Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Công thức nhân độc lập (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Biến cố $\overline{A}B$ là biến cố $B$ xảy ra và $A$ không xảy ra. Vì $A$ và $B$ độc lập nên $\overline{A}$ và $B$ cũng độc lập, do đó $P(\overline{A}B)=P(\overline{A})\cdot P(B)=(1-0,7)\cdot 0,2=0,3\cdot 0,2=0,06$. Vậy chọn C, khớp với đáp án nguồn (C được tô vàng). Lưu ý: nếu biến cố là $\overline{AB}$ thì kết quả là $1-0,7\cdot 0,2=0,86$, nhưng đề bài rõ ràng là $\overline{A}B$ (chỉ $A$ bị gạch), nên không có mâu thuẫn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$ và $B$ độc lập nên $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Ta có $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$, thay số: $\frac{3}{5}=\frac{2}{5}+P(B)-\frac{2}{5}P(B)$. Suy ra $\frac{1}{5}=\frac{3}{5}P(B)$, tức $P(B)=\frac{1}{5}$. Đáp án B (khớp với đáp án đã gạch chân trong đề).

Chọn D. Gọi $A$, $B$ lần lượt là các biến cố mà hai xạ thủ $I$, $II$ bắn trúng bia. Từ giả thiết ta có $A$, $B$ độc lập và $P(A)=\frac{1}{2}$, $P(B)=\frac{1}{3}$. Gọi biến cố $D$: “Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia”, $\overline{D}$: “Cả hai xạ thủ đều không bắn trúng bia”, khi đó $\overline{D}=\overline{A}\cap \overline{B}$. Suy ra $P(\overline{D})=P(\overline{A}).P(\overline{B})=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\Rightarrow P(D)=1-P(\overline{D})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.

Đáp án: ĐSDS. Gọi $A$ là biến cố: “Hạt $A$ nảy mầm”; $B$ là biến cố: “Hạt $B$ nảy mầm”. $P(A)=0,92;P(B)=0,88$. Hai biến cố $A,B$ là độc lập. Ta có sơ đồ hình cây như sau: a) Đúng. Biến cố: “Hạt $A$ nảy mầm, hạt $B$ không nảy mầm” là biến cố $A\overline{B}$. Do đó: $P(A\overline{B})=0,92\cdot 0,12=0,1104$. b) Sai. Biến cố: “Hạt $A$ không nảy mầm, hạt $B$ nảy mầm” là biến cố $\overline{A}B$. $P(\overline{A}B)=0,08\cdot 0,88=0,0704$. c) Đúng. Biến cố: “Cả hai hạt giống không nảy mầm” là biến cố $\overline{AB}$. $P(\overline{AB})=0,08\cdot 0,12=0,0096$. d) Sai. Biến cố: “Có ít nhất một trong hai hạt nảy mầm” là biến cố $A\cup B$. $P(A\cup B)=1-P(\overline{AB})=1-0,0096=0,9904$.
a) Đúng. Biến cố: “Hạt $A$ nảy mầm, hạt $B$ không nảy mầm” là biến cố $A\overline{B}$. Do đó: $P(A\overline{B})=0,92\cdot 0,12=0,1104$.
b) Sai. Biến cố: “Hạt $A$ không nảy mầm, hạt $B$ nảy mầm” là biến cố $\overline{A}B$. $P(\overline{A}B)=0,08\cdot 0,88=0,0704$.
c) Đúng. Biến cố: “Cả hai hạt giống không nảy mầm” là biến cố $\overline{AB}$. $P(\overline{AB})=0,08\cdot 0,12=0,0096$.
d) Sai. Biến cố: “Có ít nhất một trong hai hạt nảy mầm” là biến cố $A\cup B$. $P(A\cup B)=1-P(\overline{AB})=1-0,0096=0,9904$.

Trả lời: $-11$. Gọi $A$ là biến cố “lấy được tấm thẻ ghi số lẻ ở túi I”. Gọi $B$ là biến cố “lấy được tấm thẻ ghi số lẻ ở túi II”. Tính $P(A)$: Không gian mẫu $\Omega$ là tập hợp tất cả các tập con có một phần tử của tập $\{1;2;3;...;10\}$. Do đó $n(\Omega )=10$. Biến cố $A$ là tập hợp tất cả các tập con có một phần tử của tập $\{1;3;5;7;9\}$. Do đó $n(A)=5$. Suy ra $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$. Tính $P(B)$: Không gian mẫu $\Omega$ là tập hợp tất cả các tập con có một phần tử của tập $\{1;2;3;...;15\}$. Do đó $n(\Omega )=15$. Biến cố $B$ là tập hợp tất cả các tập con có một phần tử của tập $\{1;3;5;7;9;11;13;15\}$. Do đó $n(B)=8$. Suy ra $P(B)=\frac{n(B)}{n(\Omega )}=\frac{8}{15}$. Việc rút thẻ ở túi I và túi II là hai phép thử tách biệt và việc rút thẻ ở túi này không ảnh hưởng kết quả ở túi kia nên hai biến cố $A$ và $B$ là độc lập. Theo công thức nhân xác suất ta có xác suất để hai tấm thẻ lấy ra có tích là một số lẻ là: $$P(AB)=P(A)P(B)=\frac{1}{2}.\frac{8}{15}=\frac{4}{15}$$ $$\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=4\\ b=15\end{array}\Rightarrow a-b=4-15=-11.$$

