Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Ta có $f^{\prime }(x)=0\iff x(x+1)(x-2{)}^3=0\iff x=0,x=-1,x=2$.
Cả ba nghiệm đều là nghiệm bội lẻ nên $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua các điểm này.
Bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$:

Từ bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương tại $2$ điểm là $x=-1$ và $x=2$, do đó hàm số có $2$ điểm cực tiểu.
Chọn đáp án A.

Hàm bậc hai luôn có 1 điểm cực trị nên các hàm ở phương án A, B đều có cực trị.
Xét phương án C: $y=x^3+2x-1$ có đạo hàm $y^{\prime }=3x^2+2>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Đạo hàm không đổi dấu nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ và không có điểm cực trị.
Chọn đáp án C.

Nhận xét hàm số $g(x)$ là hàm số chẵn vì $x$ chỉ xuất hiện với bậc chẵn.
Xét hàm số $u(x)=x^4-4x^2+2$ trên miền $[0;+\infty )$:
$u^{\prime }(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)=0\iff x=0$ hoặc $x=\sqrt{2}$.
Bảng biến thiên của hàm hợp:

Trên miền $[0;+\infty )$, hàm số có tối đa 4 điểm cực đại. Lấy đối xứng qua trục tung $Oy$, do $x=0$ là một điểm cực đại nên hàm số $g(x)$ trên $\mathbb{R}$ có tối đa $4\times 2+1=9$ điểm cực đại.
Chọn đáp án A.

Chọn A.
Từ bảng biến thiên, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=2$, do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=2$ (giá trị cực tiểu là $y_{CT}=-6$).

Chọn C.
Từ bảng xét dấu, đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu $2$ lần khi qua $x=-1$ (từ $+$ sang $-$) và khi qua $x=1$ (từ $-$ sang $+$).
Tại $x=4$, đạo hàm không đổi dấu ($+$ sang $+$).
Vậy hàm số $y=f(x)$ có $2$ điểm cực trị.

Chọn D.
Ta có $g^{\prime }(x)=2f(x)f^{\prime }(x)-(m+1)f^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)[2f(x)-(m+1)]$.
$g^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>f^{\prime }(x)=0</td></tr><tr><td>f(x)=\frac{m+1}{2}</td></tr></tbody></table>$
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$, $f^{\prime }(x)=0$ tại $3$ điểm cực trị $x_1,x_2,x_3$, trong đó hàm số có $2$ điểm cực tiểu và $1$ điểm cực đại với giá trị cực đại là $f(x_2)=5$ và giá trị cực tiểu là $f(x_1)=1,f(x_3)=2$.
Để hàm số $g(x)$ có ba điểm cực tiểu thì phương trình $f(x)=\frac{m+1}{2}$ phải có các nghiệm đơn xen kẽ, dẫn đến điều kiện giá trị của $\frac{m+1}{2}$:
Sau khi xét dấu đạo hàm, ta có điều kiện $1<\frac{m+1}{2}<5$ hoặc các giá trị biên phù hợp, dẫn đến số giá trị nguyên của tham số $m\in [-2021;2021]$ thỏa mãn là $2029$ giá trị.

Chọn B.
Hàm số xác định và liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x=-1,x=2$ và $x=4$ (tại $x=0$ hàm số không xác định).
Vậy hàm số đã cho có $3$ điểm cực trị.

Chọn D.
Điểm $M(0;1)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số (còn điểm cực đại của hàm số là $x=0$), nên khẳng định D sai.

Chọn A.
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ đạt cực trị tại $x=1,x=3$ và đi qua $(0;-2),(1;2)$, ta tìm được $f^{\prime }(x)=x^3-6x^2+9x-2$ và $f(x)=\frac{x^4}{4}-2x^3+\frac{9x^2}{2}-2x+4$.
Đặt $t=x+2$ và xét $h(t)=f(t)-{\sqrt{2}}^t-\frac{10}{3}$. Phương trình $h^{\prime }(t)=0⟺f^{\prime }(t)={\sqrt{2}}^t\ln \sqrt{2}$ có $3$ nghiệm phân biệt $a<b<c$ với $h(a)<0,h(b)>0,h(c)<0$.
Do đó hàm số $h(t)$ có $3$ điểm cực trị và cắt trục hoành tại $4$ điểm phân biệt, suy ra $g(x)=|h(x+2)|$ có $7$ điểm cực trị gồm $4$ điểm cực tiểu và $3$ điểm cực đại.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ và giá trị cực tiểu bằng $y_{CT}=1$.

