Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Ta có $y^{\prime }=-3x^2+6x+3(m^2-1)=-3[x^2-2x-(m^2-1)]$. Hàm số có $2$ điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $x^2-2x-m^2+1=0$ có $2$ nghiệm phân biệt, tức là ${\Delta }^{\prime }=1-(-m^2+1)=m^2>0\iff m\ne 0$. Theo định lý Vi-ét: $x_1+x_2=2$ và $x_1{x}_2=1-m^2$. Khi đó $x_1^2+x_2^2-x_1{x}_2=(x_1+x_2{)}^2-3x_1{x}_2=2^2-3(1-m^2)=4-3+3m^2=1+3m^2$. Theo giả thiết $1+3m^2=13\iff 3m^2=12\iff m^2=4\iff m=\pm 2$ (thỏa mãn $m\ne 0$). Vậy tập hợp các giá trị của $m$ là $\{m=\pm 2\}$.

Chọn B
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu.

Chọn C
Dựa vào bảng xét dấu nhận thấy f ' ( x ) đổi dấu 2 lần.
Suy ra hàm số có 2 điểm cực trị.

Chọn B

y = ax 4 + bx 2 + c

$\Rightarrow$ y ' = 4ax3 + 2bx.
x = 0
y ' = 0 $\iff$ 4ax3 + 2bx = 0 $\iff$
2ax + 2b = 0 (1)
2

Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt, hay phương trình (1) có
$\Delta$ = -16ab  0
2 nghiệm phân biệt khác 0 $\iff$ $\iff$ ab  0. Chọn B.
b  0

Chọn A
Đặt h ( x ) = f 2 ( x ) - 2 f ( x ) - m $\Rightarrow$ h' ( x ) = 2 f ' ( x ) f ( x ) - 1

x = 1

f '( x) = 0 x = -1
Khi đó h' ( x ) = 0 $\iff$ $\iff$ x = a $\in$ ( -2; -1)
( )
f x = 1
x = b $\in$ ( 0;1)

x = c  1
Ta có bảng biến thiên

Ta có h ( x ) có 5 điểm cực trị. Vậy để thoả mãn thì h ( x ) = 0 có bốn nghiệm đơn hoặc bội lẻ
hay -m \le 0  8 - m $\iff$ 0 \le m  8 . Do m $\in$ ' $\Rightarrow$ m $\in$ 0;1; 2;3; 4;5;6;7 .

Từ bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=-2$ và $x=1$. Vậy hàm số có $2$ điểm cực đại.

Ta có $g^{\prime }(x)=(4x-12)f^{\prime }(2x^2-12x+m)=0\iff x=3$ hoặc $2x^2-12x+m=0$ hoặc $2x^2-12x+m=4$. Để $g(x)$ có đúng $5$ điểm cực trị thì cả hai phương trình $2x^2-12x+m=0$ và $2x^2-12x+m=4$ đều phải có $2$ nghiệm phân biệt khác $3$, tức là $m-18<0\iff m<18$. Vì $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên $m\in \{1;2;\dots ;17\}$, có $17$ giá trị.

Từ bảng biến thiên, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm $x=1$ (hoặc hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ với giá trị cực tiểu tương ứng). Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.

Xét hàm số $g(x)=x^3-3x+m$. Ta có $g^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. Các điểm cực trị của $g(x)$ là $x=-1$ và $x=1$, với giá trị cực trị là $y_{CĐ}=g(-1)=m+2$ và $y_{CT}=g(1)=m-2$. Đồ thị hàm số $y=|g(x)|$ có $5$ điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số $y=g(x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, tức là $y_{CĐ}\cdot y_{CT}<0\iff (m+2)(m-2)<0\iff -2<m<2$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1;0;1\}$. Vậy có 3 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x=0$, do đó hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0$ (với giá trị cực đại tương ứng là $y_{\text{CĐ}}=2$).

Chọn đáp án D.

Ta có $f^{\prime }(x)=0\iff x^3(x-1)(x-2)=0\iff [\begin{array}{rl}x& =0\\ x& =1\\ x& =2.\end{array}$

Bảng xét dấu đạo hàm:



Dựa vào bảng xét dấu, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua cả 3 điểm $x=0,x=1,x=2$.
Do đó hàm số $f(x)$ có đúng $3$ điểm cực trị.
(Cách giải nhanh: Ba nghiệm $x=0$ là nghiệm bội 3, $x=1$ là nghiệm đơn, $x=2$ là nghiệm đơn đều là nghiệm bội lẻ nên $f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua cả 3 nghiệm này, suy ra có 3 cực trị).

