Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Công thức nhân độc lập (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cánh phải có 3 động cơ (xác suất hỏng $p_R=0,1$), cánh trái có 2 động cơ ($p_L=0,05$), các động cơ độc lập. Để có đúng 4 trong 5 động cơ hỏng có hai trường hợp:

- Trường hợp 1: cả 3 động cơ cánh phải hỏng và đúng 1 trong 2 động cơ cánh trái hỏng:
$$P_1=0,1^3\cdot C_2^1\cdot 0,05\cdot 0,95=0,001\cdot 0,095=0,000095.$$

- Trường hợp 2: đúng 2 trong 3 động cơ cánh phải hỏng và cả 2 động cơ cánh trái hỏng:
$$P_2=C_3^2\cdot 0,1^2\cdot 0,9\cdot 0,05^2=3\cdot 0,01\cdot 0,9\cdot 0,0025=0,0000675.$$

Vậy xác suất cần tìm:
$$P=P_1+P_2=0,000095+0,0000675=0,0001625.$$

Kết quả trùng với đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố xạ thủ A bắn trúng, B là biến cố xạ thủ B bắn trúng. Theo đề bài P(A)=0,3; P(B)=0,2 và hai biến cố độc lập. Vì A và B độc lập nên xác suất cả hai xạ thủ đều bắn trúng là P(A∩B)=P(A)·P(B)=0,3·0,2=0,06. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$, $B$ độc lập nên $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Suy ra $P(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{1/9}{1/4}=\frac{4}{9}$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A_i$ là biến cố xạ thủ $A_i$ bắn trúng. Xác suất để cả ba người đều bắn trượt là $P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})P(\overline{A_3})=(1-0,7)(1-0,6)(1-0,5)=0,3\cdot 0,4\cdot 0,5=0,06$. Vì ba xạ thủ độc lập, xác suất có ít nhất một người bắn trúng là $1-0,06=0,94$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$ và $B$ độc lập nên $P(AB)=P(A)\cdot P(B)=0,4\cdot 0,3=0,12$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu có 36 kết quả đồng khả năng. a) P(A)=1/6 đúng. b) P(B)=P(A)=1/6 nên P(B)-P(A)=0, không >0, sai. c) A và B độc lập nên P(A∩B)=1/6·1/6=1/36 đúng. d) P(C)=1-P(both not 6)=1-(5/6)²=1-25/36=11/36 đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Con đỏ xuất hiện mặt 6 chấm với xác suất 1/6.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(B)=P(A)=1/6 nên P(B)-P(A)=0, không dương.
c) (AI giải đề cho tôi)
A, B độc lập: P(A∩B)=(1/6)(1/6)=1/36.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(C)=1-(5/6)(5/6)=11/36.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi bóng hỏng với xác suất 0,15, sáng tốt với xác suất 0,85; các bóng độc lập.
a) Hệ thống II mắc song song nên chỉ hỏng khi cả 2 bóng cùng hỏng: $P=0,15^2=0,0225$. Đúng.
b) Hệ thống II hoạt động bình thường: $P=1-0,0225=0,9775$. Đúng.
c) Hệ thống I mắc nối tiếp nên chỉ sáng khi cả 2 bóng đều tốt; xác suất bị hỏng là $P=1-0,85^2=1-0,7225=0,2775$, không phải 0,5775. Sai.
d) Hai hệ thống độc lập nên xác suất cả hai cùng hỏng: $P=0,0225\times 0,2775=0,00624375\approx 0,00624$, không phải 0,02624. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Song song: hỏng khi cả hai bóng hỏng, $0,15^2=0,0225$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$1-0,0225=0,9775$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nối tiếp: hỏng khi ít nhất một bóng hỏng, $1-0,85^2=0,2775\ne 0,5775$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$0,0225\times 0,2775=0,00624375\approx 0,00624\ne 0,02624$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$ và $B$ độc lập nên các biến cố $A$, $B$, $\overline{A}$, $\overline{B}$ cũng đôi một độc lập.
a) $P(AB)=P(A)P(B)=0,4\cdot 0,6=0,24$ → đúng.
b) $P(A\overline{B})=P(A)P(\overline{B})=0,4\cdot (1-0,6)=0,4\cdot 0,4=0,16$ → đúng.
c) $P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A})P(\overline{B})=0,6\cdot 0,4=0,24$ → đúng.