Gọi $A_i$ là biến cố: “người thứ $i$ thành công” với $i=1,2,3$. Ta có các $A_i$ độc lập với nhau và $P(A_1)=x;P(A_2)=y;P(A_3)=0,6$. Gọi A là biến cố: “Có ít nhất một cầu thủ thành công”. Gọi B là biến cố: “Cả ba cầu thủ thành công”. Gọi C là biến cố: “Có đúng hai cầu thủ thành công”. Theo giả thiết, ta có $P(B)=P(A_1{A}_2{A}_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)=0,6xy=0,336\Rightarrow xy=\frac{14}{25}.(1)$ Ta sẽ tìm $P(A)$ thông qua $P\left(\overline{A}\right)$. Vì các $A_i$ độc lập với nhau nên $\overline{A}=\overline{A_1{A}_2{A}_3}\Rightarrow P\left(\overline{A}\right)=P\left(\overline{A_1}\right)P\left(\overline{A_2}\right)P\left(\overline{A_3}\right)=0,4(1-x)(1-y)$. $$\Rightarrow P(A)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-0,4(1-x)(1-y)=0,976.\Rightarrow xy-x-y=-\frac{47}{50}.(2)$$ Từ (1), (2) ta có hệ sau: $$\{\begin{array}{l}xy-x-y=\frac{-47}{50}\\ xy=\frac{14}{25}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0,8\\ y=0,7\end{array}(x>y).$$ Khi đó, $P(C)=(1-x).y.0,6+x(1-y).0,6+x.y.0,4=0,452$.

Chọn B. Do $A$, $B$ là hai biến cố độc lập nên ta có: $P(AB)=P(A).P(B)=\frac{1}{2}.\frac{3}{5}=\frac{3}{10}$.

Chọn B. Gọi $A$ là biến cố: "Hai viên bi lấy ra cùng màu xanh". Gọi $A_1$ là biến cố: "Viên bi lấy ra từ túi I có màu xanh", $A_2$ là biến cố: "Viên bi lấy ra từ túi II có màu xanh". Ta có $A=A_1{A}_2$. Hai biến cố $A_1$ và $A_2$ độc lập nên $P(A)=P(A_1)P(A_2)$. Dễ thấy $P(A_1)=\frac{3}{10};P(A_2)=\frac{10}{16}$. Suy ra $P(A)=P(A_1)P(A_2)=\frac{3}{10}\cdot \frac{10}{16}=\frac{3}{16}$.

Trả lời: 0,85. Gọi A là biến cố lấy được sản phẩm tốt ở thùng 1, ta có $P(A)=0,5$. $\overline{A}$ là biến cố lấy được sản phẩm không tốt ở thùng 1, ta có $P\left(\overline{A}\right)=1-P(A)=1-0,5=0,5$. Gọi B là biến cố lấy được sản phẩm tốt ở thùng 2, ta có $P(B)=0,7$. $\overline{B}$ là biến cố lấy được sản phẩm không tốt ở thùng 2, ta có $P\left(\overline{B}\right)=1-P(B)=1-0,7=0,3$. Xác suất để không lấy được sản phẩm tốt là $P\left(\overline{A}\overline{B}\right)=P\left(\overline{A}\right)P\left(\overline{B}\right)=0,5.0,3=0,15$. Vậy xác suất để lấy được ít nhất một sản phẩm tốt là: $1-P\left(\overline{A}\overline{B}\right)=1-0,15=0,85$.

Chọn D. Vì hai biến cố $A$ và $B$ độc lập với nhau nên $P(AB)=P(A)P(B)\iff 0,15=0,5P(B)\iff P(B)=0,3$. Ta có $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0,5+0,3-0,15=0,65$.