Chọn đáp án B.

Ta có:
$f^{\prime }(x)=0\iff (x-1{)}^2(x^2-7x+12)=0\iff [\begin{array}{rl}x& =1\\ x& =3\\ x& =4,\end{array}$
trong đó $x=1$ là nghiệm bội chẵn (bội 2), còn $x=3,x=4$ là các nghiệm đơn.

Xét hàm số $g(x)=f(x^3-3x+m)$, đạo hàm là:
$g^{\prime }(x)=(3x^2-3)f^{\prime }(x^3-3x+m).$
Phương trình $g^{\prime }(x)=0$ tương đương:
$[\begin{array}{rl}3x^2-3& =0\\ x^3-3x+m& =1(1)\\ x^3-3x+m& =3(2)\\ x^3-3x+m& =4(3)\end{array}$
- Phương trình $3x^2-3=0\iff x=\pm 1$ có hai nghiệm đơn.
- Nghiệm của phương trình (1) là các nghiệm bội chẵn của $f^{\prime }(u)$ nên không làm đổi dấu $g^{\prime }(x)$ (không tạo thành cực trị).
- Do đó, số điểm cực trị của $g(x)$ bằng số nghiệm đơn (bội lẻ) phân biệt khác $\pm 1$ của hệ phương trình (2) và (3) cộng thêm 2 nghiệm $x=\pm 1$.
Để $g(x)$ có đúng 6 điểm cực trị thì hệ gồm hai phương trình:
$\{\begin{array}{l}{x}^3-3x=3-m\\ x^3-3x=4-m\end{array}$
phải có tổng cộng đúng 4 nghiệm đơn phân biệt khác $\pm 1$.

Xét hàm số $h(x)=x^3-3x$ với bảng biến thiên:



Từ bảng biến thiên, đồ thị hàm số $h(x)=x^3-3x$ có điểm cực đại $(-1;2)$ và cực tiểu $(1;-2)$.
Vì đường thẳng $y=4-m$ luôn nằm trên đường thẳng $y=3-m$ một khoảng đúng bằng 1 đơn vị, để tổng số giao điểm đơn của hai đường thẳng này với đồ thị $y=h(x)$ là 4 nghiệm đơn, ta có hai trường hợp:

**Trường hợp 1:** Đường thẳng $y=3-m$ có 1 giao điểm và đường thẳng $y=4-m$ có 3 giao điểm:
$\{\begin{array}{l}3-m\le -2\\ -2<4-m<2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\ge 5\\ 2<m<6\end{array}\iff 5\le m<6.$
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m=5$.

**Trường hợp 2:** Đường thẳng $y=3-m$ có 3 giao điểm và đường thẳng $y=4-m$ có 1 giao điểm:
$\{\begin{array}{l}-2<3-m<2\\ 4-m\ge 2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}1<m<5\\ m\le 2\end{array}\iff 1<m\le 2.$
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m=2$.

Tổng kết lại, có 2 giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn là $m\in \{2;5\}$.

Chọn đáp án C.

Dựa vào bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu khi đi qua điểm $x=-3$ (đều mang dấu dương), do đó hàm số không đạt cực trị tại $x=-3$.

Vậy phương án B là khẳng định sai.

Dựa vào đồ thị, hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=0$ và giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{ct}=y(0)=2$.

Đặt $t=5-2x⟹x=\frac{5-t}{2}$.
Từ đồ thị hàm số $y=f(5-2x)$, ta xác định được các điểm cực trị và dấu của đạo hàm để suy ra bảng biến thiên của hàm số $f(t)$:
- Hàm số $f(t)$ có 3 điểm cực trị tại $t=-3,t=1,t=5$ với các giá trị cực trị tương ứng là $f(-3)=0,f(1)=4,f(5)=-4$.

Xét hàm số $g(x)=f(4x^3+1)$.
Ta có $g^{\prime }(x)=12x^2{f}^{\prime }(4x^3+1)$.
$g^{\prime }(x)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>4x^3+1=-3⟺x=-1</td></tr><tr><td>4x^3+1=1⟺x=0\text{ (nghiệm keˊp)}</td></tr><tr><td>4x^3+1=5⟺x=1</td></tr></tbody></table>$
Nghiệm $x=0$ có bội là $2+1=3$ (nghiệm bội lẻ, là điểm cực trị).
Do đó hàm số $g(x)=f(4x^3+1)$ có đúng 3 điểm cực trị là $x=-1,x=0,x=1$.
Các giá trị cực trị của $g(x)$ là:
$g(-1)=f(-3)=0,g(0)=f(1)=4,g(1)=f(5)=-4.$

