Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-4x+5}{x-2}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-4)(x-2)-(x^2-4x+5)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0$ ta được $x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$ (đều thuộc tập xác định, và $y^{\prime }$ đổi dấu qua hai điểm này nên là hai điểm cực trị). Tổng hoành độ hai điểm cực trị: $1+3=4$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2-9x+5$ có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=0\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=3$. Tại $x=-1$: $y=-1-3+9+5=10$. Tại $x=3$: $y=27-27-27+5=-22$. Vậy $y_1+y_2=10+(-22)=-12$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=x^2(x-1)(x+4)$. Với $x<-4$: $f^{\prime }(x)>0$; với $-4<x<0$: $f^{\prime }(x)<0$; với $0<x<1$: $f^{\prime }(x)<0$ (do $x^2>0$); với $x>1$: $f^{\prime }(x)>0$. Tại $x=-4$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại. Tại $x=0$: $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải cực trị. Tại $x=1$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$, $x\ne 1$. Tính đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{(2x-1)(x-1)-(x^2-x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Tại $x=0$: $y=-1$; tại $x=2$: $y=\frac{4-2+1}{1}=3$. Xét dấu $y^{\prime }$: trên $(-\infty ,0)$, $y^{\prime }>0$; trên $(0,1)$, $y^{\prime }<0$; trên $(1,2)$, $y^{\prime }<0$; trên $(2,\infty )$, $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với giá trị cực đại $a=-1$, đạt cực tiểu tại $x=2$ với giá trị cực tiểu $b=3$. Do đó $3a+2b=3(-1)+2(3)=-3+6=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-x^3+3x^2+5$ có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. Cho $y^{\prime }=0$ được $x=0$ hoặc $x=2$. Vì hệ số $a=-3<0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ (đi từ âm sang dương qua $x=0$), với $y(0)=5$. Vậy điểm cực tiểu là $A(0;5)$, do đó $OA=\sqrt{0^2+5^2}=5$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số bậc ba có điểm cực đại $(1;2)$ và điểm cực tiểu $(3;-2)$. Giá trị cực tiểu là tung độ của điểm cực tiểu, tức là $-2$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hình vẽ (trang 4): hàm bậc ba đi xuống từ $+\infty$ khi $x\to -\infty$, đạt cực tiểu tại $x=0$ (điểm thấp nhất với $y=1$), sau đó đi lên đạt cực đại tại $x=2$ (đỉnh cao nhất của đồ thị), rồi đi xuống khi $x\to +\infty$. Vậy điểm cực đại của hàm số là $x=2$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-2$ và $x=3$, nhưng dấu của $f^{\prime }(x)$ không đổi qua cả hai điểm (luôn mang dấu $+$). Do đó hàm số không có điểm cực trị tại $x=-2$ lẫn $x=3$. Vậy số điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$ là $0$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(x-5)(x-1)(x+4{)}^2$. Với $x<-4$: $(-)(-)(+)=+$; với $-4<x<1$: $(-)(-)(+)=+$; với $1<x<5$: $(-)(+)(+)=-$; với $x>5$: $(+)(+)(+)=+$. Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$. Tại $x=-4$ và $x=5$ không đổi dấu (không cực trị). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=-6x^2-18x=-6x(x+3)$, nên $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0$ và $x=-3$. Vì hệ số $a=-2<0$, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $f(0)=3$ và đạt cực tiểu tại $x=-3$ với $f(-3)=-2(-27)-9(9)+3=54-81+3=-24$. Vậy giá trị cực tiểu là $-24$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{2x^2-22x+50}{x-11}=2x+\frac{50}{x-11}$ (với $x\ne 11$). Ta có $y^{\prime }=2-\frac{50}{(x-11{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow (x-11{)}^2=25\Rightarrow x=6$ hoặc $x=16$. Với $x=6$: $y^{\prime \prime }=\frac{100}{(x-11{)}^3}<0$ nên $x=6$ là điểm cực đại, giá trị $y(6)=12+\frac{50}{-5}=2$. Với $x=16$: $y^{\prime \prime }>0$ nên đó là cực tiểu, $y(16)=32+\frac{50}{5}=42$. Vậy giá trị cực đại là $2$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=1,3,5$; $f^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;1)$, $f^{\prime }>0$ trên $(1;3)$, $f^{\prime }<0$ trên $(3;5)$, $f^{\prime }>0$ trên $(5;+\infty )$.
a) Trên $(3;+\infty )$: $f$ nghịch biến trên $(3;5)$, đồng biến trên $(5;+\infty )$, nên $\min f=f(5)$ với $5\in (3;+\infty )$. Đúng.
b) $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in (-\infty ;1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này. Đúng.
c) Tại $x=5$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=5$ là điểm cực tiểu, không phải cực đại. Sai.
d) Hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ nên với $-1<1$ ta có $f(-1)>f(1)$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(3;+\infty )$: $f$ nghịch biến trên $(3;5)$, đồng biến trên $(5;+\infty )$, nên $\min f=f(5)$ với $5\in (3;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in (-\infty ;1)$ theo đồ thị nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=5$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$, nên $x=5$ là điểm cực tiểu chứ không phải cực đại.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ nên với $-1<1$ ta có $f(-1)>f(1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x+2{)}^3$ với các nghiệm $x=-2$ (bội 3), $x=0$, $x=1$, đều là nghiệm bội lẻ nên $f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua cả ba điểm. Xét dấu: tại $x=-3$: $f^{\prime }(-3)=(-3)(-4)(-1{)}^3=-12<0$; tại $x=-1$: $f^{\prime }(-1)=(-1)(-2)(1{)}^3=2>0$ nên $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=-2$ (điểm cực tiểu). Tại $x=0$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm (điểm cực đại). Tại $x=1$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương (điểm cực tiểu). Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+3}{x+1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x)(x+1)-(x^2+3)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}=\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1{)}^2}$. $y^{\prime }=0$ khi $x=1$ hoặc $x=-3$. Xét dấu: trên $(-\infty ;-3)$: $y^{\prime }>0$; trên $(-3;-1)$: $y^{\prime }<0$; trên $(-1;1)$: $y^{\prime }<0$; trên $(1;+\infty )$: $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ với $y_{CĐ}=\frac{9+3}{-2}=-6$, và đạt cực tiểu tại $x=1$ với $y_{CT}=\frac{1+3}{2}=2$. Do đó mệnh đề đúng là 'Cực tiểu của hàm số bằng 2'.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=(x^2-2x)e^x$, xác định trên $\mathbb{R}$.

