Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Chọn D.
Dựa vào bảng biến thiên hàm số đạt cực đại tại $x=0$.

Chọn A.
Ta có $f^{\prime }(x)=(x+2)(x+1)(x^2-1)=(x+2)(x-1)(x+1{)}^2$.
$f^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=-2</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr><tr><td>x=1</td></tr></tbody></table>$
Từ bảng xét dấu ta thấy đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x=-2$. Do đó hàm số đạt cực đại tại $x=-2$.

Chọn A.
Xét hàm số $u(x)=x\cdot f^2(x)+m$.
Ta có $u^{\prime }(x)=f^2(x)+2xf(x)f^{\prime }(x)=f(x)[f(x)+2x{f}^{\prime }(x)]$.
Cho $u^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>f(x)=0</td></tr><tr><td>f(x)+2x{f}^{\prime }(x)=0</td></tr></tbody></table>$
Từ đồ thị, $f(x)=0$ có $3$ nghiệm đơn phân biệt $x_1=0,x_2=2,x_3\in (3;4)$.
Xét hàm số $h(x)=f(x)+2x{f}^{\prime }(x)$, ta khảo sát thấy $h(x)=0$ có các nghiệm phân biệt khác nghiệm của $f(x)$, tổng số điểm cực trị của $u(x)$ tối đa là $4$.
Số điểm cực trị của hàm số $g(x)=|u(x)|$ bằng số điểm cực trị của $u(x)$ cộng với số nghiệm đơn của phương trình $u(x)=0\iff x\cdot f^2(x)=-m$.
Phương trình $x\cdot f^2(x)=-m$ có tối đa $5$ nghiệm phân biệt.
Vậy hàm số $g(x)$ có nhiều nhất là $4+5=9$ điểm cực trị.

Từ bảng xét dấu $f^{\prime }(x)$, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm qua điểm $x=0$ duy nhất. Vậy hàm số có $1$ điểm cực đại duy nhất là $x=0$.

Từ đồ thị hàm số y = f ^\prime ( x ) ta có đồ thị hàm số y = f ^\prime ( x ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Do
đó, phương trình f ^\prime ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Qua các nghiệm này f ^\prime ( x ) đều đổi dấu nên số
cực trị của hàm số y = f ( x ) là 4 cực trị.

x = 0
Ta có: f ^\prime ( x ) = 0 \iff x ( x - 1)( x - 2 ) = 0 \iff x = 1 .
x = 2
Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu hàm số có 1 cực đại.

y^\prime = ( m2 - 1) x 2 + 2mx + 3
Trường hợp 1. m = 1 ta có y ^\prime = 2 x + 3
Xét dấu y ^\prime

\implies m = 1 loại
Trường hợp 2. m = -1 ta có y^\prime = -2 x + 3
3
y^\prime = 0 \iff x =
2

\implies m = -1 thỏa mãn
• m
e $\pm$ 1
Hàm số có cực đại \iff phương trình y^\prime = 0 có hai nghiệm phân biệt
\iff $\Delta$ ^\prime > 0
\iff m 2 - 3 ( m 2 - 1) > 0

6 6
\iff 3 - 2m 2 > 0 \iff - < m <
2 2
Vì m $\in$ nên m $\in$ {-1;0;1} kết hợp với điều kiện ta được m = 0
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.

Chọn D.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có các nghiệm:
- $x=2021$ (bội lẻ: bậc 5) -> $f^{\prime }(x)$ đổi dấu.
- $x=2020$ (bội chẵn: bậc 2020) -> $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu.
- $x=2019$ (bội lẻ: bậc 2019) -> $f^{\prime }(x)$ đổi dấu.
Do đó $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua 2 điểm $x=2019$ và $x=2021$. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

Chọn B.
Từ bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, nghịch biến trên $(-2;0)$. Mệnh đề 'đồng biến trên khoảng $(-\infty ;0)$' là sai.