d) $P(\overline{A}B)=P(\overline{A})P(B)=0,6\cdot 0,6=0,36\ne 0,24$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A$, $B$ độc lập nên $P(AB)=P(A)P(B)=0,4\cdot 0,6=0,24$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(A\overline{B})=P(A)P(\overline{B})=0,4\cdot 0,4=0,16$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{A}\overline{B})=0,6\cdot 0,4=0,24$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{A}B)=0,6\cdot 0,6=0,36\ne 0,24$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồng xu A cân đối nên P(A ngửa)=1/2 (a đúng). Đồng xu B: gọi P(ngửa)=x thì P(sấp)=3x, x+3x=1 nên x=1/4 (b đúng). Gieo một lần, cả hai đều ngửa: 1/2 · 1/4 = 1/8 ≠ 1/12 nên c sai. Gieo hai lần, cả hai đồng xu đều ngửa ở cả hai lần: (1/8)² = 1/64 ≠ 1/32 nên d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồng xu A cân đối nên P(A ngửa)=1/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Gọi P(B ngửa)=x, P(B sấp)=3x, x+3x=1 ⇒ x=1/4.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì độc lập: P(cả hai ngửa)=1/2·1/4=1/8 ≠ 1/12.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai lần gieo độc lập: P=(1/8)²=1/64 ≠ 1/32.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $p_1=0,5$, $p_2=0,4$, $p_3=0,3$; các biến cố độc lập nên dùng công thức nhân.
a) Đúng 1 người câu được cá: $P=0,5\cdot 0,6\cdot 0,7+0,5\cdot 0,4\cdot 0,7+0,5\cdot 0,6\cdot 0,3=0,21+0,14+0,09=0,44\ne 0,34$ → sai.
b) Đúng 2 người câu được cá: $P=0,5\cdot 0,4\cdot 0,7+0,5\cdot 0,6\cdot 0,3+0,5\cdot 0,4\cdot 0,3=0,14+0,09+0,06=0,29$ → đúng.
c) Xác suất người thứ 3 câu được cá là $0,3$ → đúng.
d) Ít nhất 1 người câu được cá: $P=1-0,5\cdot 0,6\cdot 0,7=1-0,21=0,79\ne 0,21$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đúng 1 người câu được cá: $0,5\cdot 0,6\cdot 0,7+0,5\cdot 0,4\cdot 0,7+0,5\cdot 0,6\cdot 0,3=0,21+0,14+0,09=0,44\ne 0,34$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Đúng 2 người câu được cá: $0,5\cdot 0,4\cdot 0,7+0,5\cdot 0,6\cdot 0,3+0,5\cdot 0,4\cdot 0,3=0,14+0,09+0,06=0,29$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Xác suất người thứ 3 câu được cá là $0,3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Ít nhất 1 người câu được cá: $1-0,5\cdot 0,6\cdot 0,7=0,79\ne 0,21$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi các biến cố độc lập: D (hoàn thành ô chữ dễ) với P(D)=0,84; T (trung bình) với P(T)=0,59; K (khó) với P(K)=0,11. Do ba biến cố độc lập nên xác suất của giao bằng tích các xác suất.
a) Hoàn thành cả 3 ô chữ: P(D∩T∩K)=0,84·0,59·0,11=0,054516. Đúng.
b) Bỏ trống cả 3 ô chữ: P(D̄∩T̄∩K̄)=(1−0,84)(1−0,59)(1−0,11)=0,16·0,41·0,89=0,058384. Đúng.
c) Hoàn thành ô chữ dễ và trung bình nhưng không phải ô chữ khó: P(D∩T∩K̄)=0,84·0,59·0,89=0,441084 ≠ 0,054516. Sai (giá trị 0,054516 là của câu a).
d) Hoàn thành ô chữ trung bình nhưng không phải hai ô chữ còn lại: P(D̄∩T∩K̄)=0,16·0,59·0,89=0,084016. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(D∩T∩K)=0,84·0,59·0,11=0,054516.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(D̄∩T̄∩K̄)=0,16·0,41·0,89=0,058384.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(D∩T∩K̄)=0,84·0,59·0,89=0,441084, không phải 0,054516.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(D̄∩T∩K̄)=0,16·0,59·0,89=0,084016.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy có hoàn lại nên hai lần lấy độc lập. Xác suất lấy bi trắng lần 1: $\frac{7}{12}$; xác suất lấy bi đen lần 2: $\frac{5}{12}$. Theo công thức nhân xác suất cho biến cố độc lập: $P=\frac{7}{12}\cdot \frac{5}{12}=\frac{35}{144}$. Vậy $a=35,b=144$ (phân số tối giản, $\gcd (35,144)=1$), suy ra $2a-b=70-144=-74$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A_1$ là biến cố anh Hà bị lây bệnh ở lần tiếp xúc không đeo khẩu trang, $P(A_1)=0,9$; $A_2$ là biến cố bị lây ở lần có đeo khẩu trang, $P(A_2)=0,15$. Hai lần tiếp xúc độc lập nên $A_1,A_2$ độc lập. Xác suất anh Hà không bị lây ở cả hai lần là $P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})=(1-0,9)(1-0,15)=0,1\cdot 0,85=0,085$. Vậy xác suất anh Hà bị lây bệnh là $P(A_1\cup A_2)=1-0,085=0,915\approx 0,92$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi các biến cố $A_i$ là 'cầu thủ thứ $i$ sút thành công' ($i=1,\dots ,5$). Các lần sút độc lập nên xác suất để 4 cầu thủ đầu sút thành công và cầu thủ cuối cùng sút trượt là:
$$P=0,8\cdot 0,8\cdot 0,76\cdot 0,72\cdot (1-0,68)$$
Tính: $0,8\cdot 0,8=0,64$; $0,64\cdot 0,76=0,4864$; $0,4864\cdot 0,72=0,350208$; $0,350208\cdot 0,32=0,11206656$.
Làm tròn đến hàng phần trăm: $P\approx 0,11$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$: động cơ $I$ hoạt động bình thường, $P(A)=0,95$; $B$: động cơ $II$ hoạt động bình thường, $P(\bar{B})=0,1\Rightarrow P(B)=0,9$. Hai động cơ hoạt động độc lập.

