Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Chọn B.
Đáp án được đối soát và xác thực theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán liên trường THPT Nghệ An.

Chọn B.
Đáp án được đối soát và xác thực theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán liên trường THPT Nghệ An.

Chọn D.
Đáp án được đối soát và xác thực theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán liên trường THPT Nghệ An.

Theo bảng đáp án Mã đề 121 (trang 5): Chọn B. Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm tại $2$ điểm $x=-1$ và $x=2$, nên hàm số có $2$ điểm cực đại.

Theo bảng đáp án Mã đề 121 (trang 5): Chọn B. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=1$.

Theo bảng đáp án Mã đề 121 (trang 5): Chọn A. Ta có $[f(f(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(f(x))=0\iff x=\pm 1$ ($2$ nghiệm bội lẻ), $f(x)=-1$ ($1$ nghiệm bội lẻ, $1$ nghiệm kép $x=1$), hoặc $f(x)=1$ ($3$ nghiệm bội lẻ). Vậy hàm số $y=f(f(x))$ có $2+1+3=6$ điểm cực trị.

Theo bảng đáp án Mã đề 121 (trang 5): Chọn B. Đặt $u(x)=x^2-2|x-1|-2x+m$, hàm số $u(x)$ có $3$ điểm cực trị tại $x=0,1,2$ với $u(0)=u(2)=m-2$ và $u(1)=m-1$. Để $g(x)=f(u(x))$ có đúng $9$ điểm cực trị thì phương trình $u(x)\in \{1;2;3\}$ có tổng cộng $6$ nghiệm đơn khác $0,1,2$, tương đương $m\in \{3;4;5\}$ ($3$ giá trị nguyên).

Chọn A.
Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số $y=f(x)$ là $y_{\text{CĐ}}=f(2)=3$.

Chọn C.
Vì hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi $x$ đi qua $4$ điểm $x=-1,x=0,x=1,x=2$ (không đổi dấu qua $x=3$), nên hàm số $y=f(x)$ có $4$ điểm cực trị.

Chọn A.
Xét hàm số $h(x)=f(x^2+1)$. Ta có $h^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2+1)=2x(x^2-1)(x^2+3)(x^2-4)=0⟺x\in \{0;\pm 1;\pm 2\}$.
Do đó $h(x)$ có $5$ điểm cực trị. Với $f(1)=0$, ta có:
- $h(0)=f(1)=0$;
- $h(\pm 1)=f(2)={\int }_1^2(t^3-5t^2-4t+20)dt=\frac{73}{12}\approx 6,083$;
- $h(\pm 2)=f(5)={\int }_1^5(t^3-5t^2-4t+20)dt=-\frac{56}{3}$.
Để hàm số $g(x)=|h(x)-m|$ có nhiều điểm cực trị nhất (gồm $5+6=11$ điểm cực trị), đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị $y=h(x)$ tại $6$ điểm phân biệt, tức là $0<m<\frac{73}{12}$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2;3;4;5;6\}$, có $6$ giá trị nguyên.

a) Đúng: $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9$.
b) Đúng: $f^{\prime }(x)=0\iff 3(x-1)(x-3)=0\iff x\in \{1;3\}$.
c) Sai: Trên $[2;4]$ có $f(2)=4,f(3)=2,f(4)=6$, nên hàm số đạt giá trị lớn nhất trên $[2;4]$ tại $x=4$.
d) Sai: Hai điểm cực trị là $M_1(1;6)$ và $M_2(3;2)$, đường thẳng $M_1{M}_2$ có phương trình $y=-2x+8$.

Ta có $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$, $x=2$ hoặc $x=-1$. Trong đó $x=0$ và $x=-1$ là các nghiệm bội lẻ (bội 1) nên đạo hàm đổi dấu khi qua các điểm này; $x=2$ là nghiệm bội chẵn (bội 2) nên đạo hàm không đổi dấu khi qua điểm này. Do đó hàm số $f(x)$ có đúng 2 điểm cực trị. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn C.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại điểm $x=1$ và giá trị cực đại tương ứng của hàm số là $y_{CĐ}=f(1)=0$. (Tại $x=-3$, hàm số đạt cực tiểu với giá trị cực tiểu $y_{CT}=5$). Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn C.

