Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

**Chọn A**


x  0

f ( x)  x( x  1)3 (3 x  1)  0   x  1 .
 1
x  
 3
Dấu của đạo hàm

Hàm số có 3 điểm cực trị.

Chọn B
Tập xác định: D = $\mathbb{R}$ .
x = 0
Ta có y$\mathbb{Z}$ = 4 x 3 - 8 x . Giải y$\mathbb{Z}$ = 0 $\iff$ 4 x3 - 8 x = 0 $\iff$ .
x =  2
Bảng biến thiên:

Giá trị cực tiểu của hàm số y = x 4 - 4 x 2 + 3 là yCT = -1 .

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua hai nghiệm bội lẻ $x=0$ và $x=1$ (không đổi dấu qua nghiệm bội chẵn $x=2$), nên hàm số có $2$ điểm cực trị (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 0101).

Chọn đáp án $B$.

Chọn đáp án $C$.

**Chọn B**

ln 2 ln 2

 

Ta có $f^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x^2=0</td></tr><tr><td>(x+1{)}^2=0</td></tr><tr><td>2x-1=0</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr><tr><td>x=\frac{1}{2}</td></tr></tbody></table>$.

Trong đó ta thấy $x=0$, $x=-1$ là nghiệm kép, $x=\frac{1}{2}$ là nghiệm đơn nên đồ thị hàm số có $1$ điểm cực trị.

a) Đúng. Ta có $y=\frac{(x-5)x+4}{x-5}=x+\frac{4}{x-5}=x-5+\frac{4}{x-5}+5$.
Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-5{)}^2}$ với mọi $x\ne 5$.

b) Đúng. Phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành:
$\frac{x^2-5x+4}{x-5}=0\iff x^2-5x+4=0\iff x=1$ hoặc $x=4$ (đều thỏa mãn $x\ne 5$).
Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $(1;0)$ và $(4;0)$.

c) Đúng. Cho $f^{\prime }(x)=0\iff (x-5{)}^2=4\iff x-5=2\Rightarrow x=7$ hoặc $x-5=-2\Rightarrow x=3$.
Bảng biến thiên cho thấy qua $x=3$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại $x=3$.

d) Sai. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=7$, giá trị cực tiểu là $f(7)=\frac{7^2-5\cdot 7+4}{7-5}=\frac{18}{2}=9\ne 3$.

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x=1$. Do đó hàm số có đúng $1$ điểm cực đại tại $x=1$.

Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=-1$ và $x=1$, nên hàm số có $2$ điểm cực đại.

Ta có $f^{\prime }(x)=(x+2)(x-1)(x+1{)}^2$. Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=-2$, nên giá trị cực đại của hàm số bằng $f(-2)$ (theo đáp án chính thức Trang 10, Mã đề 1202).

Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua $x=-1$ và $x=0$ (không đổi dấu qua $x=2$), nên hàm số có $2$ điểm cực trị (theo đáp án chính thức Trang 10, Mã đề 1202).

a) Đúng vì hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ và cực đại tại $x=3$. b) Sai vì hàm số đồng biến trên $(1;3)$. c) Sai vì ${\lim }_{x\to +\infty }y=-\infty$. d) Đúng vì điểm $(1;1)$ thuộc đồ thị nên $y(1)=a+b+c+d=1$ (theo đáp án chính thức Trang 10, Mã đề 1202).

Ta có $f^{\prime }(x)=(x+2)(x-1)(x+1{)}^2$. Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=1$, nên giá trị cực tiểu của hàm số bằng $f(1)$ (theo đáp án chính thức Trang 5, Mã đề 1201).

Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua $x=0$ và $x=1$ (không đổi dấu qua $x=3$), nên hàm số có $2$ điểm cực trị (theo đáp án chính thức Trang 5, Mã đề 1201).

- Ý a) Đúng: $f^{\prime }(x)=(x^3-3x^2+2{)}^{\prime }=3x^2-6x$.
- Ý b) Sai: $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Qua $x=2$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ (và đạt cực đại tại $x=0$).
- Ý c) Đúng: Ta có $f(-1)=-2$, $f(0)=2$, $f(2)=-2$, $f(3)=2$. Do đó ${\min }_{[-1;3]}f(x)=-2$.
- Ý d) Sai: Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên $[-1;3]$ là ${\max }_{[-1;3]}f(x)=2\ne 3$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 9), Câu 4 chọn đáp án C.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0\iff x(x-1)(x-2{)}^2=0\iff x=0$, $x=1$, hoặc $x=2$.
Vì $(x-2{)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu khi qua nghiệm bội chẵn $x=2$.
Khi qua hai nghiệm đơn $x=0$ và $x=1$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu. Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 9), Câu 3 Phần II có đáp án: a - Đúng, b - Sai, c - Đúng, d - Sai (ĐSĐS).

- Ý a: Đúng, $f^{\prime }(x)=3x^2+6x-3=0$ có 2 nghiệm phân biệt nên hàm số có 2 điểm cực trị.
- Ý b: Sai, ${\max }_{[-1;2]}f(x)=f(2)=15\ne 12$.
- Ý c: Đúng, khoảng $(-2;-1)$ nằm trong khoảng giữa hai nghiệm $(-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2})$ nên $f^{\prime }(x)<0$.
- Ý d: Sai, đạo hàm đúng là $f^{\prime }(x)=3x^2+6x-3$.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm $x=1$ (nghiệm đơn), $x=2$ (nghiệm bội 2), $x=3$ (nghiệm bội 3). Vì $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu qua các nghiệm bội lẻ $x=1$ và $x=3$ nên hàm số có đúng 2 điểm cực trị.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 3 chọn đáp án B.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0⟺x(x-2{)}^2=0⟺x=0$ hoặc $x=2$.
Đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn $x=0$, không đổi dấu khi qua nghiệm kép $x=2$.
Vậy hàm số đã cho có đúng 1 điểm cực trị.