Chọn A. Gọi $E$ là biến cố “Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu”, $A$ là biến cố “Xạ thủ $X$ bắn trúng mục tiêu”, $B$ là biến cố “Xạ thủ $Y$ bắn trúng mục tiêu”. Ta có: $\{\begin{array}{l}P(A)=0,7\\ P(B)=0,6\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}P(\overline{A})=1-P(A)=0,3\\ P(\overline{B})=1-P(B)=0,4\end{array}$. Ta dùng sơ đồ hình cây để mô tả như sau: Theo sơ đồ hình cây, ta có: $P(AB)=0,7\cdot 0,6=0,42$; $P(A\overline{B})=0,7\cdot 0,4=0,28$; $P(\overline{A}B)=0,3\cdot 0,6=0,18$. Vậy $P(E)=P(AB)+P(A\overline{B})+P(\overline{A}B)=0,42+0,28+0,18=0,88$.

Gọi A là biến cố An làm đúng câu dễ, B là biến cố An làm đúng câu trung bình, C là biến cố An làm đúng câu khó. Khi đó A, B, C độc lập với nhau.
a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại trên và đúng cả ba câu là $P=P(A).P(B).P(C)=0,072=7,2\%$. Khẳng định Sai.
b) Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là $P\left(\overline{A}\right).P(B).P(C)+P(A).P\left(\overline{B}\right).P(C)+P(A).P(B).P\left(\overline{C}\right)$ $=0,2.0,6.0,15+0,8.0,4.0,15+0,8.0,6.0,85=0,474$. Khẳng định Sai.
c) Xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại là: $P=P(A).P(B).P(C)=0,072=7,2\%$. Xác suất An làm sai 3 câu mức độ trung bình: ${\left(0,4\right)}^3=0,064$. Khẳng định Đúng.
d) Để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm có các trường hợp sau: TH1: Đúng 4 câu khó và câu còn lại sai: ${\left(0,15\right)}^4\left(0,2+0,4+0,85\right)=7,34.10^{-4}$. TH2: Đúng 3 câu khó và đúng 2 câu trung bình: ${\left(0,15\right)}^3.{\left(0,6\right)}^2=1,215.10^{-4}$. Vậy xác suất cần tìm là 0,1949\%. Khẳng định Sai.
a) a) Xác suất để An làm ba câu thuộc ba loại trên và đúng cả ba câu là $P=P(A).P(B).P(C)=0,072=7,2\%$. Khẳng định Sai.
b) b) Xác suất để An làm đúng 2 trong số 3 câu là $P\left(\overline{A}\right).P(B).P(C)+P(A).P\left(\overline{B}\right).P(C)+P(A).P(B).P\left(\overline{C}\right)$ $=0,2.0,6.0,15+0,8.0,4.0,15+0,8.0,6.0,85=0,474$. Khẳng định Sai.
c) c) Xác suất để An làm đúng 3 câu đủ ba loại là: $P=P(A).P(B).P(C)=0,072=7,2\%$. Xác suất An làm sai 3 câu mức độ trung bình: ${\left(0,4\right)}^3=0,064$. Khẳng định Đúng.
d) d) Để An làm 5 câu và đạt đúng 2 điểm có các trường hợp sau: TH1: Đúng 4 câu khó và câu còn lại sai: ${\left(0,15\right)}^4\left(0,2+0,4+0,85\right)=7,34.10^{-4}$. TH2: Đúng 3 câu khó và đúng 2 câu trung bình: ${\left(0,15\right)}^3.{\left(0,6\right)}^2=1,215.10^{-4}$. Vậy xác suất cần tìm là 0,1949\%. Khẳng định Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi xác suất thành công của $X,Y,Z$ lần lượt là $p_1,p_2,0,5$ (độc lập).

- Cả 3 cùng thành công: $p_1{p}_2\cdot 0,5=0,08\Rightarrow p_1{p}_2=0,16$.
- Ít nhất một thành công: $1-(1-p_1)(1-p_2)(1-0,5)=0,88\Rightarrow (1-p_1)(1-p_2)=0,24$.
Suy ra $1-(p_1+p_2)+0,16=0,24\Rightarrow p_1+p_2=0,92$.

Xác suất đúng 2 kháng thể thành công:
$$P(\text{đuˊng 2})=p_1{p}_2(0,5)+p_1(0,5)(1-p_2)+p_2(0,5)(1-p_1)=0,5(p_1+p_2)-0,5\cdot p_1{p}_2=0,46-0,08=0,38.$$

Xác suất ít nhất 2 kháng thể thành công:
$$P(\ge 2)=0,38+0,08=0,46.$$

Kiểm tra: $p_1,p_2$ là nghiệm của $t^2-0,92t+0,16=0$, cho $p_1\approx 0,2329<p_2\approx 0,6871$, thỏa $p_1<p_2$. Kết quả khớp đáp án nguồn 0,46 (bảng đáp án, mã đề 102, Phần III câu 4).