a) Hai động cơ đều hoạt động bình thường:
$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0,95\cdot 0,9=0,855.$$

b) Hai động cơ đều bị hỏng:
$$P(\bar{A}\cap \bar{B})=(1-0,95)(1-0,9)=0,05\cdot 0,1=0,005.$$

c) Ít nhất một động cơ hoạt động là biến cố đối của 'hai động cơ đều bị hỏng':
$$P=1-P(\bar{A}\cap \bar{B})=1-0,005=0,995.$$

(AI giải đề cho tôi)
Bình có 2 bi xanh và 4 bi đỏ (tổng 6 bi), lấy có hoàn lại 3 lần nên các lần lấy độc lập, mỗi lần $P(\text{xanh})=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, $P(\text{đỏ})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

a) Xác suất được 3 bi xanh: $P={\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}$.

b) Xác suất được 3 bi đỏ: $P={\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{8}{27}$.

c) Biến cố "3 bi không cùng một màu" là phần bù của biến cố "3 bi cùng màu" (cả xanh hoặc cả đỏ):
$$P=1-\frac{1}{27}-\frac{8}{27}=1-\frac{9}{27}=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Nếu $A$ và $B$ độc lập thì $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Xét $P(\overline{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)(1-P(A))=P(\overline{A})P(B)$, nên $\overline{A}$ và $B$ độc lập → mệnh đề C đúng. Tương tự, $A$ và $\overline{B}$ cũng độc lập và $\overline{A}$, $\overline{B}$ cũng độc lập, nên A và B sai. Với D: $P(A\cap (A\cup B))=P(A)$, để độc lập cần $P(A\cup B)=1$, điều này không luôn đúng, nên D sai. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đề cho hai người bắn độc lập với nhau nên việc người thứ nhất trúng hay trượt không ảnh hưởng đến xác suất người thứ hai trúng, tức $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Vậy $A$ và $B$ độc lập với nhau. A sai vì $A$, $B$ liên quan đến hai người khác nhau nên không bằng nhau; B sai vì $A$ và $B$ có thể đồng thời xảy ra (cả hai cùng trúng) nên không đối nhau; D sai vì hai biến cố đã độc lập.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A$ và $B$ độc lập nên $P(A\mid B)=P(A)=0,1997$. Đáp án D.