Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Ta có $y^{\prime }=x^2-2mx+3m+1$ và $y^{\prime \prime }=2x-2m$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(1)=0\\ y^{\prime \prime }(1)>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}1-2m+3m+1=0\\ 2-2m>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m+2=0\\ m<1\end{array}\iff m=-2$.

Chọn đáp án B.

Điểm cực đại của hàm số là điểm mà tại đó đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm đó theo chiều tăng của $x$.
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm $x=3$. Tại các điểm $x=-1,x=4$, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương (điểm cực tiểu), còn tại $x=2$, đạo hàm không đổi dấu. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực đại.

Chọn đáp án D.

Đặt $t=|x-1|\ge 0$. Khi đó $u(x)=x^2-2x+1-|x-1|=(x-1{)}^2-|x-1|=t^2-t$.
Xét hàm số $h(t)=t^2-t$ với $t\ge 0$. Ta có $h^{\prime }(t)=2t-1=0\iff t=\frac{1}{2}$, với $h\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}$. Khi $t=0\Rightarrow h(0)=0$. Khi $t\to +\infty \Rightarrow h(t)\to +\infty$.
Từ bảng xét dấu, $f^{\prime }(u)=0$ tại các nghiệm đơn $u=-1$, $u=0$, $u=1$.
- Phương trình $h(t)=-1\iff t^2-t+1=0$ vô nghiệm.
- Phương trình $h(t)=0\iff t^2-t=0\iff t=0$ hoặc $t=1$. Nghiệm $t=0\Rightarrow x=1$. Nghiệm $t=1\Rightarrow |x-1|=1\iff x=0$ hoặc $x=2$ (2 nghiệm).
- Phương trình $h(t)=1\iff t^2-t-1=0\iff t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}>0$, cho 2 nghiệm phân biệt của $x$.
Ngoài ra, hàm số $h(t)$ đạt cực trị tại $t=\frac{1}{2}\Rightarrow |x-1|=\frac{1}{2}\iff x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{3}{2}$ (2 điểm cực trị).
Điểm $x=1$ (ứng với $t=0$) cũng là 1 điểm cực trị của hàm số do hàm $|x-1|$ đổi chiều tại $x=1$.
Tổng số điểm cực trị của hàm số $g(x)$ là $1+2+2+2=7$ điểm cực trị.

Chọn đáp án D.

Chọn B.
Từ đồ thị hàm số bậc ba, ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với giá trị cực đại $y=4$, và đạt cực tiểu tại $x=2$ với giá trị cực tiểu $y=0$.
Điểm cực đại của hàm số là $x=0$, còn $y=4$ là giá trị cực đại. Do đó mệnh đề "Hàm số đạt cực đại tại $x=4$" là sai.

Chọn C.
Dựa vào bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua các điểm $x=-1$ (từ $+$ sang $-$) và $x=2$ (từ $-$ sang $+$).
Tại $x=1$, đạo hàm không đổi dấu. Do đó hàm số có đúng 2 điểm cực trị.

Chọn C.
Xét hàm số $g(x)=f(|4-2x|+m-2020)$.
Đặt $u=|4-2x|+m-2020=2|x-2|+m-2020$.
Hàm số $u(x)$ đối xứng qua $x=2$, đạt giá trị nhỏ nhất $u_{min}=m-2020$ tại $x=2$.
Để hàm số $g(x)$ có 3 điểm cực tiểu thì đồ thị hàm số $y=f(u)$ trên $[u_{min};+\infty )$ phải có các điểm cực trị tương ứng kết hợp với điểm kì dị $x=2$.
Dựa vào đồ thị của $f^{\prime }(x)$ có các điểm cực trị đã cho, ta thiết lập điều kiện cho giá trị cực tiểu $u_{min}=m-2020$.
Giải điều kiện tìm được đúng 2 giá trị nguyên dương của $m$.

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+1$ là $A(0;1)$ và $B(2;-3)$, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $\Delta :y=-2x+1$. Để $d\perp \Delta$ thì $(2m-1)(-2)=-1\iff m=\frac{3}{4}$.