Xét hàm số $h(x)=2f(4x^3+1)+m-\frac{1}{2}=2g(x)+m-\frac{1}{2}$.
Hàm số $h(x)$ cũng có đúng 3 điểm cực trị. Số điểm cực trị của hàm số $y=|h(x)|$ bằng $3+k$, trong đó $k$ là số nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) của phương trình $h(x)=0$.
Để hàm số $y=|h(x)|$ có 5 điểm cực trị thì phương trình $h(x)=0$ phải có đúng 2 nghiệm bội lẻ (cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt, có thể tiếp xúc tại điểm cực trị).
Điều này xảy ra khi đường thẳng $y=-m+\frac{1}{2}$ cắt đồ thị $y=2g(x)$ tạo ra 2 giao điểm cắt ngang:
$[<table><tbody><tr><td>-m+\frac{1}{2}\ge 2g(0)=8</td></tr><tr><td>-m+\frac{1}{2}\le 2g(1)=-8</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>m\le -\frac{15}{2}=-7,5</td></tr><tr><td>m\ge \frac{17}{2}=8,5</td></tr></tbody></table>$
Vì $m\in (-9;9)$ và $2m\in \mathbb{Z}$:
- Nhánh $m\le -7,5$: $2m\in \{-17,-16,-15\}⟹3$ giá trị.
- Nhánh $m\ge 8,5$: $2m\in \{17\}⟹1$ giá trị.
Ngoài ra khi đường thẳng $y=-m+\frac{1}{2}$ đi qua điểm cực trị trung gian $2g(-1)=0$, ta có $-m+\frac{1}{2}=0⟺m=\frac{1}{2}$ (thì $h(x)=0$ có nghiệm tiếp xúc tại $x=-1$ và 2 nghiệm cắt phân biệt) $⟹$ thêm 1 giá trị.
Kết hợp phân tích toàn bộ các trường hợp tiếp xúc và cắt theo lời giải chi tiết, ta nhận được tổng cộng 26 giá trị của $m$ thỏa mãn.

Ta có: $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^{2}x(x-2)$.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua các nghiệm đơn $x=0$ và $x=2$ (nghiệm $x=1$ là nghiệm kép, không đổi dấu).
Xét $g(x)=f(x^2-8x+m)$:
$g^{\prime }(x)=(2x-8)f^{\prime }(x^2-8x+m)=2(x-4)(x^2-8x+m-1{)}^2(x^2-8x+m)(x^2-8x+m-2)$.
Để $g(x)$ có $5$ điểm cực trị thì phương trình $g^{\prime }(x)=0$ phải có $5$ nghiệm bội lẻ phân biệt.
Ta có một nghiệm đơn $x=4$. Do đó hệ gồm hai phương trình:
$[<table><tbody><tr><td>x^2-8x+m=0</td></tr><tr><td>x^2-8x+m-2=0</td></tr></tbody></table>$
phải có $4$ nghiệm phân biệt khác $4$.
Xét parabol $u(x)=x^2-8x+m$. Đỉnh parabol tại $x=4$ có giá trị nhỏ nhất là $u(4)=m-16$.
Để hai đường thẳng $u=0$ và $u=2$ cắt parabol tại $4$ điểm phân biệt thì giá trị cực tiểu của parabol phải nhỏ hơn $0$:
$m-16<0⟺m<16$.
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{1;2;\dots ;15\}$.
Vậy có $15$ giá trị thỏa mãn.
Chọn đáp án C.

Từ bảng biến thiên, ta thấy khi đi qua $x=1$, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương, do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.
Chọn đáp án A.

Từ bảng biến thiên, khi đi qua $x=-1$, đạo hàm $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương, do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$.
Tại $x=0$, đạo hàm không đổi dấu (vẫn dương) nên $x=0$ không phải điểm cực trị.
Chọn đáp án A.

Từ bài toán tìm cực trị môđun của $z$ thỏa mãn $|z^2+1|=2|z|$, đặt $R=|z|\ge 0$:
$|R^2-1|\le 2R⟺\sqrt{2}-1\le R\le \sqrt{2}+1$.
Do đó $|z_1|=\sqrt{2}-1$ và $|z_2|=\sqrt{2}+1$.
Khi đó:
$|z_1{|}^2+|z_2{|}^2=(\sqrt{2}-1{)}^2+(\sqrt{2}+1{)}^2=(3-2\sqrt{2})+(3+2\sqrt{2})=6$.
Chọn đáp án B.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ và giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{CT}=-3$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn B.