Xét biến cố A “Bạn Việt bắn trúng bia”, ta có: $P(A)=0,6$. Xét biến cố B “Bạn Nam bắn trúng bia”, ta có $P(B)=0,7$. Ta thấy $A$, $B$ là hai biến cố độc lập và $C=A\cap B$. Suy ra: $P(C)=P(A).P(B)=0,6.0,7=0,42$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$ và $B$ độc lập nên $A$ và $\overline{B}$ cũng độc lập. Do đó $P(A\overline{B})=P(A)\cdot P(\overline{B})=P(A)(1-P(B))=0,6\cdot (1-0,3)=0,6\cdot 0,7=0,42$. Kết quả khớp với đáp án A trong bảng mã đề 102.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi xác suất giải đúng bài 1, 2, 3 lần lượt là $a,b,0,5$ với các bài độc lập.

• Giải đúng cả 3 bài: $0,5ab=0,15\Rightarrow ab=0,3$.

• Giải đúng ít nhất một bài: $1-(1-a)(1-b)(1-0,5)=0,9\Rightarrow (1-a)(1-b)=0,2$.
Suy ra $1-(a+b)+ab=0,2\Rightarrow a+b=1+0,3-0,2=1,1$.

Vậy $a,b$ là nghiệm của $t^2-1,1t+0,3=0$, có $\Delta =1,21-1,2=0,01$, nên $t=\frac{1,1\pm 0,1}{2}$, tức $t\in \{0,6;0,5\}$. Vì $a>b$ nên $a=0,6$, $b=0,5$.

Xác suất giải đúng ít nhất 2 bài = xác suất giải đúng đúng 2 bài + giải đúng cả 3 bài:
$$P=ab(1-0,5)+a\cdot 0,5(1-b)+b\cdot 0,5(1-a)+ab\cdot 0,5$$
$$=0,3\cdot 0,5+0,6\cdot 0,5\cdot 0,5+0,5\cdot 0,5\cdot 0,4+0,15=0,15+0,15+0,1+0,15=0,55.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn: $0,55$.

Xét biến cố A “Bạn Việt bắn trúng bia”, ta có: $P(A)=0,6$. Xét biến cố B “Bạn Nam bắn trúng bia”, ta có $P(B)=0,7$. Ta thấy $A$, $B$ là hai biến cố độc lập và $C=A\cap B$. Suy ra: $P(C)=P(A).P(B)=0,6.0,7=0,42$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì A và B độc lập nên A̅ và B cũng độc lập. Do đó P(A̅B) = P(A̅)·P(B) = (1 − 0,6)·0,3 = 0,4·0,3 = 0,12. Khớp với đáp án A và bảng đáp án (Câu 9, Mã đề 101: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồng xu B: gọi xác suất ngửa là $p$ thì sấp là $3p$, nên $4p=1\Rightarrow p=\frac{1}{4}$ (ngửa), sấp $=\frac{3}{4}$. Đồng xu A: sấp $=$ ngửa $=\frac{1}{2}$. Hai đồng xu độc lập. Xác suất được 1 sấp 1 ngửa: $P=P(A\text{ saˆˊp})P(B\text{ ngửa})+P(A\text{ ngửa})P(B\text{ saˆˊp})=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{8}+\frac{3}{8}=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xác suất trả lời đúng mỗi câu: mức dễ loại 2 phương án nên chọn ngẫu nhiên trong 2 phương án còn lại, $p_D=\frac{1}{2}$; mức trung bình loại 1 phương án nên $p_T=\frac{1}{3}$; mức khó không loại được phương án nào nên $p_K=\frac{1}{4}$.

Gọi $D$ là số câu trả lời đúng. Điểm số là $4D-1(25-D)=5D-25$.

• Với 91 điểm: $5D-25=91\Rightarrow D=23,2$ không nguyên, nên không thể đạt 91 điểm. Vậy $P(91)=0$.

• Với 95 điểm: $5D-25=95\Rightarrow D=24$, tức An đúng 24 câu và sai đúng 1 câu.

Xác suất đúng cả 25 câu:
$$P_{25}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{10}{\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{2^{20}{3}^{10}}.$$

Xác suất sai đúng 1 câu (câu sai thuộc loại dễ, trung bình, khó):
$$P(95)=P_{25}\left[10\cdot \frac{1-p_D}{p_D}+10\cdot \frac{1-p_T}{p_T}+5\cdot \frac{1-p_K}{p_K}\right]=P_{25}\left[10\cdot 1+10\cdot 2+5\cdot 3\right]=45P_{25}.$$

$$P(95)=\frac{45}{2^{20}{3}^{10}}=\frac{5}{2^{20}{3}^8}=\frac{5}{6879707136}\approx 7,27\cdot 10^{-10}.$$

Kết luận: $P(\text{91 điểm})=0$; $P(\text{95 điểm})=\frac{5}{6879707136}\approx 7,27\cdot 10^{-10}$.