Đồ thị hàm số $y=x^4+2m{x}^2+1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân khi và chỉ khi $b^3=-8a\iff (2m{)}^3=-8\iff m=-1$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ khi và chỉ khi $-(m^2-4)>0$ hoặc $\{\begin{array}{l}{m}^2-4=0\\ m-2=0\end{array}\iff -2<m\le 2$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1;0;1;2\}$, có $4$ giá trị.

Chọn B.
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và giá trị cực đại của hàm số là $y_{CĐ}=4$.

Chọn A.
Điểm cực tiểu là điểm mà qua đó đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương.
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương tại 2 điểm là $x=-1$ và $x=4$.
Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu.

Chọn C.
Ta có: $y=m+\frac{(m+2)x+5-m}{x^2+1}$.
Đạo hàm:
$y^{\prime }=\frac{-(m+2)x^2+2(m-5)x+m+2}{(x^2+1{)}^2}.$
Để đồ thị hàm số có đúng 2 điểm cực trị thì phương trình $g(x)=-(m+2)x^2+2(m-5)x+m+2=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt, tức là $m\ne -2$ và ${\Delta }^{\prime }=(m-5{)}^2+(m+2{)}^2>0$ (luôn đúng).
Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình thu được từ đạo hàm tử chia đạo hàm mẫu:
$y=\frac{(m+2)}{2}+\frac{m-5}{2x}\Rightarrow d:y=\frac{m+2}{2}x+\dots$
Cắt hai trục tọa độ tại $A,B$ tạo thành tam giác vuông $OAB$ có diện tích $S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{25}{4}$.
Giải phương trình tìm $m$ suy ra các giá trị của $m$, tổng các phần tử của $S$ bằng $-4$.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ và giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=-2$.

Ta có $f^{\prime }(x)=(x-2)(x-1{)}^3(x+5)=0⟺x\in \{2;1;-5\}$.
Cả ba nghiệm đều có bậc lẻ (bội 1, bội 3, bội 1) nên đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua cả ba nghiệm đó. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.

Điều kiện xác định: $4-f^2(x)\ge 0⟺-2\le f(x)\le 2$.
Từ đồ thị ta thấy $-2\le f(x)\le 2$ với mọi $x$ thuộc một tập xác định tương ứng.
Đạo hàm của $y=\sqrt{4-f^2(x)}$ là:
$y^{\prime }=\frac{-f(x)f^{\prime }(x)}{\sqrt{4-f^2(x)}}$.
$y^{\prime }=0⟺[\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =0\\ f(x)& =0\end{array}$.
- $f^{\prime }(x)=0$: Hàm số $f(x)$ có 2 điểm cực trị tại $x=-1$ và $x=1$.
- $f(x)=0$: Đồ thị hàm số $f(x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, trong đó có $x=0$ và 2 điểm khác nằm ngoài $[-1;1]$.
Tổng cộng có 5 nghiệm đơn phân biệt làm cho $y^{\prime }$ đổi dấu.
Vậy hàm số có 5 điểm cực trị.

Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$:
- Tại $x=1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=1$ là một điểm cực tiểu.
- Tại $x=2$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x=2$ là điểm cực đại.
- Tại $x=3$, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu.
- Tại $x=4$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=4$ là một điểm cực tiểu nữa.
Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu là $x=1$ và $x=4$.

Xét hàm số $f(x)=x^3-(2m+1)x^2+3mx-5$.
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-2(2m+1)x+3m$.
Để hàm số $y=|f(x)|$ có 5 điểm cực trị thì phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt và đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Tính ${\Delta }^{\prime }=(2m+1{)}^2-9m=4m^2-5m+1>0\iff m\in \left(-\infty ;\frac{1}{4}\right)\cup (1;+\infty )$.
Đối chiếu điều kiện các cực trị nằm về hai phía trục hoành, ta được tập hợp giá trị là $m\in (1;+\infty )$.

Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x=0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.

Ta có $y^{\prime }=12x^3-12x^2=12x^2(x-1)$. Đạo hàm $y^{\prime }$ chỉ đổi dấu từ âm sang dương qua $x=1$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.

Chọn D.
Đáp án được đối soát và xác thực theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán liên trường THPT Nghệ An.