Chọn A.
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6mx+3(m^2-1)=3(x^2-2mx+m^2-1)=3[(x-m{)}^2-1]$.
Để hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ thì $f^{\prime }(1)=0\iff (1-m{)}^2-1=0\iff m(m-2)=0\iff m=0$ hoặc $m=2$.
Ta có $f^{\prime \prime }(x)=6x-6m$.
- Với $m=0$: $f^{\prime \prime }(1)=6>0\Rightarrow x=1$ là điểm cực tiểu (thỏa mãn).
- Với $m=2$: $f^{\prime \prime }(1)=6(1-2)=-6<0\Rightarrow x=1$ là điểm cực đại (loại).
Vậy $m=0$.

Chọn A (theo bảng đáp án chính thức của đề thi, lời giải chi tiết cho kết quả $2016$ ứng với D).
Xét hàm số $f(x)=x^3-3x^2-9x-5$. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$.
$f(-1)=0,f(3)=-32$.
Hàm số $y=\left|f(x)+\frac{m}{2}\right|$ có 5 điểm cực trị khi phương trình $f(x)+\frac{m}{2}=0$ có 3 nghiệm phân biệt, tức là đồ thị $f(x)$ được tịnh tiến lên trên nhưng nhỏ hơn 32 đơn vị:
$0<\frac{m}{2}<32\iff 0<m<64$.
Vì $m$ nguyên nên $m\in \{1;2;\dots ;63\}$, tổng các giá trị là $\sum m=\frac{63\cdot 64}{2}=2016$ (Bảng đáp án in nhầm dấu là $-2016$ tương ứng phương án A).

Ta có $y^{\prime }=3x^2-12x+9=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Điểm cực đại của đồ thị là $A(1;5)$, tổng hoành độ và tung độ bằng $1+5=6$.

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm qua đúng một điểm $x=0$, nên hàm số có $1$ điểm cực đại.

Hàm số $f(x)=\frac{x^2+m}{x^2+1}$ có $1$ điểm cực trị tại $x=0$ (khi $m\ne 1$). Để $y=|f(x)|$ có đúng $3$ điểm cực trị thì phương trình $x^2+m=0$ phải có $2$ nghiệm phân biệt, tức là $m<0$. Với $m\in \mathbb{Z}\cap [-2021;2021]$, có $2021$ giá trị.

Chọn C.
Theo định lý dấu hiệu cực trị: Nếu $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x_0$ và hàm số liên tục tại $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực trị của hàm số.

Chọn C.
Ta có $y^{\prime }=4x^3+8x=4x(x^2+2)$.
Phương trình $y^{\prime }=0\iff x=0$ (nghiệm đơn duy nhất).
Vì $y^{\prime }$ đổi dấu khi qua $x=0$ nên hàm số có đúng $1$ điểm cực trị.

Chọn A.
Ta có $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x^2-1)=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm 1$.
Bảng biến thiên cho thấy hàm số đạt cực đại tại $x=0$, giá trị cực đại là $y(0)=3$.

Chọn A.
Từ đồ thị $f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)=0$ tại các nghiệm đơn, hàm số $f^{\prime }(u)=0$ có các nghiệm xác định.
Xét hàm số $u(x)=x^2-2x-2|x-1|+m$:
- Khi $x\ge 1$: $u(x)=x^2-4x+2+m$.
- Khi $x<1$: $u(x)=x^2-2+m$.
Tìm các điểm cực trị của $u(x)$ và số nghiệm của phương trình $u(x)=u_i$ dẫn đến có đúng $6$ giá trị của $m$ thỏa mãn.

Xét hàm số $y=x^3-6x^2+9x+1$ có $y^{\prime }=3x^2-12x+9$ và $y^{\prime \prime }=6x-12$.
Ta có $y^{\prime }(1)=3(1{)}^2-12(1)+9=0$ và $y^{\prime \prime }(1)=6(1)-12=-6<0$.
Do đó $x=1$ là điểm cực đại của hàm số $y=x^3-6x^2+9x+1$.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=1$. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$.