$y^{\prime }=(2x-2)e^x+(x^2-2x)e^x=(x^2-1)e^x=(x-1)(x+1)e^x$.

Vì $e^x>0$ với mọi $x$, nên $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$.

Bảng xét dấu của $y^{\prime }$: $y^{\prime }>0$ khi $x<-1$ hoặc $x>1$; $y^{\prime }<0$ khi $-1<x<1$.

- Tại $x=-1$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm $\Rightarrow$ hàm số đạt cực đại, $y_{CD}=((-1{)}^2-2(-1))e^{-1}=3e^{-1}=\frac{3}{e}$.
- Tại $x=1$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương $\Rightarrow$ hàm số đạt cực tiểu, $y_{CT}=(1^2-2)e^1=-e$.

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ với giá trị $\frac{3}{e}$ và đạt cực tiểu tại $x=1$ với giá trị $-e$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số có dạng chữ W: ba điểm cực tiểu là ba nơi đồ thị chạm trục hoành (tại $x=-1$, $x=0$ và điểm bên phải khoảng $x\approx 2$) và hai điểm cực đại là hai đỉnh cao $y=2$ (tại $x\approx -0,5$ và $x=1$). Vì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$, tại mỗi điểm này hàm số đổi chiều biến thiên (từ giảm sang tăng hoặc từ tăng sang giảm) nên tất cả đều là điểm cực trị. Vậy hàm số có $3+2=5$ điểm cực trị, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại các điểm: từ âm sang dương (1 lần), từ dương sang âm (1 lần), từ âm sang dương (1 lần), và cuối cùng chỉ tiếp xúc trục hoành ($f^{\prime }$ không đổi dấu). Điểm cực tiểu của $f(x)$ ứng với nơi $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương: có 2 điểm như vậy. Điểm tiếp xúc không cho cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu.

Từ bảng biến thiên:
- Tại $x=1$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nhưng $f(x)$ không xác định (dấu hai gạch song song), do đó hàm số không đạt cực trị tại $x=1$.
- Tại $x=2$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương và $f(2)=-1$ xác định, do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$.
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ và không có điểm cực đại.

Hàm số trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có $a=1>0$ và $b=-4<0$.
Vì $ab=1\cdot (-4)=-4<0$ nên đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.
Do $a>0$ nên hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu.

Ta có: $y^{\prime }=x^2+2mx-4(m+1)$; $y^{\prime \prime }=2x+2m$.
Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ điều kiện cần là $y^{\prime }(1)=0$:
$1^2+2m(1)-4(m+1)=0\iff 1+2m-4m-4=0\iff -2m-3=0\iff m=-\frac{3}{2}$.
Thử lại với $m=-\frac{3}{2}$:
$y^{\prime \prime }(1)=2(1)+2\left(-\frac{3}{2}\right)=2-3=-1<0$.
Do đó hàm số đạt cực đại tại $x=1$. Vậy $m=-\frac{3}{2}$.