Xét hai trường hợp: TH1: $m^2-9=0\iff m=\pm 3$. Khi đó hàm số trở thành $y=-2x^2+1$ là một parabol có hệ số $a=-2<0$, đồ thị có đúng một điểm cực trị (cực đại). Vậy $m=\pm 3$ thỏa mãn. TH2: $m^2-9\ne 0$. Hàm số trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đúng một cực trị khi và chỉ khi $ab\ge 0\iff (m^2-9)(-2)\ge 0\iff m^2-9\le 0\iff -3\le m\le 3$. Kết hợp cả hai trường hợp ta được $-3\le m\le 3$. Vì $m$ nguyên nên $m\in \{-3;-2;-1;0;1;2;3\}$ (7 giá trị). Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn A.

Đạo hàm: $y^{\prime }=x^2-2mx+m^2-4$; $y^{\prime \prime }=2x-2m$. Hàm số đạt cực đại tại $x=3\iff \{\begin{array}{l}{y}^{\prime }(3)=0\\ y^{\prime \prime }(3)<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{3}^2-2m(3)+m^2-4=0\\ 2(3)-2m<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2-6m+5=0\\ 6-2m<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m=1\text{ hoặc }m=5\\ m>3\end{array}\iff m=5$. Ta thấy $m=5\in (4;10)$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn A.

a) Đúng: $f^{\prime }(x)=x^2-10x+9$.
b) Đúng: $f^{\prime }(x)=0\iff x^2-10x+9=0\iff x=1$ hoặc $x=9$, tập nghiệm $S=\{1;9\}$.
c) Đúng: Với $x\in (1;9)$ thì $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(1;9)$.
d) Sai: Hàm số đạt cực tiểu tại $x=9$ và giá trị cực tiểu là $f(9)=-73$, còn $f(1)=\frac{37}{3}$ là giá trị cực đại.

Chọn C
Vì f ' ( 0 ) = 0 và f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại
x =0.

Chọn C

+ Từ đồ thi hàm số y = f ( x) ta có f '(x) = a .x .( x - 2) (a  0)

( )(
g '( x) = f ' x5 + 4 x + m . x5 + 4 x + m ' )
= a. ( x + 4 x + m ) . ( x + 4 x + m - 2 ) .
5 5 ( 5x + 4 ) .x .( x + 4 )
4 4

( x + 4x) 5 2

x = 0

( )( )
x 5 + 4 x + m . x 5 + 4 x + m - 2 . ( 5 x 4 + 4 ) .x. ( x 4 + 4 ) = 0 $\iff$ x 5 + 4 x = -m

x5 + 4 x = -m + 2

+ Xét hàm số h( x) = x + 4 x $\Rightarrow$ h '( x) =
5 ( 5x + 4 ) .( x + 4 x) . 4 5

( x + 4x) 5 2

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy các phương trình x 5 + 4x = -m (1) và x 5 + 4x = -m + 2 (2)

nếu có nghiệm x = 0 thì nghiệm đó là nghiệm bội chẵn

( )
$\Rightarrow$ hàm số g(x) = f x 5 + 5x + m luôn có điểm cực trị x = 0 .

( )
+ Để hàm số g(x) = f x 5 + 5x + m có 5 điểm cực trị thì cả hai phương trình (1) và (2) đều có
hai nghiệm phân biệt

-m  0
$\Rightarrow$ $\iff$ m  0 . Do m $\in$ Z, m $\in$  -2021; 2021 $\Rightarrow$ có 2021 giá trị m thỏa mãn.
-m + 2  0

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x=2$, do đó hàm số đạt cực đại tại $x=2$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=1$ hoặc $x=-1$. Ta có $y^{\prime \prime }=6x$. Với $x=1\Rightarrow y^{\prime \prime }(1)=6>0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$, giá trị cực tiểu $y(1)=1^3-3(1)+2=0$. Vậy tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị là $(1;0)$.