnh tạo thành 4 tam giác bằng nhau, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{4}{S}_0=64{\text{cm}}^2$; mỗi bước tô màu 2 trong 4 tam giác nên tô $\frac{1}{2}$ diện tích hình vuông hiện tại, đồng thời hình vuông mới (nối trung điểm) có diện tích bằng $\frac{1}{2}$ diện tích hình vuông trước. Vậy diện tích tô màu qua các bước lập thành cấp số nhân công bội $\frac{1}{2}$ với số hạng đầu $128{\text{cm}}^2$: $128,64,32,16,8,4{\text{cm}}^2$ (bước đầu tiên cộng 5 lần lặp lại, tổng cộng 6 bước). Tổng diện tích tô màu: $S=128+64+32+16+8+4=128\cdot \frac{1-(1/2{)}^6}{1-1/2}=128\cdot \frac{63}{64}=252{\text{cm}}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân yêu cầu tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp không đổi. Xét từng dãy: A: 2;4;6;8 có 4/2=2 nhưng 6/4=1,5, không là cấp số nhân (đây là cấp số cộng công sai 2). B: 1;3;9;27 có 3/1=3, 9/3=3, 27/9=3, tỉ số không đổi bằng 3 nên là cấp số nhân. C: 1;3;5;7 và D: 1;4;7;10 là các cấp số cộng, không phải cấp số nhân. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Công bội $q=\frac{u_2}{u_1}=\frac{6}{2}=3$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Biên độ các lần dao động lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=20$ cm và công bội $q=0,95$ (vì mỗi chu kỳ giảm 5%). Sau 6 lần dao động, biên độ còn lại là $u_7=20\cdot (0,95{)}^6=20\cdot 0,\mathrm{735091...}\approx 14,7018\approx 14,7$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Trong cấp số nhân, tính chất $u_1\cdot u_5=u_3^2$ (vì $u_1=u_3/q^2$ và $u_5=u_3{q}^2$). Do đó $u_1\cdot u_5=7^2=49$. Công bội $q=2$ không ảnh hưởng đến tích này. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $u_n=5u_{n-1}$, $u_1=3$ ta có $u_n=3\cdot 5^{n-1}$. a) Sai: $u_n\to +\infty$ khi $n\to \infty$ nên dãy không bị chặn (chỉ bị chặn dưới). b) Đúng: $u_{n+1}-u_n=3\cdot 5^n-3\cdot 5^{n-1}=12\cdot 5^{n-1}>0$ nên dãy tăng. c) Đúng: $u_n=5u_{n-1}$ với mọi $n\ge 2$ và $u_1=3$ nên $(u_n)$ là cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=3$, công bội $q=5$. d) Đúng: $v_n=\frac{n\cdot u_n}{5^n}=\frac{n\cdot 3\cdot 5^{n-1}}{5^n}=\frac{3n}{5}$. Tổng 10 số hạng đầu: ${\sum }_{n=1}^{10}\frac{3n}{5}=\frac{3}{5}\cdot \frac{10\cdot 11}{2}=\frac{3}{5}\cdot 55=33$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=3\cdot 5^{n-1}\to +\infty$, dãy không bị chặn trên nên không bị chặn.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=12\cdot 5^{n-1}>0$ với mọi $n$, nên dãy tăng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=5u_{n-1}$, $u_1=3$ đúng định nghĩa cấp số nhân với $q=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v_n=\frac{3n}{5}$, tổng 10 số hạng đầu $=\frac{3}{5}\cdot 55=33$.

(AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn tăng 8% mỗi giờ nên sau 5 giờ là $5000\cdot (1,08{)}^5$. Tính $(1,08{)}^5=1,4693280768$, nên $5000\cdot 1,4693280768=7346,64\approx 7347$ con.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 7: Kiểm tra từng dãy. A: 2; 5; 8; 11 là cấp số cộng với công sai 3, không phải cấp số nhân. B: 1; 2; 4; 8 có tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp luôn bằng 2 ($2/1=4/2=8/4=2$), nên là cấp số nhân với công bội $q=2$. C: 3; 6; 10; 15 không có tỉ số không đổi. D: 1; 3; 6; 10 là dãy số tam giác, không phải cấp số nhân. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Độ cao lần nảy thứ $n$ là $h_n=25,6\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^n$. Với $n=4$: $h_4=25,6\cdot \frac{81}{256}=\frac{25,6}{256}\cdot 81=0,1\cdot 81=8,1$ (m). Vậy ở lần nảy lên thứ 4, quả bóng đạt độ cao $8,1$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Trong cấp số nhân, ta có tính chất $u_1\cdot u_5=u_3^2$ vì $u_1=u_3/q^2$ và $u_5=u_3{q}^2$. Do đó $u_1\cdot u_5=u_3^2=6^2=36$. Kiểm tra: $u_3=u_1{q}^2\Rightarrow u_1=6/9=2/3$; $u_5=u_3{q}^2=6\cdot 9=54$; tích $=(2/3)\cdot 54=36$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân: $S_n=u_1\frac{q^n-1}{q-1}=3\cdot \frac{2^n-1}{2-1}=3(2^n-1)$. Theo đề: $3(2^n-1)=381\Rightarrow 2^n-1=127\Rightarrow 2^n=128=2^7\Rightarrow n=7$. Kiểm tra: $S_7=3(128-1)=381$ đúng.