Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^6-6x^5+1$ xác định trên $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=6x^5-30x^4=6x^4(x-5)$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=5$. Xét dấu $y^{\prime }$: với $x<0$, $y^{\prime }<0$; với $0<x<5$, $y^{\prime }<0$ (do $x^4>0$, $x-5<0$); với $x>5$, $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;5)$ và đồng biến trên $(5;+\infty )$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=5$ (điểm $x=0$ không phải cực trị vì $y^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=0$). Do đó $a=5$, khớp với đáp án nguồn (đề 101, Phần III Câu 1: 5).

$y^{\prime }=3x^2-12x+9$
$y^{\prime }=0\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}$
Bảng xét dấu

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;3)$
$x_{CD}=1,y_{CD}=2029$
$x_{CT}=3,y_{CT}=2025$

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=0$ (trước $0$ hàm đồng biến, sau $0$ hàm nghịch biến), nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$ (với $f(0)=3$). Tại $x=\pm 1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là các điểm cực tiểu. Vậy điểm cực đại là $x=0$, khớp đáp án B (đáp án C $M(0;3)$ là tọa độ điểm cực đại nhưng theo đáp án của đề thì chọn B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x^2-4)(x+2)(x-3)=(x-2)(x+2{)}^2(x-3)$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$: $x=-2$ (nghiệm kép), $x=2$, $x=3$. Xét dấu của $f^{\prime }(x)$: với $x<-2$: $(x-2)<0$, $(x+2{)}^2>0$, $(x-3)<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$; với $-2<x<2$: $(x-2)<0$, $(x+2{)}^2>0$, $(x-3)<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$ — dấu không đổi khi qua $x=-2$ nên $x=-2$ không phải điểm cực trị. Qua $x=2$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$, là điểm cực đại. Qua $x=3$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$, là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có điểm cực tiểu tại $x=0$ với $f(0)=-1$ và điểm cực đại tại $x=2$ với $f(2)=3$. a) Trên khoảng $(2;+\infty )$ hàm nghịch biến nên $f(3)<f(2)=3$, mệnh đề đúng. b) Trên đoạn $[0;2]$ hàm đồng biến từ $f(0)=-1$ đến $f(2)=3$ nên GTLN bằng 3, đúng. c) Đồ thị có 1 điểm cực tiểu ($x=0$) và 1 điểm cực đại ($x=2$) nên có 2 điểm cực trị, đúng. d) Trên khoảng $(-1;0)$ hàm nghịch biến (đang đi xuống từ phía trái về điểm cực tiểu tại $x=0$), nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;2)$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(2;+\infty )$ nên $f(3)<f(2)=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$ hàm đồng biến, GTLN $=f(2)=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có 1 điểm cực tiểu tại $x=0$ và 1 điểm cực đại tại $x=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-1;0)$ hàm nghịch biến nên không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-1)-(x^2+x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{2x^2-x-1-x^2-x+1}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\iff x^2-2x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$ (đều khác 1, thỏa mãn). Theo Vi-ét, $x_1+x_2=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Vì hệ số của $x^2$ trong $y^{\prime }$ dương, hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ (đạo hàm đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=3$). Tính $y(3)=\frac{1}{3}\cdot 27-2\cdot 9+9+1=9-18+9+1=1$. Vậy điểm cực tiểu là $(3;1)$, tương ứng phương án A. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x+2{)}^3$ với $\forall x\in \mathbb{R}$. Các nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$ là $x=-2$, $x=0$, $x=1$. Xét dấu $f^{\prime }$: với $x<-2$, $f^{\prime }(x)<0$; với $-2<x<0$, $f^{\prime }(x)>0$; với $0<x<1$, $f^{\prime }(x)<0$; với $x>1$, $f^{\prime }(x)>0$. Đạo hàm đổi dấu tại cả ba nghiệm $x=-2$, $x=0$, $x=1$ (lưu ý $(x+2{)}^3$ đổi dấu khi qua $x=-2$ vì lũy thừa lẻ), nên hàm số có 3 điểm cực trị. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 9 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định D = ℝ\{1}. Ta có y' = [((2x+1)(x-1) - (x²+x-1))]/(x-1)² = (x² - 2x)/(x-1)². y' = 0 ⟺ x² - 2x = 0 ⟺ x = 0 hoặc x = 2 (đều khác 1, và đổi dấu qua mỗi nghiệm nên là hai điểm cực trị). Vậy x₁ + x₂ = 0 + 2 = 2, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, Phần III Câu 2 = 2).

Cách 1: Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}$ (0,25 điểm).