Ta có $y^{\prime }=f^{\prime }(x)-2=0\iff f^{\prime }(x)=2$. Đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ tại 3 điểm phân biệt và $f^{\prime }(x)-2$ đổi dấu qua cả 3 nghiệm đó, nên hàm số $y=f(x)-2x$ có $3$ điểm cực trị.

Xét $g(x)=x^5-5x^3+5x^2+3m-7$, có $g^{\prime }(x)=5x^4-15x^2+10x=5x(x-1{)}^2(x+2)$. Hàm số $g(x)$ đổi dấu đạo hàm tại $x=-2$ và $x=0$ nên chỉ có $2$ điểm cực trị. Để $y=|g(x)|$ có $5$ điểm cực trị thì phương trình $g(x)=0$ phải có $3$ nghiệm bội lẻ phân biệt $\iff g(0)<0<g(-2)\iff 3m-7<0<3m+21\iff -7<m<\frac{7}{3}$. Các giá trị nguyên của $m$ là $\{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2\}$, có tổng bằng $-18$.

Lời giải

D. x = 2 .

Chọn B
Điểm cực đại của hàm số đã cho là x = -1 .

Lời giải
Chọn B
( 4)
Từ bảng biến thiên ta có: Điểm cực đại của đồ thị hàm số là A ( 1; ) , điểm cực tiểu của đồ thị
( 3)
hàm số là B ( 0;1) .
-3 x 2

(1)
< 32 x +1 ta được tập nghiệm:

Lời giải
Chọn A
Ta có y' = 3x 2 + 2bx + c .
Để hàm số có 2 điểm cực trị thì y' = 0 \iff 3x 2 + 2bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt
\iff $\Delta$' = b 2 - 3c > 0 \iff b 2 > 3c .
Ta có
2
bc )
( x b ) ( ( 2c 2b )
y = y'. ( + ) + ( ( -
)x+d - ).
9 )
9 )
( 3 9 ) (( 3
Giả sử A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là 2 điểm cực trị của đồ thị y' ( x1 ) = y' ( x2 ) = 0 .

Suy ra VABCD =

( 2c 2b 2 )
( 2c 2b 2 )
bc
bc
x
+
d
-
,
y
=
Khi đó y1 = ( -
) 1
( -
) x2 + d - .
2
9 )
9
9 )
9
( 3
( 3
Suy ra phương trình đường thẳng đí qua hai điểm A , B của đồ thị hàm số là
( 2c 2b 2 )
bc
y=( -
)x+d - .
9 )
9
( 3
bc
Do AB đi qua gốc tọa độ O nên ta được d - = 0 \iff bc = 9d .
9
2
2
Khi đó T = 9d + 12d = ( 3d + 2 ) - 4 \ge -4 .
2
Vậy Min T = -4 khi d = - , bc = -6 .
3

Ta có:
$$f^{\prime }(x)=(x^2-x)(1-x^2)=x(x-1)(1-x)(x+1)=-x(x-1{)}^2(x+1)$$
Xét $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm 1$.

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm $x=0$, do đó hàm số có $1$ điểm cực đại.
Chọn đáp án C.

Từ đồ thị suy ra điểm cực đại của hàm số là $x=-1$.
Chọn đáp án C.

Đặt $u=-x^2+2x=-(x-1{)}^2+1\le 1$.
Đạo hàm của $u$ theo $x$ là $u^{\prime }=-2x+2=0\iff x=1$.
Số điểm cực trị của hàm số phụ thuộc vào số nghiệm bội lẻ của đạo hàm khi xét hàm hợp.
Qua biến đổi hàm hợp và bảng biến thiên của $f(x)$, hàm số đã cho có đúng $3$ điểm cực trị.
Chọn đáp án A.

Chọn A.
Dựa vào đồ thị, giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là $y_{\text{CT}}=-2$ (đạt tại $x=\pm 1$).

Chọn C.
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có hai nghiệm đơn $x=0,x=-1$ và một nghiệm kép $x=2$.
Vì $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi qua $x=0$ và $x=-1$ nên hàm số đã cho có $2$ điểm cực trị.