$f^{\prime }(x)=0\iff x^2+2x-3=0\iff \{\begin{array}{l}x=1,y=-1\\ x=-3;y=-9\end{array}$ (0,5 điểm).

Vậy trung điểm của hai điểm cực trị $A,B$ là $I(-1;-5)$ (0,25 điểm).

Cách 2: Tìm tiệm cận đứng (0,25 điểm). Tìm tiệm cận xiên (0,5 điểm). Vậy trung điểm của hai điểm cực trị $A,B$ là giao điểm của hai tiệm cận $I(-1;-5)$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x+2{)}^3$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)$: $x=-2$ (bội lẻ 3), $x=0$, $x=1$. Xét dấu: trên $(-\infty ;-2)$: $f^{\prime }<0$; trên $(-2;0)$: $f^{\prime }>0$; trên $(0;1)$: $f^{\prime }<0$; trên $(1;+\infty )$: $f^{\prime }>0$. Dấu của $f^{\prime }$ đổi tại cả ba điểm $x=-2$, $x=0$, $x=1$ (do các bội đều lẻ), nên hàm số có 3 điểm cực trị. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Vì hệ số $a=1>0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ (đổi dấu từ âm sang dương qua $x=3$). Tính $y(3)=\frac{27}{3}-18+9+1=9-18+9+1=1$. Vậy điểm cực tiểu là $(3;1)$, khớp với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-2x^2+ax+b$ có $y^{\prime }=3x^2-4x+a$. Vì $A(1;3)$ là điểm cực trị nên $y^{\prime }(1)=3-4+a=0\Rightarrow a=1$. Điểm $A(1;3)$ thuộc đồ thị nên $y(1)=1-2+a+b=3\Rightarrow a+b=4\Rightarrow b=3$. Vậy $4a-b=4-3=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }$ qua từng điểm: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ không xác định (hàm liên tục trên $\mathbb{R}$) nhưng $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$, nên $x=0$ là điểm cực tiểu. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=2$ là điểm cực đại. Tại $x=4$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=4$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 4 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x^2-4)(1-x{)}^3(4-2x)$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)$: $x=-2$, $x=2$ (từ $x^2-4$), $x=1$ (bậc 3, lẻ), và $x=2$ (từ $4-2x$). Vậy $x=2$ là nghiệm bội chẵn (của cả $x^2-4$ và $4-2x$), $f^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=2$ nên không phải cực trị. Xét dấu: với $x<-2$: $(x^2-4)>0$, $(1-x{)}^3>0$, $(4-2x)>0$ nên $f^{\prime }>0$; với $-2<x<1$: $(x^2-4)<0$, còn lại dương nên $f^{\prime }<0$; với $1<x<2$: $(x^2-4)<0$, $(1-x{)}^3<0$, $(4-2x)>0$ nên $f^{\prime }>0$; với $x>2$: $f^{\prime }<0$. Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-2$ (cực đại) và $x=1$ (cực tiểu): hàm số có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-18x+15=3(x^2-6x+5)=3(x-1)(x-5)$. Cho $y^{\prime }=0$ được $x=1$ hoặc $x=5$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x<1$; $y^{\prime }<0$ khi $1<x<5$; $y^{\prime }>0$ khi $x>5$. Tại $x=5$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=5=\frac{15}{3}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(e^x-1)(x^2-x)$, với $f^{\prime }(x)=0$ khi $x=0$ hoặc $x=1$. Xét dấu: với $x<0$: $e^x-1<0$, $x^2-x>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$; với $0<x<1$: $e^x-1>0$, $x^2-x<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$; với $x>1$: cả hai nhân tử dương nên $f^{\prime }(x)>0$. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (vẫn âm) nên không phải điểm cực trị. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có đúng $1$ điểm cực trị, đáp án A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ đi lên từ $-\infty$, có một điểm cực đại rồi đi xuống đến một điểm cực tiểu rồi đi lên khi $x\to +\infty$, nên $a>0$ và hàm số có hai điểm cực trị (nghiệm phân biệt của $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$). Do đó khẳng định A đúng. Vì $a>0$ nên C sai; B sai vì $d<0$ không đúng (đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ dương theo hình vẽ); hàm số có cực trị nên không đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$, D sai. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là một đường cong dạng chữ W (hàm bậc bốn trùng phương): có hai đỉnh cực đại (hai ngọn cao) và một điểm cực tiểu ở giữa (đáy giữa). Vậy hàm số có 3 điểm cực trị. Điều này khớp với đáp án đã cho là D.